江苏南京、盐城市2019届高三数学一模试题(有答案)
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资料简介
‎2019届高三年级第一次模拟考试 ‎ 数 学 (满分160分,考试时间120分钟)‎ 参考公式:‎ 锥体的体积公式:V=Sh,其中S为底面积,h为高.‎ 一、 填空题:本大题共14小题,每小题5分,计70分.‎ ‎1. 若集合A=(-∞,1],B={-1,1,2},则A∩B=________.‎ ‎2. 设复数z=a+i(其中i为虚数单位).若zz=2,则实数a的值为________.‎ ‎3. 某工厂生产A,B,C三种不同型号的产品,产品数量之比依次为2∶3∶5.现用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本,其中样本中A型号产品有16件,那么此样本的容量n=________.‎ ‎4. 从1,2,3中选2个不同的数字组成一个两位数,这个两位数是偶数的概率为________.‎ ‎5. 在如图所示的流程图中,若输入x的值为-4,则输出c的值为________.‎ ‎(第5题)‎ ‎      (第9题)‎ ‎6. 若双曲线-=1的离心率为2,则实数m的值为________.‎ ‎7. 已知y=f(x)为定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=ex+1,则f(-ln 2)的值为________.‎ ‎8. 已知等比数列{an}为单调递增数列,设其前n项和为Sn.若a2=2,S3=7,则a5的值为________.‎ ‎9. 如图,PA⊥平面ABC,AC⊥BC,PA=4,AC=,BC=1,E、F分别为AB、PC 的中点,则三棱锥BEFC的体积为________.‎ ‎10. 设A={(x,y)|3x+4y≥7},点P∈A,过点P引圆(x+1)2+y2=r2(r>o)的两条切线PA、PB.若∠APB的最大值为,则r的值为________.‎ ‎11. 设函数f(x)=sin,其中ω>0.若函数f(x)在[0,2π]上恰有2个零点,则ω的取值范围是________.‎ ‎12. 若正实数a、b、c满足ab=a+2b,abc=a+2b+c,则c的最大值为________.‎ ‎13. 设函数f(x)=x3-a2x(a>0,x≥0),O为坐标原点,A(3,-1),C(a,0).若对此函数图象上的任意一点B,都满足·≤·成立,则a的值为________.‎ ‎14. 若数列{an}满足a1=0,a4n-1-a4n-2=a4n-2-a4n-3=3,==,其中n∈N*,且对任意n∈N*都有anb>0)的两个焦点之间的距离为2,两条准线间的距离为8,直线l:y=k(x-m)(m∈R)与椭圆C相交于P、Q两点.‎ ‎ (1) 求椭圆C的方程;‎ ‎ (2) 设椭圆的左顶点为A,记直线AP、AQ的斜率分别为k1、k2.‎ ‎①若m=0,求k1k2的值;‎ ‎②若k1k2=-,求实数m的值.‎ ‎19. (本小题满分16分)‎ ‎ 若函数y=f(x)在x=x0处取得极大值或极小值,则称x0为函数y=f(x)的极值点.设函数f(x)=x3-tx2+1(t∈R).‎ ‎ (1) 若函数f(x)在区间(0,1)上无极值点,求t的取值范围;‎ ‎ (2) 求证:对任意实数t,在函数f(x)的图象上总存在两条切线相互平行;‎ ‎ (3) 当t=3时,若函数f(x)的图象上存在的两条平行切线之间的距离为4,问:这样的平行切线共有几组?请说明理由.‎ ‎20. (本小题满分16分)‎ ‎ 已知数列{an},其中n∈N*.‎ ‎ (1) 若{an}满足an+1-an=qn-1(q>0,n∈N*).‎ ‎①当q=2,且a1=1时,求a4的值;‎ ‎②若存在互不相等的正整数r,s,t,满足2s=r+t,且ar,as,at成等差数列,求q的值.‎ ‎(2)设数列{an}的前n项和为bn,数列{bn}的前n项和为cn,cn=bn+2-3,n∈N*, 若a1=1,a2=2,且|a-anan+2|≤k恒成立,求k的最小值.