基础过关
1.在直角坐标系xOy中,以坐标原点O为极点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C1的极坐标方程为ρ=,C2的参数方程为(t为参数).
(1)写出曲线C1的直角坐标方程与C2的普通方程;
(2)若C1与C2相交于A,B两点,求|AB|.
2.在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数).以原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=ρcosθ+2.
(1)写出直线l经过的定点的直角坐标,并求曲线C的直角坐标方程;
(2)若α=,求直线l的极坐标方程以及直线l与曲线C的交点的极坐标.
3.已知过点P(-1,0)的直线l与曲线C:(φ为参数)交于不同的两点A,B.
(1)写出曲线C的普通方程;
(2)求|PA|·|PB|的取值范围.
4.在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(α为参数,α∈(0,π)).在以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,点P的极坐标为,直线l的极坐标方程为ρsin+5=0.
(1)求直线l的直角坐标方程与曲线C的普通方程;
(2)若Q是曲线C上的动点,M为线段PQ的中点,求点M到直线l的距离的最大值.
能力提升
5.在直角坐标系xOy中,曲线C1:+y2=1,曲线C2:(φ为参数).以坐标原点O为极点,以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求C1,C2的极坐标方程;
(2)射线l的极坐标方程为θ=α(ρ≥0),若l分别与C1,C2交于异于极点的A,B两点,求的最大值.
6.在直角坐标系xOy中,曲线M的参数方程为(θ为参数,r>0),曲线N的参数方程为(t为参数,且t≠0).
(1)以曲线N上的点与原点O连线的斜率k为参数,写出曲线N的参数方程;
(2)若曲线M与N的两个交点为A,B,直OA与直线OB的斜率之积为,求r的值.
限时集训(二十一)
基础过关
1.解:(1)易得曲线C1的直角坐标方程为y2=2x,
C2的普通方程为x+y=4.
(2)将C2的参数方程代入C1的方程y2=2x中,得=2,即t2+3t=0,解得t1=0,t2=-6,这里t1,t2分别是A,B对应的参数,
∴|AB|=|t1-t2|=6.
2.解:(1)直线l经过的定点的直角坐标为(-1,1).
由ρ=ρcosθ+2得ρ2=(ρcosθ+2)2,
可得曲线C的直角坐标方程为x2+y2=(x+2)2,化简得y2=4x+4.
(2)由α=,得直线l的参数方程为消去参数t,得直线l的普通方程为y=x+2,即直线l的直角坐标方程为y=x+2.将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入上式,得直线l的极坐标方程为ρsinθ=ρcosθ+2,
与曲线C的极坐标方程ρ=ρcosθ+2联立,得ρ=ρsinθ.
∵ρ≠0,∴sinθ=1,取θ=,得ρ=2,
∴直线l与曲线C的交点的极坐标为.
3.解:(1)消去参数φ,得曲线C的普通方程为
+=1,即2x2+3y2=1.
(2)设直线l的参数方程为(t为参数,α为直线l的倾斜角),代入2x2+3y2=1中,得
(2cos2α+3sin2α)t2-4tcosα+1=0.设A,B对应的参数分别是t1,t2,则t1+t2=,t1t2=,
由Δ>0,得0≤tan2α0).
(2)设Q(2cosα,2sinα)(00,满足题意,
故r=1.
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