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期末模拟测试题
一.选择题每小题3分，共30分．
1．下列图标是节水、节能、低碳和绿色食品的标志，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列分式中，无论x取何值，分式总有意义的是（ ）
A． B． C． D．
3．点M（﹣2，1）关于y轴的对称点N的坐标是（ ）
A．（2，1） B．（1，﹣2） C．（﹣2，﹣1） D．（2，﹣1）
4．下列运算中正确的是（ ）
A．b3•b3=2b3 B．x2•x3=x6 C．（a5）2=a7 D．a2÷a5=a﹣3
5．下列多项式中，能分解因式的是（ ）
A．a2+b2 B．﹣a2﹣b2 C．a2﹣4a+4 D．a2+ab+b2
6．已知一个多边形的每一个外角都相等，一个内角与一个外角的度数之比是3：1，这个多边形的边数是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
7．若关于x的方程无解，则m的值是（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3
8．如图，AC与BD相交于点O，∠D=∠C，添加下列哪个条件后，仍不能使△ADO≌△BCO的是（ ）
A．AD=BC B．AC=BD C．OD=OC D．∠ABD=∠BAC
9．如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点C落在AB上的点E处，已知BC=24，∠B=30°，则DE的长是（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
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10．如图，在等腰三角形ABC中，∠ABC=90°，D为AC边上中点，过D点作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F，若S四边形面积=9，则AB的长为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．18
（9） （10）
二、填空题：每小题3分，共24分．
11．若分式的值为零，则x的值等于 ．
12．计算：（a+2b）（2a﹣4b）= ．
13．如图，在△ABC中，∠A=50°，∠ABC=70°，BD平分∠ABC，则∠BDC的度数是 ．
14．三角形的三边长分别为5，1+2x，8，则x的取值范围是 ．
15．为了创建园林城市，某社区要清理一个卫生死角内的垃圾，租用甲、乙两车运送，两车各运10趟可完成．已知甲、乙两车单独运完此堆垃圾，乙车所运的趟数时甲车的2倍，则甲车单独运完此堆垃圾需要运的趟数为 ．
16．如图，已知△ABC≌△A′BC′，AA′∥BC，∠ABC=70°，则∠CBC′= ．
17．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BD于点D，DE∥AC交AB于点E，若AB=8，则DE= ．
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18．如图，AB⊥BC，AD⊥DC，∠BAD=100°，在BC、CD上分别找一点M、N，当△AMN的周长最小时，∠AMN+∠ANM的度数是 ．
（17） （18）
三、解答题：共66分．
19．分解因式：
（1）5x2+10x+5 （2）（a+4）（a﹣4）+3（a+2）
20．先化简，再求值：（ +）÷，其中x=1010．
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21．解方程：
（1）﹣=1 （2）+=．
22．如图，已知点B、F、C、E在一条直线上，BF=EC，AB∥ED，AB=DE．求证：∠A=∠D．
23．某超市用4000元购进某种服装销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购进该种服装，但这次的进价比第一次的进价降低了10%，购进的数量是第一次的2倍还多25件，问这种服装的第一次进价是每件多少元？
24．如图，在△ABC中，D为AB的中点，DE∥BC，交AC于点E，DE∥AC，交BC于点F．
（1）求证：DE=BF；
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（2）连接EF，请你猜想线段EF和AB有何关系？并对你的猜想加以证明．
25．如图，已知点A、C分别在∠GBE的边BG、BE上，且AB=AC，AD∥BE，∠GBE的平分线与AD交于点D，连接CD．
（1）求证：①AB=AD；②CD平分∠ACE．
（2）猜想∠BDC与∠BAC之间有何数量关系？并对你的猜想加以证明．
26．如图，在平面直角坐标系中，已知两点A（m，0），B（0，n）（n＞m＞0），点C在第一象限，AB⊥BC，BC=BA，点P在线段OB上，OP=OA，AP的延长线与CB的延长线交于点M，AB与CP交于点N．
（1）点C的坐标为： （用含m，n的式子表示）；
（2）求证：BM=BN；
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（3）设点C关于直线AB的对称点为D，点C关于直线AP的对称点为G，求证：D，G关于x轴对称．
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参考答案与试题解析
一.选择题每小题3分，共30分．
1．下列图标是节水、节能、低碳和绿色食品的标志，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项正确．
故选D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
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2．下列分式中，无论x取何值，分式总有意义的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】分式有意义的条件．
