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遂宁市高中2017级第三学期教学水平监测
数学（理科）试题
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。总分150分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，满分60分）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检查条形码粘贴是否正确。
2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
3．考试结束后，将答题卡收回。
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．直线的倾斜角为
A． B． C． D．
2．圆心在轴上，半径为1且过点的圆的方程为
A． B．
C． D．
3．根据下图给出的2011年至2016年某企业关于某产品的生产销售（单位：万元）的柱形图，以下结论不正确的是
A．逐年比较，2014年是销售额最多的一年
B．这几年的利润不是逐年提高（利润为销售额减去总成本）
C．2011年至2012年是销售额增长最快的一年
D．2014年以来的销售额与年份正相关
4．直线和直线平行，则实
数的值为
A．3 B． C． D．或
5．已知是的重心，现将一粒黄豆随机撒在内，则黄豆落在内的概率是
A． B． C． D．
6．已知是不重合直线，是不重合平面，则下列命题
①若，则∥
②若∥∥，则∥
③若∥、∥，则∥
④若，则∥
⑤若，则∥
为假命题的是
A．①②③ B．①②⑤ C．③④⑤ D．①②④
7．若实数，满足则的最小值为
A． B． C． D．
8．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积为
A．
B．
C．
D．
9．运行下列程序，若输入
的的值分别为，
则输出的的值为
A．
B．
C．
D．
10．已知的外接圆经过点，且圆心在直线上.若的边长,则等于
A． B． C ． D．
11．已知三棱锥中，，，,，则此三棱锥的外接球的内接正方体的体积为
A． B． C． D．
12. 设点P是函数图象上任意一点，点Q坐标为，当取得最小值时圆与圆相外切，则的最大值为
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，满分90分）
注意事项：
1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。
2．试卷中横线及框内注有“▲”的地方，是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在空间直角坐标系中，点（1，2，3）关于面对称的点的坐标
为 ▲
14．连续抛掷两枚骰子，向上的点数之和为6的概率为 ▲
15．已知三棱锥A－BCD中，AB＝CD，且直线AB与CD所成的角为
60°，点M，N分别是BC，AD的中点，则直线AB和MN所成
的角的大小为 ▲
16．在平面直角坐标系中，点，若在曲线
上存在点使得
，则实数的取值范围为 ▲
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题10分）
如图，在三棱锥中，分别为棱的中点.已知，.
求证：（1）直线PA平面DEF；
（2）平面BDE⊥平面ABC.
▲
18．（本小题12分）
某城市理论预测2017年到2021年人口总数(单位：十万)与年份的关系如下表所示：
年份
0
1
2
3
4
人口总数
5
7
8
11
19
（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的回归方程；
（2）据此估计2022年该城市人口总数.
附： ， .
参考数据： ，
.
▲
19．（本小题12分）
已知直线与直线交于点
（1）求过点且平行于直线的直线的方程；
（2）在（1）的条件下，若直线与圆交于A、B两点，求直线与圆截得的弦长
▲
20．（本小题12分）
2017年“双节”
期间，高速公路车辆较多．某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速分成六段： ， ， ， ， ， 后得到如图的频率分布直方图．
（1）调查公司在采样中，用到的是什么抽样方法？
（2）求这40辆小型车辆车速的众数、中位数及平均数的估计值；
（3）若从车速在的车辆中任抽取2辆，求车速在的车辆至少有一辆的概率．
▲
21．（本小题12分）
如图，在四棱锥中，
底面，，，
60°，，
是的中点.
（1）证明：平面；
（2）求二面角的正弦值.
▲
22．（本小题12分）
已知线段AB的端点B的坐标为（3,0），端点A在圆上运动；
（1）求线段AB中点M的轨迹方程；
（2）过点C（1,1）的直线m与M的轨迹交于G、H两点，当△GOH（O为坐标原点）的面积最大时，求直线m的方程并求出△GOH面积的最大值.
（3）若点C（1,1），且P在M轨迹上运动，求的取值范围.
