2019届高三年级第一次模拟考试
数 学 (满分160分，考试时间120分钟)
参考公式：
锥体的体积公式：V＝Sh，其中S为底面积，h为高．
一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分．
1. 若集合A＝(－∞，1]，B＝{－1，1，2}，则A∩B＝________．
2. 设复数z＝a＋i(其中i为虚数单位)．若zz＝2，则实数a的值为________．
3. 某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2∶3∶5.现用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本，其中样本中A型号产品有16件，那么此样本的容量n＝________.
4. 从1，2，3中选2个不同的数字组成一个两位数，这个两位数是偶数的概率为________．
5. 在如图所示的流程图中，若输入x的值为－4，则输出c的值为________．
(第5题)
(第9题)
6. 若双曲线－＝1的离心率为2，则实数m的值为________．
7. 已知y＝f(x)为定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝ex＋1，则f(－ln 2)的值为________．
8. 已知等比数列{an}为单调递增数列，设其前n项和为Sn.若a2＝2，S3＝7，则a5的值为________．
9. 如图，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝4，AC＝，BC＝1，E、F分别为AB、PC
的中点，则三棱锥BEFC的体积为________．
10. 设A＝{(x，y)|3x＋4y≥7}，点P∈A，过点P引圆(x＋1)2＋y2＝r2(r>o)的两条切线PA、PB.若∠APB的最大值为，则r的值为________．
11. 设函数f(x)＝sin，其中ω>0.若函数f(x)在[0，2π]上恰有2个零点，则ω的取值范围是________．
12. 若正实数a、b、c满足ab＝a＋2b，abc＝a＋2b＋c，则c的最大值为________．
13. 设函数f(x)＝x3－a2x(a>0，x≥0)，O为坐标原点，A(3，－1)，C(a，0)．若对此函数图象上的任意一点B，都满足·≤·成立，则a的值为________．
14. 若数列{an}满足a1＝0，a4n－1－a4n－2＝a4n－2－a4n－3＝3，＝＝，其中n∈N*，且对任意n∈N*都有anb>0)的两个焦点之间的距离为2，两条准线间的距离为8，直线l：y＝k(x－m)(m∈R)与椭圆C相交于P、Q两点．
(1) 求椭圆C的方程；
(2) 设椭圆的左顶点为A，记直线AP、AQ的斜率分别为k1、k2.
①若m＝0，求k1k2的值；
②若k1k2＝－，求实数m的值．
19. (本小题满分16分)
若函数y＝f(x)在x＝x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y＝f(x)的极值点．设函数f(x)＝x3－tx2＋1(t∈R)．
(1) 若函数f(x)在区间(0，1)上无极值点，求t的取值范围；
(2) 求证：对任意实数t，在函数f(x)的图象上总存在两条切线相互平行；
(3) 当t＝3时，若函数f(x)的图象上存在的两条平行切线之间的距离为4，问：这样的平行切线共有几组？请说明理由．
20. (本小题满分16分)
已知数列{an}，其中n∈N*.
(1) 若{an}满足an＋1－an＝qn－1(q>0，n∈N*)．
①当q＝2，且a1＝1时，求a4的值；
②若存在互不相等的正整数r，s，t，满足2s＝r＋t，且ar，as，at成等差数列，求q的值．
（2）设数列{an}的前n项和为bn，数列{bn}的前n项和为cn，cn＝bn＋2－3，n∈N*, 若a1＝1，a2＝2，且|a－anan＋2|≤k恒成立，求k的最小值．
2019届高三年级第一次模拟考试
数学附加题 (本部分满分40分，考试时间30分钟)
21. 【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A. [选修42：矩阵与变换](本小题满分10分)
直线l：2x－y＋3＝0经过矩阵M＝变换后还是直线l，求矩阵M的特征值．
B. [选修44：坐标系与参数方程](本小题满分10分)
在极坐标系中，圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.以极点O为原点，极轴Ox所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为(t为参数)，求直线l被圆C截得的弦长．
C. [选修45：不等式选讲](本小题满分10分)
已知正实数x、y、z，满足x＋y＋z＝3xyz，求xy＋ yz＋xz的最小值．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22. (本小题满分10分)
如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD＝1，PA＝AB＝，E是棱PB的中点．
(1) 求异面直线EC与PD所成角的余弦值；
(2) 求二面角BECD的余弦值．
23. (本小题满分10分)
已知数列{an}满足a1＝1，a2＝3，且对任意n∈N*，都有a1C＋a2C＋a3C＋…＋an＋1C＝(an＋2－1)·2n－1成立．
(1) 求a3的值；
(2) 证明：数列{an}是等差数列．
2019届高三年级第一次模拟考试(一)(南京、盐城)
数学参考答案
1. {－1，1} 2. ±1 3. 80 4. 5. 4 6. 6 7. －3 8. 16 9. 10. 1 11.
12. 13. 14. 8
15. (1) 由2S＝·，得bcsin A＝bccos A，
因为A∈(0，π)，
所以tan A＝1，即A＝.