【分析】根据分母不为零分式有意义，可得答案．
【解答】解：A、x=0时分式无意义，故A错误；
B、无论x取何值，分式总有意义，故B正确；
C、当x=﹣1时，分式无意义，故C错误；
D、当x=0时，分式无意义，故D错误；
故选：B．
【点评】本题考查了分式有意义的条件，分母不为零分式有意义．
3．点M（﹣2，1）关于y轴的对称点N的坐标是（ ）
A．（2，1） B．（1，﹣2） C．（﹣2，﹣1） D．（2，﹣1）
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【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答．
【解答】解：点M（﹣2，1）关于y轴的对称点N的坐标是（2，1）．
故选A．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
4．下列运算中正确的是（ ）
A．b3•b3=2b3 B．x2•x3=x6 C．（a5）2=a7 D．a2÷a5=a﹣3
【考点】同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
【分析】结合选项分别进行同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方、同底数幂的除法等运算，然后选择正确答案．
【解答】解：A、b3•b3=b6，原式计算错误，故本选项错误；
B、x2•x3=x5，原式计算错误，故本选项错误；
C、（a5）2=a10，原式计算错误，故本选项错误；
D、a2÷a5=a﹣3，计算正确，故本选项正确．
故选D．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方、同底数幂的除法等知识，掌握运算法则是解答本题的关键．
5．下列多项式中，能分解因式的是（ ）
A．a2+b2 B．﹣a2﹣b2 C．a2﹣4a+4 D．a2+ab+b2
【考点】因式分解的意义．
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
【解答】解：A、平方和不能分解，故A错误；
B、平方的符号相同，不能因式分解，故B错误；
C、平方和减积的2倍等于差的平方，故C正确；
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D、平方和加积的1倍，不能因式分解，故D错误；
故选：C．
【点评】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．
6．已知一个多边形的每一个外角都相等，一个内角与一个外角的度数之比是3：1，这个多边形的边数是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
【考点】多边形内角与外角．
【分析】设这个多边形的外角为x°，则内角为3x°，根据多边形的相邻的内角与外角互补可的方程x+3x=180，解可得外角的度数，再用外角和除以外角度数即可得到边数．
【解答】解：设这个多边形的外角为x°，则内角为3x°，
由题意得：x+3x=180，
解得x=45，
这个多边形的边数：360°÷45°=8，
故选A．
【点评】此题主要考查了多边形的内角与外角，关键是掌握多边形的相邻的内角与外角互补．
7．若关于x的方程无解，则m的值是（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3
【考点】分式方程的增根．
【专题】计算题．
【分析】方程无解，说明方程有增根，只要把增根代入方程然后解出m的值．
【解答】解：∵方程无解，
∴x=4是方程的增根，
∴m+1﹣x=0，
∴m=3．
故选D．
【点评】本题主要考查方程的增根问题，计算时要小心，是一道基础题．
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8．如图，AC与BD相交于点O，∠D=∠C，添加下列哪个条件后，仍不能使△ADO≌△BCO的是（ ）
A．AD=BC B．AC=BD C．OD=OC D．∠ABD=∠BAC
【考点】全等三角形的判定．
【分析】本题已知条件是一对对顶角和一对对应角，所填条件必须是边，根据ASA、AAS，可证明△ADO≌△BCO．
【解答】解：添加AD=CB，根据AAS，可证明△ADO≌△BCO；
添加OD=OC，根据ASA，可证明△ADO≌△BCO；
添加∠ABD=∠BAC，得OA=OB，根据AAS，可证明△ADO≌△BCO；
添加AC=BD，不能证明△ADO≌△BCO；
故选B．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
9．如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点C落在AB上的点E处，已知BC=24，∠B=30°，则DE的长是（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】由轴对称的性质可以得出DE=DC，∠AED=∠C=90°，就可以得出∠BED=90°，根据直角三角形的性质就可以求出BD=2DE，然后建立方程求出其解即可．
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【解答】解：∵△ADE与△ADC关于AD对称，
∴△ADE≌△ADC，
∴DE=DC，∠AED=∠C=90°，
∴∠BED=90°．
∵∠B=30°，
∴BD=2DE．
∵BC=BD+CD=24，
∴24=2DE+DE，
∴DE=8．
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称的性质的运用，直角三角形的性质的运用，一元一次方程的运用，解答时根据轴对称的性质求解是关键．
