13.3.1 等腰三角形
基础闯关全练
拓展训练
1.(2016山东滨州中考)如图,△ABC中,D为AB上一点,E为BC上一点,且AC=CD=BD=BE,∠A=50°,则∠CDE的度数为( )
A.50° B.51° C.51.5° D.52.5°
2.如下是四张形状不同的纸片,用剪刀沿一条直线将它们分别剪开(只允许剪一次),不能够得到两个等腰三角形纸片的是( )
3.已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1∶4,则这个等腰三角形顶角的度数为 .
4.如图,AD∥BC,∠BAC=70°,DE⊥AC于点E,∠D=20°.
(1)求∠B的度数,并判断△ABC的形状;
(2)若延长线段DE恰好过点B,试说明BD是∠ABC的平分线.
能力提升全练
拓展训练
1.(2018黑龙江鸡西密山期末)如图,在△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,E、F为垂足,则下列四个结论:(1)∠DEF=∠DFE;(2)AE=AF;(3)DA平分∠EDF;(4)EF垂直平分AD.其中正确的有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
2.(2018吉林长春榆树期末)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD,CE分别平分∠ABC,∠ACB,若CD=3,则CE等于 ( )
A.2 B.2.5
C.3 D.3.5
3.如图,已知∠B=∠C,请同学从①BE=CE,②AB=DC,③∠BAE=∠CDE三个等式中再选出一个作为条件,可以推出△AED是等腰三角形的有 (填序号).
4.(2018北京期末)已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为40°,则此等腰三角形的顶角为 .
三年模拟全练
拓展训练
1.(2018山东青岛市南期末,8,★★☆)如图,AB=AC,AB的中垂线MN交AC于点D,交AB于点M,且BC=AD,下列结论:①△BCD是等腰三角形;②BD平分∠ABC;③∠C=72°;④图中共有3个等腰三角形,其中正确的有( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
2.(2018山东德州期末,18,★★★)已知△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点D,交直线AC于点E,若∠EBC=42°,则∠BAC的度数为 .
3.(2018广东蓬江期末,20,★★☆)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,BE平分∠ABC,AM⊥BC于点M,AD平分∠MAC,交BC于点D,交BE于点F,AM交BE于点G.
(1)求证:∠BAM=∠C;(5分)
(2)判断直线BE与线段AD之间的关系,并说明理由.(7分)
五年中考全练
拓展训练
1.(2016内蒙古通辽中考,14,★★★)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°,则该等腰三角形的底角的度数为 .
2.(2016江苏常州中考,23,★★☆)如图,已知△ABC中,AB=AC,BD、CE是高,BD与CE相交于点O.(8分)
(1)求证:OB=OC;
(2)若∠ABC=50°,求∠BOC的度数.
核心素养全练
拓展训练
如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形,那么称这条线段为这个三角形的特异线,称这个三角形为特异三角形.
(1)如图1,△ABC中,∠B=2∠C,线段AC的垂直平分线交AC于点D,交BC于点E.求证:AE是△ABC的一条特异线;
(2)如图2,若△ABC是特异三角形,∠A=30°,∠B为钝角,求出所有可能的∠B的度数.
13.3.1 等腰三角形
基础闯关全练
拓展训练
1. D ∵AC=CD,∴∠ADC=∠A=50°,又∵CD=BD,∴∠B=∠BCD,∵∠ADC=∠B+∠BCD=50°,∴∠B=25°,
∵BD=BE,∴∠BDE=∠BED=77.5°,∵∠ADC+∠CDE+∠BDE=180°,∴∠CDE=52.5°.
2.B A.如图所示,△ACD和△BCD都是等腰三角形;
B.△ABC不能够分成两个等腰三角形;
C.如图所示,△ACD和△BCD都是等腰三角形;
D.如图所示,△ACD和△BCD都是等腰三角形.
故选B.
3.答案 120°或20°
解析 设两内角分别是x°,4x°(x>0).
①当底角为x°时,根据三角形的内角和定理,得x°+x°+4x°=180°,解得x=30,∴4x=120,此时顶角为120°;
②当顶角为x°时,x°+4x°+4x°=180°,解得x=20,此时顶角为20°.
所以这个等腰三角形的顶角为120°或20°.
4.解析 (1)∵DE⊥AC于点E,∠D=20°,
∴∠CAD=70°,∵AD∥BC,
∴∠C=∠CAD=70°,∵∠BAC=70°,
∴∠B=40°,AB=BC,∴△ABC是等腰三角形.
(2)∵延长线段DE恰好过点B,DE⊥AC,
∴BD⊥AC,∵△ABC是等腰三角形,且BA=BC,
∴BD是∠ABC的平分线.
能力提升全练
拓展训练
1.C ∵AB=AC,AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,∴△ABC是等腰三角形,DE=DF,∴∠DEF=∠DFE.结合三角形全等知识得AE=AF,DA平分∠EDF.故选C.