‎ ‎2019届高三年级第一次模拟考试 ‎ 数学附加题 (本部分满分40分,考试时间30分钟)‎ ‎21. 【选做题】本题包括A、B、C三小题,请选定其中两小题,并作答.若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ A. [选修42:矩阵与变换](本小题满分10分)‎ 直线l:2x-y+3=0经过矩阵M=变换后还是直线l,求矩阵M的特征值.‎ B. [选修44:坐标系与参数方程](本小题满分10分)‎ ‎ 在极坐标系中,圆C的极坐标方程为ρ=2cos θ.以极点O为原点,极轴Ox所在的直线为x轴建立平面直角坐标系,直线l的参数方程为(t为参数),求直线l被圆C截得的弦长.‎ C. [选修45:不等式选讲](本小题满分10分)‎ ‎ 已知正实数x、y、z,满足x+y+z=3xyz,求xy+ yz+xz的最小值.‎ ‎【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎22. (本小题满分10分)‎ ‎ 如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,AD=1,PA=AB=,E是棱PB的中点.‎ ‎ (1) 求异面直线EC与PD所成角的余弦值; ‎ ‎(2) 求二面角BECD的余弦值.‎ ‎23. (本小题满分10分)‎ ‎ 已知数列{an}满足a1=1,a2=3,且对任意n∈N*,都有a1C+a2C+a3C+…+an+1C=(an+2-1)·2n-1成立.‎ ‎ (1) 求a3的值;‎ ‎ (2) 证明:数列{an}是等差数列.‎ ‎2019届高三年级第一次模拟考试(一)(南京、盐城)‎ 数学参考答案 ‎1. {-1,1} 2. ±1 3. 80 4.  5. 4 6. 6 7. -3 8. 16 9.  10. 1 11. ‎12.  13.  14. 8‎ ‎15. (1) 由2S=·,得bcsin A=bccos A,‎ 因为A∈(0,π),‎ 所以tan A=1,即A=.‎ 故A的大小为.(6分)‎ ‎(2) 在△ABC中,因为cos B=,‎ 所以sin B=,‎ 所以sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos A·sin B=.(10分)‎ 由正弦定理=,得=,‎ 解得a=5.‎ 故a的值为5.(14分)‎ ‎16. (1) 在直三棱柱ABCA1B1C1中,BB1⊥平面ABC.(2分)‎ 因为AD⊂平面ABC,‎ 所以BB1⊥AD.‎ 又因为AD⊥DE,在平面BCC1B1中,BB1与DE相交,‎ 所以AD⊥平面BCC1B1.‎ 又因为AD⊂平面ADE,‎ 所以平面ADE⊥平面BCC1B1.(6分)‎ ‎(2) 在直三棱柱ABCA1B1C1中,BB1⊥平面A1B1C1.(8分)‎ 因为A1F⊂平面A1B1C1,‎ 所以BB1⊥A1F.‎ 又因为A1F⊥B1C1,‎ 在平面BCC1B1中,BB1∩B1C1=B1,‎ 所以A1F⊥平面BCC1B1.(10分)‎ 在(1)中已证得AD⊥平面BCC1B1,‎ 所以A1F∥AD.‎ 又因为A1F⊄平面ADE,AD⊂平面ADE,‎ 所以A1F∥平面ADE.(14分)‎ ‎17. (1) 由题意,得f(6)=29.6,‎ 代入f(x)=mln x-x+-6(4≤x≤22,m∈R),得 mln 6-6+-6=29.6,解得m=12.(5分)‎ ‎(2) 由已知函数求导得f′(x)=+600·=(12-x).‎ 令f′(x)=0得x=12,(9分)‎ 当x变化时,f′(x)与f(x)的变化情况如下表:‎ x ‎(4,12)‎ ‎12‎ ‎(12,22)‎ f′(x)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ f(x)‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 所以函数在x=12处取极大值也是最大值,即每天空气质量指数最高的时刻为12时.