2019高考数学（文）”一本“培养专题限时集训2　解三角形Word版含解析.doc

专题限时集训(二)　解三角形 ‎(建议用时：60分钟)‎ 一、选择题 ‎1．(2018·天津模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若AB＝，a＝3，∠C＝120°，则AC等于(　　)‎ A．1　 　　B．2　 　　C．3　 　　D．4‎ A　[由余弦定理得13＝AC2＋9－6ACcos 120°‎ 即AC2＋3AC－4＝0‎ 解得AC＝1或AC＝－4(舍去)．故选A.]‎ ‎2. (2018·合肥模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos C＝，bcos A＋acos B＝2，则△ABC的外接圆的面积为(　　)‎ A．4π B．8π C．9π D．36π C　[由bcos A＋acos B＝2，得＋＝2‎ 化简得c＝2，又sin C＝，则△ABC的外接圆的半径R＝＝3，从而△ABC的外接圆面积为9π，故选C.]‎ ‎3．在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积(　　)‎ A．3 B. C. D．3 C　[因为c2＝(a－b)2＋6，C＝，所以由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2abcos，即－2ab＋6＝－ab，ab＝6，因此△ABC的面积为absin C＝3×＝，选C.]‎ ‎4．如图216，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高为(　　)‎ 图216‎ A．10米 B．10米 C．10米 D．10米 D　[在△BCD中，∠DBC＝180°－105°－45°＝30°，‎ 由正弦定理得＝，解得BC＝10.‎ 在△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝10×tan 60°＝10.]‎ ‎5．(2018·长沙模拟)在△ABC中，角A，B，C对应边分别为a，b，c，已知三个向量m＝，n＝，p＝共线，则△ABC的形状为(　　)‎ A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 A　[由m∥n得acos＝bcos，即sin Acos ＝sin Bcos 化简得sin＝sin，从而A＝B，同理由m∥p得A＝C，因此△ABC为等边三角形．]‎ ‎6．如图217，在△ABC中，C＝，BC＝4，点D在边AC上，AD＝DB，DE⊥AB，E为垂足．若DE＝2，则cos A＝(　　)‎ 图217‎ A. B. C. D. C　[∵DE＝2，∴BD＝AD＝＝.∵∠BDC＝2∠A，在△BCD中，由正弦定理得＝，∴＝×＝，∴cos A＝，故选C.]‎ ‎7．为测出所住小区的面积，某人进行了一些测量工作，所得数据如图218所示，则小区的面积为(　　)‎ 图218‎ A. km2 B. km2‎ C. km2 D. km2‎ D　[如图，连接AC，根据余弦定理可得AC＝，故△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，从而△ADC为等腰三角形，且∠ADC＝150°，设AD＝DC＝x，根据余弦定理得x2＋x2＋x2＝3，即x2＝＝3(2－)．所以所求小区的面积为×1×＋×3(2－)×＝＝(km2)．]‎ ‎8．在△ABC中，A＝60°，BC＝，D是AB边上不同于A，B的任意一点，CD＝，△BCD的面积为1，则AC的长为(　　)‎ A．2 B. C. D. D　[由S△BCD＝1，可得×CD×BC×sin∠DCB＝1，即sin∠DCB＝，所以cos∠DCB＝或cos∠DCB＝－，又∠DCB＜∠ACB＝180°－A－B＝120°－B＜‎ ‎120°，所以cos∠DCB＞－，所以cos∠DCB＝.在△BCD中，cos∠DCB＝＝，解得BD＝2，所以cos∠DBC＝＝，所以sin∠DBC＝.在△ABC中，由正弦定理可得AC＝＝，故选D.]‎ 二、填空题 ‎9．如图219，为了估测某塔的高度，在同一水平面的A，B两点处进行测量，在点A处测得塔顶C在西偏北20°的方向上，仰角为60°；在点B处测得塔顶C在东偏北40°的方向上，仰角为30°.若A，B两点相距130 m，则塔的高度CD＝________m.‎ 图219‎ ‎10　[分析题意可知，设CD＝h，则AD＝，BD＝h，在△ADB中，∠ADB＝180°－20°－40°＝120°，由余弦定理AB2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos 120°，可得1302＝3h2＋－2·h··，解得h＝10，故塔的高度为10 m．]‎ ‎10．(2018·衡阳模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝4，c＝5，且B＝2C，点D为边BC上一点，且CD＝3，则△ADC的面积为________．‎ ‎6　[在△ABC中，由正弦定理得＝，又B＝2C，则＝，又sin C＞0，则cos C＝＝，又C为三角形的内角，则sin C＝＝＝，则△ADC的面积为AC·CDsin C＝×4×3×＝6.]‎ ‎11．(2018·济南模拟)已知△ABC中，AC＝4，BC＝2，∠BAC＝60°，AD⊥BC 于点D，则的值为________．‎ ‎6　[在△ABC中，由余弦定理可得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos∠BAC，即28＝16＋AB2－4AB，解得AB＝6或AB＝－2(舍)，则cos∠ABC＝＝，BD＝AB·cos∠ABC＝6×＝，CD＝BC－BD＝2－＝，所以＝6.]‎ ‎12．已知在△ABC中，B＝2A，∠ACB的平分线CD把三角形分成面积比为4∶3的两部分，则cos A＝________.‎ 　[由题意知S△ACD∶S△BCD＝4∶3，‎ 即＝，‎ 化简得＝ 又＝，所以＝＝ 因为B＝2A，所以＝，化简得cos A＝.] ‎ 三、解答题 ‎13．如图2110，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°.‎ 图2110‎ ‎(1)若PB＝，求PA；‎ ‎(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA.‎ ‎[解]　(1)由已知得，∠PBC＝60°，‎ 所以∠PBA＝30°.‎ 在△PBA中，由余弦定理得PA2＝3＋－2××cos 30°＝.故PA＝.‎ ‎(2)设∠PBA＝α，由已知得PB＝sin α.‎ 在△PBA中，由正弦定理得＝，‎ 化简得cos α＝4sin α.‎ 所以tan α＝，即tan∠PBA＝.‎ ‎(教师备选)‎ 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足(2b－c)cos A＝acos C.‎ ‎(1)求角A的大小；‎ ‎(2)若a＝3，求△ABC周长的最大值．‎ ‎[解]　(1)由(2b－c)cos A＝acos C及正弦定理，‎ 得(2sin B－sin C)cos A＝sin Acos C，‎ ‎∴2sin Bcos A＝sin Ccos A＋sin Acos C，‎ ‎∴2sin Bcos A＝sin(C＋A)＝sin B.‎ ‎∵B∈(0，π)，∴sin B≠0.‎ ‎∵A∈(0，π)，cos A＝，∴A＝.‎ ‎(2)由(1)得A＝，由正弦定理得＝＝＝＝2，∴b＝2sin B，c＝2sin C.‎ ‎△ABC的周长l＝3＋2sinB＋2sin ‎＝3＋2sinB＋2 ‎＝3＋3sin B＋3cos B ‎＝3＋6sin.‎ ‎∵B∈，∴当B＝时，△ABC的周长取得最大值为9.‎