故A的大小为.(6分)
(2) 在△ABC中，因为cos B＝，
所以sin B＝，
所以sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos A·sin B＝.(10分)
由正弦定理＝，得＝，
解得a＝5.
故a的值为5.(14分)
16. (1) 在直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1⊥平面ABC.(2分)
因为AD⊂平面ABC，
所以BB1⊥AD.
又因为AD⊥DE，在平面BCC1B1中，BB1与DE相交，
所以AD⊥平面BCC1B1.
又因为AD⊂平面ADE，
所以平面ADE⊥平面BCC1B1.(6分)
(2) 在直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1⊥平面A1B1C1.(8分)
因为A1F⊂平面A1B1C1，
所以BB1⊥A1F.
又因为A1F⊥B1C1，
在平面BCC1B1中，BB1∩B1C1＝B1，
所以A1F⊥平面BCC1B1.(10分)
在(1)中已证得AD⊥平面BCC1B1，
所以A1F∥AD.
又因为A1F⊄平面ADE，AD⊂平面ADE，
所以A1F∥平面ADE.(14分)
17. (1) 由题意，得f(6)＝29.6，
代入f(x)＝mln x－x＋－6(4≤x≤22，m∈R)，得
mln 6－6＋－6＝29.6，解得m＝12.(5分)
(2) 由已知函数求导得f′(x)＝＋600·＝(12－x).
令f′(x)＝0得x＝12，(9分)
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x
(4，12)
12
(12，22)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
↗
极大值
↘
所以函数在x＝12处取极大值也是最大值，即每天空气质量指数最高的时刻为12时．(12分)
答：(1) 实数m的值为12.
(2) 每天空气质量指数最高的时刻为12时．(14分)
18. (1) 在椭圆C中，2c＝2，两准线间的距离为2·＝8，即＝4，
联立方程组解得
所以b2＝3，
所以椭圆的方程为＋＝1.(3分)
(2) ①由(1)得，点A(－2，0)，设点P(x0，y0)，
由于m＝0，则Q(－x0，－y0)．
由＋＝1得y＝3－，(5分)
所以k1k2＝·＝＝＝－.
故k1k2的值为－.(8分)
②由(1)得，点A(－2，0)．
设点P(x1，y1)，则直线AP的方程为y＝k1(x＋2)，
联立
消去y，得(3＋4k)x2＋16kx＋16k－12＝0，
所以xA·x1＝，(10分)
所以x1＝，
代入y＝k1(x＋2)，得y1＝，
所以点P.(12分)
由k1k2＝－得k2＝－，
整体代换得点Q(，)．(13分)
设M(m，0)，由P、Q、M三点共线，得∥，
即·＝·(－m)，
化简得(m－1)(16k＋4)＝0，
解得m＝1.
故实数m的值为1.(16分)
19. (1) 由函数f(x)＝x3－tx2＋1，得f′(x)＝3x2－2tx，
由f′(x)＝0，得x＝0或x＝t.
因为函数f(x)在区间(0，1)上无极值点，
所以t≤0或t≥1，
解得t≤0或t≥.
故t的取值范围为(－∞，0]∪.(4分)
(2) 由(1)知f′(x)＝3x2－2tx，
令f′(x)＝1，则3x2－2tx－1＝0，
所以Δ＝(－2t)2＋12>0，即对任意实数t，f′(x)＝1总有两个不同的实数根x1，x2，
所以不论t为何值，函数f(x)的图象在点x＝x1，x＝x2处的切线平行．(8分)
设这两条切线的方程分别为y＝(3x－2tx1)x－2x＋tx＋1和y＝(3x－2tx2)x－2x＋tx＋1.
