2018-2019 学年北京市燕山区九年级（上）期末数学模拟试卷
一．选择题（共 8 小题，满分 16 分，每小题 2 分）
1．下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．在一个口袋中有 4 个完全相同的小球，把它们分别标号为 1，2，3，4，随机摸出一个小
球不放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出小球的标号之和为奇数的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，已知 AB 是
⊙
O 的直径，BC 是弦，∠ABC＝30°，过圆心 O 作 OD⊥BC 交弧 BC
于点 D，连接 DC，则∠DCB 的度数为（ ）度．
A．30 B．45 C．50 D．60
4．如果反比例函数的图象经过点（8，3），那么当 x＞0 时，y 的值随 x 的值的增大而（ ）
A．减小 B．不变 C．增大 D．无法确定
5．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，如果 sinA＝ ，那么 sinB 的值是（ ）
A． B． C． D．3
6．如图，点 A，B 在反比例函数 y＝ （x＞0）的图象上，点 C，D 在反比例函数 y＝ （k
＞0）的图象上，AC∥BD∥y 轴，已知点 A，B 的横坐标分别为 1，2，△OAC 与△ABD
的面积之和为 ，则 k 的值为（ ）A．4 B．3 C．2 D．
7．如图，在 Rt△ABO 中，斜边 AB＝1，若 OC∥BA，∠AOC＝36°，则（ ）
A．点 B 到 AO 的距离为 sin54°
B．点 A 到 OC 的距离为 sin36°sin54°
C．点 B 到 AO 的距离为 tan36°
D．点 A 到 OC 的距离为 cos36°sin54°
8．已知反比例函数 y＝ 的图象如图所示，当 x≥﹣1 时，y 的取值范围是（ ）
A．y＜﹣2 B．y≤﹣2 C．y≤﹣2 或 y＞0 D．y＜﹣2 或 y≥0
二．填空题（共 8 小题，满分 16 分，每小题 2 分）
9．计算：2sin245°﹣tan45°＝ ．
10．已知反比例函数 y＝ 的图象经过（﹣1，3），若点（2，m）在这个图象上，则 m＝ ．
11．如图，点 A，B 是
⊙
O 上两点，AB＝12，点 P 是
⊙
O 上的动点（P 与 A，B 不重合），连
接 AP，PB，过点 O 分别作 OE⊥AP 于 E，OF⊥PB 于 F，则 EF＝ ．
12．如图，PA、PB 是
⊙
O 的两条切线，A、B 是切点，若∠APB＝60°，PO＝2，则
⊙
O 的
半径等于 ．13．已知点 P（x，y）在第一象限，且 x+y＝12，点 A（10，0）在 x 轴上，当△OPA 为直角
三角形时，点 P 的坐标为 ．
14．计算： ＝ ．
15．在物理课中，同学们曾学过小孔成像：在较暗的屋子里，把一只点燃的蜡烛放在一块半
透明的塑料薄膜前面，在它们之间放一块钻有小孔的纸板，由于光沿直线传播，塑料薄
膜上就出现了蜡烛火焰倒立的像，这种现象就是小孔成像（如图 1）．如图 2，如果火焰
AB 的高度是 2cm，倒立的像 A′B′的高度为 5cm，
蜡烛火焰根 B 到小孔 O 的距离为 4cm，则火焰根的像 B′到 O 的距离是 cm．
16．下面是“作顶角为 120°的等腰三角形的外接圆”的尺规作图过程．
已知：△ABC，AB＝AC，∠A＝120°．求作：△ABC 的外接圆．作法：（1）分别以点 B 和
点 C 为圆心，AB 的长为半径作弧，两弧的一个交点为 O；（2）连接 BO；（3）以 O 为圆
心，BO 为半径作
⊙
O．
⊙
O 即为所求作的圆．
请回答：该尺规作图的依据是 ．三．解答题（共 12 小题，满分 68 分）
17．计算：2sin30°﹣tan60°+cos60°﹣tan45°．
18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别为：点 A（1，3），点 B（4，2），
点 C（2，1）．
（1）作出与△ABC 关于 x 轴对称的图形△A1B1C1；