(12分)‎ 答:(1) 实数m的值为12.‎ ‎(2) 每天空气质量指数最高的时刻为12时.(14分)‎ ‎18. (1) 在椭圆C中,2c=2,两准线间的距离为2·=8,即=4,‎ 联立方程组解得 所以b2=3,‎ 所以椭圆的方程为+=1.(3分)‎ ‎(2) ①由(1)得,点A(-2,0),设点P(x0,y0),‎ 由于m=0,则Q(-x0,-y0).‎ 由+=1得y=3-,(5分)‎ 所以k1k2=·===-.‎ 故k1k2的值为-.(8分)‎ ‎②由(1)得,点A(-2,0).‎ 设点P(x1,y1),则直线AP的方程为y=k1(x+2),‎ 联立 消去y,得(3+4k)x2+16kx+16k-12=0,‎ 所以xA·x1=,(10分)‎ 所以x1=,‎ 代入y=k1(x+2),得y1=,‎ 所以点P.(12分)‎ 由k1k2=-得k2=-,‎ 整体代换得点Q(,).(13分)‎ 设M(m,0),由P、Q、M三点共线,得∥,‎ 即·=·(-m),‎ 化简得(m-1)(16k+4)=0,‎ 解得m=1.‎ 故实数m的值为1.(16分)‎ ‎19. (1) 由函数f(x)=x3-tx2+1,得f′(x)=3x2-2tx,‎ 由f′(x)=0,得x=0或x=t.‎ 因为函数f(x)在区间(0,1)上无极值点,‎ 所以t≤0或t≥1,‎ 解得t≤0或t≥.‎ 故t的取值范围为(-∞,0]∪.(4分)‎ ‎(2) 由(1)知f′(x)=3x2-2tx,‎ 令f′(x)=1,则3x2-2tx-1=0,‎ 所以Δ=(-2t)2+12>0,即对任意实数t,f′(x)=1总有两个不同的实数根x1,x2,‎ 所以不论t为何值,函数f(x)的图象在点x=x1,x=x2处的切线平行.(8分)‎ 设这两条切线的方程分别为y=(3x-2tx1)x-2x+tx+1和y=(3x-2tx2)x-2x+tx+1.‎ 若两条切线重合,则-2x+tx+1=-2x+tx+1,‎ 即2(x+x1x2+x)=t(x1+x2),‎ 即2[(x1+x2)2-x1x2]=t(x1+x2).‎ 又x1+x2=,‎ 所以x1x2=,‎ 所以(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=-=0,即x1=x2,这与x1≠x2矛盾,‎ 所以这两条切线不重合.‎ 综上,对任意实数t,函数f(x)的图象总存在两条切线相互平行.(10分)‎ ‎(3) 当t=3时,f(x)=x3-3x2+1,‎ 则f′(x)=3x2-6x,‎ 由(2)知当x1+x2=2时,两切线平行.‎ 设A(x1,x-3x+1),B(x2,x-3x+1),不妨设x1>x2,则过点A的切线方程为y=(3x-6x1)x-2x+3x+1.(11分)‎ 所以两条平行线间的距离 d= ‎= ‎=4,‎ 化简得(x1-1)6=1+9[(x1-1)2-1]2,(13分)‎ 令(x1-1)2=λ(λ≥0),则λ3-1=9(λ-1)2,‎ 即(λ-1)(λ2+λ+1)=9(λ-1)2,‎ 即(λ-1)(λ2-8λ+10)=0,‎ 显然λ=1为一解,λ2-8λ+10=0有两个异于1的正根,‎ 所以这样的λ有三解.‎ 又(x1-1)2=λ(λ≥0), x1>x2, x1+x2=2,‎ 所以x1有三解,‎ 所以满足此条件的平行切线共有3组.(16分)‎ ‎20. (1) ①由a4-a3=4,a3-a2=2,a2-a1=1,累加得a4=8.(3分)‎ ‎②因为an+1-an=qn-1,‎ 所以an-an-1=qn-2,…,a2-a1=1,‎ 当q=1时,an=n,满足题意;‎ 当q≠1时,累加得an+1=+a1,‎ 所以an=+a1.(5分)‎ 若存在r,s,t满足条件,化简得2qs=qr+qt,‎ 即2=qr-s+qt-s≥2=2,‎ 此时q=1(舍去).(7分)‎ 综上所述,符合条件q的值为1. (8分)‎ ‎(2) 由cn=bn+2-3,n∈N*可知cn+1=bn+3-3,‎ 两式作差可得bn+3=bn+2+bn+1,‎ 又由c1=1,c2=4,可知b3=4,b4=7,‎ 故b3=b2+b1,‎ 所以bn+2=bn+1+bn对一切的n∈N*恒成立.