若两条切线重合，则－2x＋tx＋1＝－2x＋tx＋1，
即2(x＋x1x2＋x)＝t(x1＋x2)，
即2[(x1＋x2)2－x1x2]＝t(x1＋x2)．
又x1＋x2＝，
所以x1x2＝，
所以(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝－＝0，即x1＝x2，这与x1≠x2矛盾，
所以这两条切线不重合．
综上，对任意实数t，函数f(x)的图象总存在两条切线相互平行．(10分)
(3) 当t＝3时，f(x)＝x3－3x2＋1，
则f′(x)＝3x2－6x，
由(2)知当x1＋x2＝2时，两切线平行．
设A(x1，x－3x＋1)，B(x2，x－3x＋1)，不妨设x1>x2，则过点A的切线方程为y＝(3x－6x1)x－2x＋3x＋1.(11分)
所以两条平行线间的距离
d＝
＝
＝4，
化简得(x1－1)6＝1＋9[(x1－1)2－1]2，(13分)
令(x1－1)2＝λ(λ≥0)，则λ3－1＝9(λ－1)2，
即(λ－1)(λ2＋λ＋1)＝9(λ－1)2，
即(λ－1)(λ2－8λ＋10)＝0，
显然λ＝1为一解，λ2－8λ＋10＝0有两个异于1的正根，
所以这样的λ有三解．
又(x1－1)2＝λ(λ≥0), x1>x2, x1＋x2＝2，
所以x1有三解，
所以满足此条件的平行切线共有3组．(16分)
20. (1) ①由a4－a3＝4，a3－a2＝2，a2－a1＝1，累加得a4＝8.(3分)
②因为an＋1－an＝qn－1，
所以an－an－1＝qn－2，…，a2－a1＝1，
当q＝1时，an＝n，满足题意；
当q≠1时，累加得an＋1＝＋a1，
所以an＝＋a1.(5分)
若存在r，s，t满足条件，化简得2qs＝qr＋qt，
即2＝qr－s＋qt－s≥2＝2，
此时q＝1(舍去)．(7分)
综上所述，符合条件q的值为1. (8分)
(2) 由cn＝bn＋2－3，n∈N*可知cn＋1＝bn＋3－3，
两式作差可得bn＋3＝bn＋2＋bn＋1，
又由c1＝1，c2＝4，可知b3＝4，b4＝7，
故b3＝b2＋b1，
所以bn＋2＝bn＋1＋bn对一切的n∈N*恒成立．(11分)
对bn＋3＝bn＋2＋bn＋1，bn＋2＝bn＋1＋bn两式进行作差可得an＋3＝an＋2＋an＋1，
又由b3＝4，b4＝7可知a3＝1，a4＝3，
故an＋2＝an＋1＋an(n≥2)．(13分)
又由a－an＋1an＋3＝(an＋1＋an)2－an＋1·(an＋2＋an＋1)＝(an＋1＋an)2－an＋1·(an＋2an＋1)＝－a＋anan＋2，n≥2，
所以|a－an＋1an＋3|＝|a－anan＋2|，(15分)
所以当n≥2时，|a－anan＋2|＝5；
当n＝1时，|a－anan＋2|＝3，
故k的最小值为5.(16分)
21. A. 设直线l上一点(x，y)，经矩阵M变换后得到点(x′，y′)，
所以＝，即
因为变换后的直线还是直线l，将点(x′，y′)代入直线l的方程，得2ax－(x＋dy)＋3＝0，
即(2a－1)x－dy＋3＝0，
所以解得(6分)
所以令矩阵M的特征多项式f(λ)＝＝(λ－a)(λ－d)＝0，
解得λ＝a或λ＝d，
所以矩阵的M的特征值为与1.(10分)
B. 由ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ，
所以x2＋y2－2x＝0，
所以圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，圆心C(1，0)，半径r＝1.(3分)
又
消去参数t，得直线l的普通方程为x＋y－2＝0，(6分)
所以圆心到直线l的距离d＝＝，所以直线l被圆C截得的弦长为2＝. (10分)
C. 因为x＋y＋z＝3xyz，所以＋＋＝3.(5分)
又(xy＋yz＋zx)·≥(1＋1＋1)2＝9，
所以xy＋yz＋zx≥3，
当且仅当x＝y＝z＝1时取等号，
所以xy＋yz＋zx的最小值为3. (10分)
22. (1) 因为PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直．
以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
又因为PA＝AB＝，AD＝1，
所以A(0，0，0)，B(，0，0)，C(，1，0)，D(0，1，0)，P(0，0，)．(2分)
因为E为棱PB的中点，所以E，
所以＝，＝(0，1，－)，
所以cos〈，〉＝＝，
所以异面直线EC与PD所成角的余弦值为.(6分)
(2) 由(1)得＝，＝(0，1，0)，＝(，0，0)．
设平面BEC的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
所以
令x1＝1，则z1＝1，
所以平面BEC的一个法向量为n1＝(1，0，1)．
设平面DEC的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，
所以
令z2＝，则y2＝1，
所以平面DEC的一个法向量为n2＝(0，1，)，
所以cos〈n1，n2〉＝＝，
由图可知二面角BECD为钝角，
所以二面角BECD的余弦值为－. (10分)
23. (1) 在a1C＋a2C＋a3C＋…＋an＋1C＝(an＋2－1)·2n－1中，
令n＝1，则a1C＋a2C＝a3－1，
由a1＝1，a2＝3，解得a3＝5. (3分)
(2) 假设a1，a2，a3，…，ak是公差为2的等差数列，则ak＝2k－1.
①当n＝1时，a1＝1，a2＝3，a3＝5, 此时假设成立；(4分)
②当n＝k(k≥2，k∈N*)时，a1，a2，a3，…，ak是公差为2的等差数列．(5分)
由a1C＋a2C＋a3C＋…＋akC＝(ak＋1－1)·2k－2，k≥2，
对该式倒序相加，得(a1＋ak)2k－1＝2(ak＋1－1)·2k－2，
所以ak＋1－ak＝a1＋1＝2，
所以ak＋1＝2k＋1＝2(k＋1)－1.
根据①、②可知数列是等差数列．(10分)
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