10．如图，在等腰三角形ABC中，∠ABC=90°，D为AC边上中点，过D点作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F，若S四边形面积=9，则AB的长为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．18
【考点】等腰直角三角形；全等三角形的判定与性质．
【分析】首先连接BD，由已知等腰直角三角形ABC，可推出BD⊥AC且BD=CD=AD，∠ABD=45°再由DE丄DF，可推出∠FDC=∠EDB，又等腰直角三角形ABC可得∠C=45°，所以△EDB≌△FDC，所以四边形的面积是三角形ABC的一半，利用三角形的面积公式即可求出AB的长．
【解答】解：连接BD，
∵等腰直角三角形ABC中，D为AC边上中点，
∴BD⊥AC（三线合一），BD=CD=AD，∠ABD=45°，
∴∠C=45°，
∴∠ABD=∠C，
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又∵DE丄DF，
∴∠FDC+∠BDF=∠EDB+∠BDF，
∴∠FDC=∠EDB，
在△EDB与△FDC中，
∵，
∴△EDB≌△FDC（ASA），
∴S四边形面积=S△BDC=S△ABC=9，
∴AB2=18，
∴AB=6，
故选B．
【点评】此题考查的知识点是勾股定理及全等三角形的判定，关键是由已知先证三角形全等，证明四边形的面积是大三角形的面积一半．
二、填空题：每小题3分，共24分．
11．若分式的值为零，则x的值等于 2 ．
【考点】分式的值为零的条件．
【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值．
【解答】解：根据题意得：x﹣2=0，
解得：x=2．
此时2x+1=5，符合题意，
故答案是：2．
【点评】本题主要考查了分式值是0的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
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12．计算：（a+2b）（2a﹣4b）= 2a2﹣8b2 ．
【考点】多项式乘多项式．
【分析】根据多项式乘以多项式的法则，可表示为（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn，计算即可．
【解答】解：（a+2b）（2a﹣4b）
=2a2﹣4ab+4ab﹣8b2
=2a2﹣8b2．
故答案为：2a2﹣8b2．
【点评】本题主要考查多项式乘以多项式的法则．注意不要漏项，漏字母，有同类项的合并同类项．
13．如图，在△ABC中，∠A=50°，∠ABC=70°，BD平分∠ABC，则∠BDC的度数是 85° ．
【考点】三角形内角和定理．
【分析】根据三角形内角和得出∠C=60°，再利用角平分线得出∠DBC=35°，进而利用三角形内角和得出∠BDC的度数．
【解答】解：∵在△ABC中，∠A=50°，∠ABC=70°，
∴∠C=60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=35°，
∴∠BDC=180°﹣60°﹣35°=85°．
故答案为：85°．
【点评】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理等知识，解答本题的关键是根据三角形内角和得出∠C=60°，再利用角平分线得出∠DBC=35°．
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14．三角形的三边长分别为5，1+2x，8，则x的取值范围是 1＜x＜6 ．
【考点】三角形三边关系．
【分析】根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
【解答】解：由题意，有8﹣5＜1+2x＜8+5，
解得：1＜x＜6．
【点评】考查了三角形的三边关系，还要熟练解不等式．
15．为了创建园林城市，某社区要清理一个卫生死角内的垃圾，租用甲、乙两车运送，两车各运10趟可完成．已知甲、乙两车单独运完此堆垃圾，乙车所运的趟数时甲车的2倍，则甲车单独运完此堆垃圾需要运的趟数为 15 ．
【考点】分式方程的应用．
【分析】假设甲车单独运完此堆垃圾需运x趟，则乙车单独运完此堆垃圾需运2x趟，根据总工作效率得出等式方程求出即可．
【解答】解：设甲车单独运完这堆垃圾需运x趟，则乙车单独运完这堆垃圾需运2x趟，由题意得，
+=
解得，x=15，
经检验，x=15是所列方程的解，且符合题意，
答：甲车单独运完这堆垃圾需运15趟．
故答案为：15．
【点评】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，利用工作总量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出方程解决问题．
16．如图，已知△ABC≌△A′BC′，AA′∥BC，∠ABC=70°，则∠CBC′= 40° ．
【考点】全等三角形的性质．
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【分析】根据平行线的性质得到∠A′AB=∠ABC=70°，根据全等三角形的性质得到BA=BA′，∠A′BC=∠ABC=70°，计算即可．
【解答】解：∵AA′∥BC，
∴∠A′AB=∠ABC=70°，
∵△ABC≌△A′BC′，
∴BA=BA′，∠A′BC=∠ABC=70°，
∴∠A′AB=∠AA′B=70°，
∴∠A′BA=40°，
∴∠ABC′=30°，
∴∠CBC′=40°，
故答案为：40°．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．
17．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BD于点D，DE∥AC交AB于点E，若AB=8，则DE= 4 ．
【考点】等腰三角形的判定与性质．