（2）以原点 O 为位似中心，在原点的另一侧画出△ABC 的位似图形△A2B2C2，使 ，
并写出点 A2，B2，C2 的坐标．19．如图，AB 是
⊙
O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，连接 AC，BC．
（1）求证：∠A＝∠BCD；
（2）若 AB＝10，CD＝8，求 BE 的长．
20．某电脑公司现有 A、B、C 三种型号的甲品牌电脑和 D、E 两种型号的乙品牌电脑．某
中学要从甲、乙两种品牌电脑中各选购一种型号的电脑．
（1）写出所有选购方案（利用树状图或列表方法表示）；
（2）如果（1）中各种选购方案被选中的可能性相同，求 A 型号电脑被选中的概率．21．黄河，既是一条源远流长、波澜壮阔的自然河，又是一条孕育中华民族灿烂文明的母亲
河，数学课外实践活动中，小林和同学们在黄河南岸小路上的 A，B 两点处，用测角仪分
别对北岸的观景亭 D 进行测量．如图，测得∠DAC＝45°，∠DBC＝65°．若 AB＝200
米，求观景亭 D 到小路 AC 的距离约为多少米？（结果精确到 1 米，参考数据：sin65°
≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）
22．已知二次函数 y＝x2+bx+c 图象上部分点的横坐标 x、纵坐标 y 的对应值如下表：
x … 0 1 2 3 …
y … 3 0 ﹣1 0 …
（1）求二次函数的表达式．
（2）画出二次函数的示意图，结合函数图象，直接写出 y＜0 时自变量 x 的取值范围．23．如图，在△ABC 中，CD 是边 AB 上的中线，∠B 是锐角，sinB＝ ，tanA＝ ，AC＝
，
（1）求∠B 的度数和 AB 的长．
（2）求 tan∠CDB 的值．
24．如图，在等腰△ABC 中，AC＝BC＝10，以 BC 为直径作
⊙
O 交 AB 于点 D，交 AC 于点
G，DF⊥AC 于 F，交 CB 的延长线于点 E．
（1）求证：直线 EF 是
⊙
O 的切线；
（2）若 sin∠E＝ ，求 AB 的长．25．如图，已知点 A（1，a）是反比例函数 y1＝ 的图象上一点，直线 y2＝﹣ 与反
比例函数 y1＝ 的图象的交点为点 B、D，且 B（3，﹣1），求：
（Ⅰ）求反比例函数的解析式；
（Ⅱ）求点 D 坐标，并直接写出 y1＞y2 时 x 的取值范围；
（Ⅲ）动点 P（x，0）在 x 轴的正半轴上运动，当线段 PA 与线段 PB 之差达到最大时，求
点 P 的坐标．
26．某工艺品厂生产一种汽车装饰品，每件生产成本为 20 元，销售价格在 30 元至 80 元之
间（含 30 元和 80 元），销售过程中的管理、仓储、运输等各种费用（不含生产成本）总
计 50 万元，其销售量 y（万个）与销售价格 x（元/个）的函数关系如图所示．
（1）当 30≤x≤60 时，求 y 与 x 的函数关系式；
（2）求出该厂生产销售这种产品的纯利润 w（万元）与销售价格 x（元/个）的函数关系式；
（3）销售价格应定为多少元时，获得利润最大，最大利润是多少？27．阅读下面材料：
如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y1＝ax+b 与双曲线 y2＝ 交于 A（1，3）和 B（﹣
3，﹣1）两点．
观察图象可知：
①
当 x＝﹣3 或 1 时，y1＝y2；
②
当﹣3＜x＜0 或 x＞1 时，y1＞y2，即通过观察函数的图象，可以得到不等式 ax+b＞ 的
解集．
有这样一个问题：求不等式 x3+4x2﹣x﹣4＞0 的解集．
某 同学 根据 学习 以 上知 识的 经 验， 对求 不等 式 x3+4x2 ﹣x ﹣ 4 ＞0 的 解集 进行 了探
究．
下面是他的探究过程，请将（2）、（3）、（4）补充完整：
（1）将不等式按条件进行转化：
当 x＝0 时，原不等式不成立；
当 x＞0 时，原不等式可以转化为 x2+4x﹣1＞ ；
当 x＜0 时，原不等式可以转化为 x2+4x﹣1＜ ；
（2）构造函数，画出图象
设 y3＝x2+4x﹣1，y4＝ ，在同一坐标系中分别画出这两个函数的图象．
双曲线 y4＝ 如图 2 所示，请在此坐标系中画出抛物线 y3＝x2+4x﹣1；（不用列表）