2.C ∵AB=AC,∠A=36°,∴∠ABC=∠ACB=72°,∵BD,CE分别平分∠ABC,∠ACB,∴∠ABD=∠ACE=36°,∴∠BDC=72°,∴∠CED=180°-∠ACE-∠BDC=72°,
∴∠CED=∠CDE,∴CE=CD=3,故选C.
3.答案 ①或②
解析 选①BE=CE.
理由:∵∠B=∠C,BE=CE,∠BEA=∠CED,
∴△BEA≌△CED(ASA),∴AE=DE,
∴△AED是等腰三角形.
选②AB=DC.理由:∵∠BEA=∠CED,∠B=∠C,AB=DC,∴△BEA≌△CED(AAS),
∴AE=DE,∴△AED是等腰三角形.故填①或②.
4.答案 50°或130°
解析 当顶角为锐角时,如图1.∵∠ADE=40°,∠AED=90°,∴∠A=50°;当顶角为钝角时,如图2,∵∠ADE=40°,∠AED=90°,∴∠DAE=50°,∴∠BAC=180°-50°=130°.故答案为50°或130°.
三年模拟全练
拓展训练
1.A ∵MN是AB的中垂线,∴DA=DB,∵BC=AD,∴BC=BD,∴△BCD是等腰三角形,①正确;∵BC=BD,
∴∠BCD=∠BDC=∠DAB+∠DBA,∵DA=DB,
∴∠DBA=∠DAB,∴∠C=2∠DBA,
∵AB=AC,∴∠ABC=∠C,∴∠ABC=2∠DBA,∴BD平分∠ABC,②正确;设∠A=x,则∠ABC=∠C=2x,则x+2x+2x=180°,解得x=36°,∴∠C=2x=72°,③正确;
∵AB=AC,DA=DB,BC=BD,
∴图中共有3个等腰三角形,④正确.故选A.
2.答案 32°或152°或88°
解析 如图1,∵△ABC是等腰三角形,AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∠ABC+∠ACB+∠A=180°,
∵DE垂直且平分AB,∴EA=EB,∴∠ABE=∠A,
∵∠EBC+∠ACB=∠AEB,
∴42°+12(180°-∠A)=180°-2∠A,解得∠BAC=32°.
如图2,同理可得,∠BAC=152°,如图3,同理可得,∠BAC=88°.综上所述,∠BAC=32°或152°或88°.
3.解析 (1)证明:∵AM⊥BC,∴∠ABC+∠BAM=90°,
∵∠BAC=90°,∴∠ABC+∠C=90°,∴∠BAM=∠C.
(2)BE垂直平分AD.理由:如图,∵AD平分∠MAC,∴∠3=∠4,∵∠BAD=∠BAM+∠3,∠ADB=∠C+∠4,∠BAM=∠C,∴∠BAD=∠ADB,
∴AB=BD,∴△BAD是等腰三角形,又∵∠1=∠2,∴BE垂直平分AD.
五年中考全练
拓展训练
1.答案 69°或21°
解析 分两种情况讨论:
①若∠A90°,AB=AC,如图2所示.
∵BD⊥AC,∠ABD=48°,∴∠DAB=90°-48°=42°,
∴∠BAC=180°-42°=138°,∵AB=AC,
∴∠ABC=∠C=12×(180°-138°)=21°.
综上所述,等腰三角形的底角的度数为69°或21°.
2.解析 (1)证明:∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,即∠EBC=∠DCB.
∵BD、CE是△ABC的两条高,
∴∠BEC=∠BDC=90°.
在△BEC和△CDB中,
∠EBC=∠DCB,∠BEC=∠BDC,BC=CB,
∴△BEC≌△CDB,
∴∠ECB=∠DBC,
∴OB=OC.
(2)∵∠ABC=50°,AB=AC,
∴∠A=180°-2×50°=80°,
∵∠DOE+∠A=180°,
∴∠BOC=∠DOE=180°-80°=100°.
核心素养全练
拓展训练
解析 (1)证明:∵DE垂直平分AC,
∴EA=EC,∴△EAC是等腰三角形,
∴∠EAC=∠C,
∴∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C,
∵∠B=2∠C,
∴∠AEB=∠B,∴AB=AE,∴△EAB是等腰三角形.
∴AE是△ABC的一条特异线.
(2)如图.
当BD是特异线时,如果AB=BD=DC,则∠ABC=∠ABD+∠DBC=120°+15°=135°.
如果AD=AB,DB=DC,则∠ABC=∠ABD+∠DBC=75°+37.5°=112.5°.
如果AD=DB,DC=DB,则∠ABC=∠ABD+∠DBC=30°+60°=90°(不合题意,舍去).
如图,当AD是特异线时,AB=BD,AD=DC,则∠ABC=180°-20°-20°=140°.
当CD为特异线时,不合题意.
∴符合条件的∠ABC的度数为135°或112.5°或140°.
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