▲
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数学（理科）试题参考答案及评分意见
一、选择题（5×12=60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
B
D
B
B
D
D
A
B
A
C
C
二、填空题（每小题5分，共4个小题）
13． 14． 15．或 16．
三、解答题（共70分）
17．（本小题10分）
证明：（1）因为D，E分别为棱PC，AC的中点，所以DE∥PA ……………2分
又因为PA平面DEF，DE平面DEF， ……………4分
所以直线PA∥平面DEF ……………5分
（2）因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA＝6，BC＝8，
所以DE∥PA，EF∥BC，且DE＝PA＝3，EF＝BC＝4.
又因为DF＝5，故DF2＝DE2＋EF2， ……………6分
所以∠DEF＝90°，即DE⊥EF ……………7分
又PA⊥AC，DE∥PA，所以DE⊥AC ……………8分
因为AC∩EF＝E，AC平面ABC，EF平面ABC，
所以DE⊥平面ABC ……………9分
又DE平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABC ……………10分
18．（本小题12分）
解：（1）由题中数表，知， ……………2分
……………4分
所以， ……………6分
……………7分
所以回归方程为 ……………8分
(2)当时， (十万) (万) ……………12分
19．（本小题12分）
解：（1）由， ……………2分
令， ……………4分
将代入得： (直线表示方式不唯一) ……………6分
（2）圆心到直线的距离， ………9分
所以 ……………12分
20．（本小题12分）
解析：（1）系统抽样． ……………1分
（2）众数的估计值为最高的矩形的中点，即 ……………2分
设图中虚线所对应的车速为，则中位数的估计值为：
，
解得
即中位数的估计值为． ……………4分
平均数的估计值为：
……………6分
（3）车速在的车辆数为：2
车速在的车辆数为：4 ……………8分
设车速在的车辆为，车速在的车辆为，
则基本事件有：
共15种，其中，车速在的车辆至少有一辆的事件有：……………10分
共14种，
所以车速在的车辆至少有一辆的概率为 …………….12分
21．（本小题12分）
（1）证明：在四棱锥P－ABCD中，
因PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD，
故CD⊥PA ……………2分
由条件CD⊥AC，PA∩AC＝A，
∴CD⊥平面PAC.
又AE平面PAC，∴AE⊥CD ……………4分
由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.
∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.
又PC∩CD＝C，综上得AE⊥平面PCD ……………6分
（2）解 过点E作EM⊥PD，垂足为M，连接AM，如图所示.
由(1)知，AE⊥平面PCD，AM在平面PCD内的射影是EM，
则AM⊥PD.
因此∠AME是二面角A－PD－C的平面角 ……………8分
由已知，
可得∠CAD＝30°.
设AC＝a，可得
PA＝a，AD＝a，PD＝a，AE＝a.
在Rt△ADP中，∵AM⊥PD，∴AM·PD＝PA·AD，
则AM＝＝＝a ……………10分
在Rt△AEM中，sin∠AME＝＝.
所以二面角A－PD－C的正弦值为 ……………12分
方法二：∵AB=BC且∠ABC=60° ∴AB=BC=AC
又∴AB⊥AD 且AC⊥CD
∴∠DAC=30°，∠ADC=60° ……………2分
不妨令 PA=AB=BC=AC=a
分别以AB、AD、PA所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系
则A（0,0,0） B（a,0,0） P（0,0,a） D（0,,0）
C（） E（） ……………4分
（1）
且
∴AE⊥面PCD ……………6分
（2）为面PAD的一个法向量 ……………7分
由（1）知为面PCD的一个法向量 ……………8分
∴二面角的余弦值 …………10分
∴二面角的正弦值为 …………12分
22．（本小题12分）
（1）解：设点
由中点坐标公式有 ……………2分
又点在圆上，将点坐标代入圆方程得：
点的轨迹方程为： ……………4分
（2）令，则
当，即时面积最大为2 ……………6分
又直线过点，，∴到直线的距离为，当直线斜率不存在时，到的距离为1不满足，令
故直线的方程为： ……………8分
（3）设点，由于点
则，令 ……………9分
有，由于点在圆上运动，故满足圆的方程.
当直线与圆相切时，取得最大或最小
故有
所以 ……………12分
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