【分析】根据角平分线的定义可得∠CAD=∠BAD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠CAD=∠ADE，然后求出∠ADE=∠BAD，根据等角对等边可得AE=DE，然后根据等角的余角相等求出∠ABD=∠BDE，根据等角对等边可得DE=BE，从而得到DE=AB．
【解答】解：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠CAD=∠BAD，
∵DE∥AC，
∴∠CAD=∠ADE，
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∴∠ADE=∠BAD，
∴AE=DE，
∵BD⊥AD，
∴∠ADE+∠BDE=∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠ABD=∠BDE，
∴DE=BE，
∴DE=AB，
∵AB=8，
∴DE=×8=4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，以及等角的余角相等的性质，熟记性质并准确识图，准确找出图中相等的角是解题的关键．
18．如图，AB⊥BC，AD⊥DC，∠BAD=100°，在BC、CD上分别找一点M、N，当△AMN的周长最小时，∠AMN+∠ANM的度数是 160° ．
【考点】轴对称-最短路线问题．
【分析】根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″=∠AA″A′=80°，进而得出∠AMN+∠ANM=2（∠AA′M+∠A″），即可得出答案．
【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．
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∵∠DAB=100°，
∴∠AA′M+∠A″=80°．
由轴对称图形的性质可知：∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，
∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2（∠AA′M+∠A″）=2×80°=160°．
故答案为：160°．
【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出M，N的位置是解题关键．
三、解答题：共66分．
19．分解因式：
（1）5x2+10x+5
（2）（a+4）（a﹣4）+3（a+2）
【考点】提公因式法与公式法的综合运用；因式分解-十字相乘法等．
【专题】计算题；因式分解．
【分析】（1）原式提取5，再利用完全平方公式分解即可；
（2）原式整理后，利用十字相乘法分解即可．
【解答】解：（1）原式=5（x2+2x+1）=5（x+1）2；
（2）原式=a2﹣16+3a+6=a2+3a﹣10=（a﹣2）（a+5）．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，以及因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
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20．先化简，再求值：（ +）÷，其中x=1010．
【考点】分式的化简求值．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式=•
=，
将x=1010代入，得原式==．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
21．解方程：
（1）﹣=1
（2）+=．
【考点】解分式方程．
【专题】计算题；分式方程及应用．
【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）方程两边同乘以（x﹣1），得2﹣（x+2）=x﹣1，
解得：x=，
经检验x=是分式方程的解；
（2）去分母得：x+3x﹣9=x+3，
移项合并得：3x=12，
解得：x=4，
经检验x=4是分式方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
22．如图，已知点B、F、C、E在一条直线上，BF=EC，AB∥ED，AB=DE．求证：∠A=∠D．
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【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】由BF=EC，可得BC=EF，由已知AB∥ED，可得∠B=∠E，易证△ABC≌△DEF，即可得出∠A=∠D．
【解答】证明：∵BF=EC，
∴BF+FC=EC+FC，
∴BC=EF，
∵AB∥ED，
∴∠B=∠E，
∵AB=DE，
在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠A=∠D．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，解题的关键是证出△ABC≌△DEF．
23．某超市用4000元购进某种服装销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购进该种服装，但这次的进价比第一次的进价降低了10%，购进的数量是第一次的2倍还多25件，问这种服装的第一次进价是每件多少元？
【考点】分式方程的应用．
【分析】首先设这种服装第一次进价是每件x元，则第一次进价是每件（1﹣10%）x元，根据题意得等量关系：第二次购进的数量=第一次购进数量×2+25，根据等量关系列出方程，再解即可．
【解答】解：设这种服装第一次进价是每件x元，根据题意，得：
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=+25，
解得：x=80，
经检验x=80是原分式方程的解，
答：这种服装第一次进价是每件80元．
【点评】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程，注意不要忘记检验．