(11分)‎ 对bn+3=bn+2+bn+1,bn+2=bn+1+bn两式进行作差可得an+3=an+2+an+1,‎ 又由b3=4,b4=7可知a3=1,a4=3,‎ 故an+2=an+1+an(n≥2).(13分)‎ 又由a-an+1an+3=(an+1+an)2-an+1·(an+2+an+1)=(an+1+an)2-an+1·(an+2an+1)=-a+anan+2,n≥2,‎ 所以|a-an+1an+3|=|a-anan+2|,(15分)‎ 所以当n≥2时,|a-anan+2|=5;‎ 当n=1时,|a-anan+2|=3,‎ 故k的最小值为5.(16分)‎ ‎21. A. 设直线l上一点(x,y),经矩阵M变换后得到点(x′,y′),‎ 所以=,即 因为变换后的直线还是直线l,将点(x′,y′)代入直线l的方程,得2ax-(x+dy)+3=0,‎ 即(2a-1)x-dy+3=0,‎ 所以解得(6分)‎ 所以令矩阵M的特征多项式f(λ)==(λ-a)(λ-d)=0,‎ 解得λ=a或λ=d,‎ 所以矩阵的M的特征值为与1.(10分)‎ B. 由ρ=2cos θ,得ρ2=2ρcos θ,‎ 所以x2+y2-2x=0,‎ 所以圆C的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,圆心C(1,0),半径r=1.(3分)‎ 又 消去参数t,得直线l的普通方程为x+y-2=0,(6分)‎ 所以圆心到直线l的距离d==,所以直线l被圆C截得的弦长为2=. (10分)‎ C. 因为x+y+z=3xyz,所以++=3.(5分)‎ 又(xy+yz+zx)·≥(1+1+1)2=9,‎ 所以xy+yz+zx≥3,‎ 当且仅当x=y=z=1时取等号,‎ 所以xy+yz+zx的最小值为3. (10分)‎ ‎22. (1) 因为PA⊥底面ABCD,且底面ABCD为矩形,所以AB,AD,AP两两垂直.‎ 以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 又因为PA=AB=,AD=1,‎ 所以A(0,0,0),B(,0,0),C(,1,0),D(0,1,0),P(0,0,).(2分)‎ 因为E为棱PB的中点,所以E,‎ 所以=,=(0,1,-),‎ 所以cos〈,〉==,‎ 所以异面直线EC与PD所成角的余弦值为.(6分)‎ ‎(2) 由(1)得=,=(0,1,0),=(,0,0).‎ 设平面BEC的法向量为n1=(x1,y1,z1),‎ 所以 令x1=1,则z1=1,‎ 所以平面BEC的一个法向量为n1=(1,0,1).‎ 设平面DEC的法向量为n2=(x2,y2,z2),‎ 所以 令z2=,则y2=1,‎ 所以平面DEC的一个法向量为n2=(0,1,),‎ 所以cos〈n1,n2〉==,‎ 由图可知二面角BECD为钝角,‎ 所以二面角BECD的余弦值为-. (10分)‎ ‎23. (1) 在a1C+a2C+a3C+…+an+1C=(an+2-1)·2n-1中,‎ 令n=1,则a1C+a2C=a3-1,‎ 由a1=1,a2=3,解得a3=5. (3分)‎ ‎(2) 假设a1,a2,a3,…,ak是公差为2的等差数列,则ak=2k-1. ‎ ‎①当n=1时,a1=1,a2=3,a3=5, 此时假设成立;(4分)‎ ‎②当n=k(k≥2,k∈N*)时,a1,a2,a3,…,ak是公差为2的等差数列.(5分)‎ 由a1C+a2C+a3C+…+akC=(ak+1-1)·2k-2,k≥2,‎ 对该式倒序相加,得(a1+ak)2k-1=2(ak+1-1)·2k-2,‎ 所以ak+1-ak=a1+1=2,‎ 所以ak+1=2k+1=2(k+1)-1.‎ 根据①、②可知数列是等差数列.(10分)‎

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