基础过关
1.设函数f(x)=|x+a|+2a.
(1)若不等式f(x)≤1的解集为{x|-2≤x≤4},求a的值;
(2)在(1)的条件下,若不等式f(x)≥k2-k-4恒成立,求k的取值范围.
2.设a>0,b>0,且a2b+ab2=2,求证:
(1)a3+b3≥2;
(2)(a+b)(a5+b5)≥4.
3.已知函数f(x)=|x-1|.
(1)解不等式f(x-1)+f(x+3)≥6;
(2)若|a|1的解集;
(2)若关于x的不等式f(x)≥|a-1|+a有解,求实数a的取值范围.
能力提升
5.已知函数f(x)=|x-a|+|x+2|.
(1)当a=1时,解不等式f(x)≥4;
(2)若不等式f(x)≤|x+3|的解集包含[0,1],求实数a的取值范围.
6.已知函数f(x)=|x-1|+|x-3|.
(1)解不等式f(x)≤x+1;
(2)设函数f(x)的最小值为c,实数a,b满足a>0,b>0,a+b=c,求证:+≥1.
限时集训(二十二)
基础过关
1.解:(1)f(x)≤1,即|x+a|+2a≤1,所以|x+a|≤1-2a,
所以2a-1≤x+a≤1-2a,所以a-1≤x≤1-3a.
因为不等式f(x)≤1的解集为{x|-2≤x≤4},
所以解得a=-1.
(2)由(1)得f(x)=|x-1|-2.
不等式f(x)≥k2-k-4恒成立,
只需f(x)min≥k2-k-4,
所以-2≥k2-k-4,即k2-k-2≤0,解得-1≤k≤2,
所以k的取值范围是[-1,2].
2.证明:(1)∵a>0,b>0,a2b+ab2=2,
∴a3+b3-2=a3+b3-a2b-ab2=a2(a-b)+b2(b-a)=(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b)≥0,∴a3+b3≥2.
(2)(a+b)(a5+b5)=a6+b6+a5b+ab5=(a3+b3)2-2a3b3+a5b+ab5=(a3+b3)2+ab(a4-2a2b2+b4)=(a3+b3)2+ab(a2-b2)2,
∵a>0,b>0,a3+b3≥2,
∴(a+b)(a5+b5)≥22=4.
3.解:(1)原不等式等价于|x-2|+|x+2|≥6,
可得或或解得x≤-3或x∈⌀或x≥3,
所以不等式的解集是(-∞,-3]∪[3,+∞).
(2)证明:要证f(ab)>|a|f,
只需证|ab-1|>|b-a|,
只需证(ab-1)2>(b-a)2.
因为(ab-1)2-(b-a)2=a2b2-a2-b2+1=(a2-1)(b2-1)>0,所以(ab-1)2>(b-a)2,即原不等式成立.
4.解:(1)由题意得f(x)=
则由f(x)>1得或或
解得x∈⌀或1的解集为xx>.
(2)因为不等式f(x)≥|a-1|+a有解,所以f(x)max≥|a-1|+a.
由(1)知f(x)max=2,
则有|a-1|+a≤2,即|a-1|≤2-a,所以a-2≤a-1≤2-a,
解得a≤,即a的取值范围为.
能力提升
5.解:(1)当a=1时,由f(x)≥4,得或或
解得x≤-或x∈⌀或x≥,
则不等式f(x)≥4的解集为-∞,-∪.
(2)由题意知f(x)≤|x+3|在[0,1]上恒成立.
∵x∈[0,1],∴x+2>0,x+3>0,
∴|x-a|≤1在[0,1]上恒成立.
∵y=|x-a|在(-∞,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增,
∴解得即0≤a≤1,
∴a的取值范围是[0,1].
6.解:(1)f(x)≤x+1,即|x-1|+|x-3|≤x+1.
当x3,∴31,n>1,a=m-1,b=n-1,m+n=4.
则+=+=m+n++-4=≥=1,当且仅当m=n=2时取等号,
即原不等式得证.
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