24．如图，在△ABC中，D为AB的中点，DE∥BC，交AC于点E，DE∥AC，交BC于点F．
（1）求证：DE=BF；
（2）连接EF，请你猜想线段EF和AB有何关系？并对你的猜想加以证明．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）利用平行线的性质得到相等的角，证明△ADE≌△DBF，即可得到DE=BF．
（2）EF∥AB且 EF=AB，证明△DBF≌△FED，得到EF=BD=AB，∠BDF=∠DFE，所以EF∥AB．
【解答】（1）∵D为AB的中点，
∴AD=DB，
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C
∵DF∥AC，
∴∠DFB=∠C，
∴∠AED=∠DFB，
在△ADE和△DBF中，
∴△ADE≌△DBF，
∴DE=BF．
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（2）EF∥AB且 EF=AB，如图，
∵DE∥BC，
∴∠EDF=∠DFB，
在△DBF和△FED中，
∴△DBF≌△FED
∴EF=BD=AB，∠BDF=∠DFE，
∴EF∥AB．
【点评】本题考查了全等三角形的性质定理与判定定理，解决本题的关键是利用平行线的性质得到相等的角证明三角形全等．
25．如图，已知点A、C分别在∠GBE的边BG、BE上，且AB=AC，AD∥BE，∠GBE的平分线与AD交于点D，连接CD．
（1）求证：①AB=AD；②CD平分∠ACE．
（2）猜想∠BDC与∠BAC之间有何数量关系？并对你的猜想加以证明．
【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．
【分析】（1）①根据平行线的性质得到∠ADB=∠DBC，由角平分线的定义得到∠ABD=∠DBC，等量代换得到∠ABD=∠ADB，根据等腰三角形的判定即可得到AB=AD；②根据平行线的性质得到∠ADC=∠DCE，由①知AB=AD，等量代换得到AC=AD，根据等腰三角形的性质得到∠ACD=∠ADC，求得∠ACD=∠DCE，即可得到结论；
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（2）根据角平分线的定义得到∠DBC=∠ABC，∠DCE=∠ACE，由于∠BDC+∠DBC=∠DCE于是得到∠BDC+∠ABC=∠ACE，由∠BAC+∠ABC=∠ACE，于是得到∠DC+∠ABC=∠ABC+∠BAC，即可得到结论．
【解答】解：（1）①∵AD∥BE，
∴∠ADB=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD；
②∵AD∥BE，
∴∠ADC=∠DCE，
由①知AB=AD，
又∵AB=AC，
∴AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC，
∴∠ACD=∠DCE，
∴CD平分∠ACE；
（2）∠BDC=∠BAC，
∵BD、CD分别平分∠ABE，∠ACE，
∴∠DBC=∠ABC，∠DCE=∠ACE，
∵∠BDC+∠DBC=∠DCE，
∴∠BDC+∠ABC=∠ACE，
∵∠BAC+∠ABC=∠ACE，
∴∠BDC+∠ABC=∠ABC+∠BAC，
∴∠BDC=∠BAC．
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【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键．
26．如图，在平面直角坐标系中，已知两点A（m，0），B（0，n）（n＞m＞0），点C在第一象限，AB⊥BC，BC=BA，点P在线段OB上，OP=OA，AP的延长线与CB的延长线交于点M，AB与CP交于点N．
（1）点C的坐标为： （n，m+n） （用含m，n的式子表示）；
（2）求证：BM=BN；
（3）设点C关于直线AB的对称点为D，点C关于直线AP的对称点为G，求证：D，G关于x轴对称．
【考点】几何变换综合题．
【分析】（1）过C点作CE⊥y轴于点E，根据AAS证明△AOB≌△BEC，根据全等三角形的性质即可得到点C的坐标；
（2）根据全等三角形的性质的性质和等量代换可得∠1=∠2，根据ASA证明△ABM≌△CBN，根据全等三角形的性质即可得到BM=BN；
（3）根据SAS证明△DAH≌△GAH，根据全等三角形的性质即可求解．
【解答】（1）解：过C点作CE⊥y轴于点E，
∵CE⊥y轴，
∴∠BEC=90°，
∴∠BEC=∠AOB，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC=90°，
∴∠ABO+∠CBE=90°，
∵∠ABO+∠BAO=90°，
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∴∠CBE=∠BAO，
在△AOB与△BEC中，
，
∴△AOB≌△BEC（AAS），
∴CE=OB=n，BE=OA=m，
∴OE=OB+BE=m+n，
∴点C的坐标为（n，m+n）．
故答案为：（n，m+n）；
（2）证明：∵△AOB≌△BEC，
∴BE=OA=OP，CE=BO，
∴PE=OB=CE，
∴∠EPC=45°，
∠APC=90°，
∴∠1=∠2，
在△ABM与△CBN中，
，
∴△ABM≌△CBN（ASA），
∴BM=BN；
（3）证明：∵点C关于直线AB的对称点为D，点C关于直线AP的对称点为G，
∴AD=AC，AG=AC，
∴AD=AG，
∵∠1=∠5，∠1=∠6，
∴∠5=∠6，
在△DAH与△GAH中，
，
∴△DAH≌△GAH（SAS），
∴D，G关于x轴对称．
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【点评】考查了几何变换综合题，涉及的知识点有：全等三角形的判定和性质，关于直线对称的性质．关键是AAS证明△AOB≌△BEC，ASA证明△ABM≌△CBN，SAS证明△DAH≌△GAH．
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