唐山市2018～2019学年度高二年级第一学期期末考试
理科数学参考答案及评分标准
一、 选择题：
A卷：BACBD CBCAB DA
B卷：BDCBA CBCAB DA
二、填空题：
（13） （14）6π （15）30° （16）5
三、解答题：
（17）解：
因为(Øp)∧q为真命题，所以p为假命题，q为真命题． …2分
Øp：直线(m2－5m)x－2y＋1＝0的斜率k＝≤3，得－1≤m≤6．① …5分
因为方程－＝1表示焦点在x轴上的双曲线，所以
解得，－3＜m＜5．② …8分
由①②可得，实数m的取值范围[－1，5)． …10分
（18）解：
（Ⅰ）∵圆C与x轴分别交于A(－2，0)，B(6，0)两点，
∴圆心C在线段AB的中垂线x＝2上．
由得圆心C(2，－3)， …3分
∴圆C的半径为r＝错误！未指定书签。|CB|＝5，
∴圆C的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25． …6分
（Ⅱ）∵圆C的半径为5，|MN|＝6，所以圆心C到直线l的距离d＝4，
当直线l的斜率不存在时，圆心C(2，－3)到直线x＝6的距离为4，符合题意．
…8分
当直线l的斜率存在时，设l：y＋1＝k(x－6)，
∴圆心C到直线l的距离d＝＝4，
解得k＝－，
∴直线l的方程为3x＋4y－14＝0． …11分
综上所述，直线l的方程为x＝6或3x＋4y－14＝0． …12分
（19）解：
（Ⅰ）因为平面CBB1C1⊥平面BAA1B1，且两平面交线为BB1，CB⊥BB1，
CBÌ平面CBB1C1，所以CB⊥平面BAA1B1，
从而有CB⊥AB， …3分
A
A1
B
C
C1
B1
z
x
y
在△AA1B中，由余弦定理可得，A1B＝，
从而有AB2＋A1B2＝AA12，
所以AB⊥A1B，
又因为CB∩A1B＝B，
所以AB⊥平面CBA1，
又因为A1CÌ平面CBA1，
所以AB⊥A1C． …6分
（Ⅱ）以BA，BA1，BC所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz，
则B(0，0，0)，A1(0， ，0)，C(0，0，2)，
C1(－1，，2)，
＝(0，－，2)，＝(0，，0)，＝(－1，，2)． …8分
设平面BA1C1的法向量为n＝(x，y，z)．
由得
可取z＝1，得n＝(2，0，1)． …10分
设A1C与平面BA1C1所成的角为q，
所以sinq＝|cosá，nñ|＝＝，
即直线A1C与平面BA1C1所成角的正弦值为． …12分
（20）解：
（Ⅰ）由题意设抛物线C的方程为：y2＝2px（p＞0）．
∵抛物线C过点M(1，2)，
∴2p＝4，
∴抛物线C的方程为y2＝4x． …4分
（Ⅱ）设直线的方程为y＝x＋b，A(x1，y1)，B(x1，y1)，
由得，y2－4y＋4b＝0， …6分
因为D＝16－16b＞0，所以b＜1．
y1＋y2＝4，y1y2＝4b． …8分
因为OA，OB斜率之积为－2，
所以＝＝＝－2，
解得b＝－2，
所以直线l的方程为y＝x－2． …10分
S△AOB＝×2×|y1－y2|＝＝4． …12分
B
C
A
D
P
E
F
z
x
y
（21）解：
（Ⅰ）证明：作EF∥DC交PD于点F，连接AF，
因为E在棱PC上且PE＝2EC，
所以FE＝DC＝2．
又因为AB∥DC，AB＝2，
所以AB∥FE，且AB＝FE，
所以四边形ABEF为平行四边形，
从而有AF∥BE．
又因为BEË平面PAD，AFÌ平面PAD，
所以BE∥平面PAD． …4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，∠FAD即为异面直线AD与BE所成的角，
在直角三角形FAD中，cos∠FAD＝＝，
所以AF＝，DF＝1． …6分
以DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，
则D(0，0，0)，B(2，2，0)，E(0，2，1)，
＝(2，2，0)，＝(0，2，1)， …7分
平面BDC的一个法向量m＝(0，0，1)， …8分
设平面EBD的法向量为n＝(x，y，z)．
由得
取x＝1，得n＝(1，－1，2)． …10分
所以cosám，nñ＝＝， …11分
因为二面角E-BD-C为锐二面角，
所以二面角E-BD-C的余弦值为． …12分
（22）解：
（Ⅰ）因为椭圆＋＝1（a＞b＞0）的右焦点F(1，0)，点F与短轴的两个顶点围成直角三角形．
所以c＝b＝1，a2＝2．
所以椭圆C的方程为＋y2＝1． …4分
（Ⅱ）设直线l的方程为y＝k(x－1)（k＞0），代入椭圆方程＋y2＝1并整理，
得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0． …6分
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则有D＝16k4－4(1＋2k2)(2k2－2)＝8k2＋8＞0，
x1，2＝，|x1－x2|＝，x1x2＝， …8分
又因为k＞0且k≠1，
所以|kPM－kPN|＝|－|＝|－|
＝＝＝·＝·∈(1，)．
故直线PM与PN斜率差的绝对值的取值范围是(1，)． …12分
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