（3）确定两个函数图象公共点的横坐标观察所画两个函数的图象，猜想并通过代入函数解析式验证可知：满足 y3＝y4 的所有 x 的值
为 ；
（4）借助图象，写出解集
结合（1）的讨论结果，观察两个函数的图象可知：不等式 x3+4x2﹣x﹣4＞0 的解集为 ．
28．已知 AB 是
⊙
O 的直径，弦 CD⊥AB 于 H，过 CD 延长线上一点 E 作
⊙
O 的切线交 AB
的延长线于 F，切点为 G，连接 AG 交 CD 于 K．
（1）如图 1，求证：KE＝GE；
（2）如图 2，连接 CABG，若∠FGB＝ ∠ACH，求证：CA∥FE；
（3）如图 3，在（2）的条件下，连接 CG 交 AB 于点 N，若 sinE＝ ，AK＝ ，求 CN
的长．参考答案
一．选择题（共 8 小题，满分 16 分，每小题 2 分）
1．【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是中心对称图形，故本选项正确；
C、是中心对称图形，故本选项错误；
D、是中心对称图形，故本选项错误；
故选：B．
2．【解答】解：画树状图为：
共有 12 种等可能的结果数，其中两次摸出的小球的标号的和为奇数的结果数为 8，
所以两次摸出的小球的标号的和为奇数的概率为 ＝ ，
故选：B．
3．【解答】解：∵OD⊥BC，∠ABC＝30°，
∴在直角三角形 OBE 中，
∠BOE＝60°（直角三角形的两个锐角互余）；
又∵∠DCB＝ ∠DOB（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），
∴∠DCB＝30°；
故选：A．
4．【解答】解：设反比例函数的解析式为 y＝ ，
把点（8，3）代入得：k＝8×3＝24，
即反比例函数的解析式为 y＝ ，
所以当 x＞0 时，函数的图象在第一象限，
即 y 随 x 的增大而减小，故选：A．
5．【解答】解：∵Rt△ABC 中，∠C＝90°，sinA＝ ，
∴cosA＝ ＝ ＝ ，
∴∠A+∠B＝90°，
∴sinB＝cosA＝ ．
故选：A．
6．【解答】解：∵点 A，B 在反比例函数 y＝ （x＞0）的图象上，点 A，B 的横坐标分别为
1，2，
∴点 A 的坐标为（1，1），点 B 的坐标为（2， ），
∵AC∥BD∥y 轴，
∴点 C，D 的横坐标分别为 1，2，
∵点 C，D 在反比例函数 y＝ （k＞0）的图象上，
∴点 C 的坐标为（1，k），点 D 的坐标为（2， ），
∴AC＝k﹣1，BD＝ ，
∴S△OAC＝ （k﹣1）×1＝ ，S△ABD＝ • ×（2﹣1）＝ ，
∵△OAC 与△ABD 的面积之和为 ，
∴ ，
解得：k＝3．
故选：B．
7．【解答】解：B 到 AO 的距离是指 BO 的长，
∵AB∥OC，
∴∠BAO＝∠AOC＝36°，
∵在 Rt△BOA 中，∠BOA＝90°，AB＝1，
∴sin36°＝ ，
∴BO＝ABsin36°＝sin36°，
故 A、C 选项错误；过 A 作 AD⊥OC 于 D，则 AD 的长是点 A 到 OC 的距离，
∵∠BAO＝36°，∠AOB＝90°，
∴∠ABO＝54°，
∵sin36°＝ ，
∴AD＝AO•sin36°，
∵sin54°＝ ，
∴AO＝AB•sin54°，
∵AB＝1，
∴AD＝AB•sin54°•sin36°＝1×sin54°•sin36°＝sin54°•sin36°，
故 B 选项正确，D 选项错误；
故选：B．
8．【解答】解：∵由反比例函数的图象可知，当﹣1≤x＜0 时，函数图象在﹣2 的下方，
∴当﹣1≤x＜0 时，y≤﹣2，
∵当 x＞0 时，函数图象在第一象限，
∴y＞0，
∴当 x≥﹣1 时，y 的取值范围是 y≤﹣2 或 y＞0．
故选：C．
二．填空题（共 8 小题，满分 16 分，每小题 2 分）
9．【解答】解：原式＝2×（ ）2﹣1
＝1﹣1
＝0．
故答案为：0．
10．【解答】解：
∵反比例函数 y＝ 的图象经过（﹣1，3），∴3＝ ，解得 k＝﹣3，
∴反比例函数解析式为 y＝﹣ ，
∵点（2，m）在这个图象上，
∴m＝﹣ ，
故答案为：﹣ ．
11．【解答】解：∵点 P 是
⊙
O 上的动点（P 与 A，B 不重合），OE⊥AP 于 E，OF⊥PB 于 F，
∴根据垂径定理知，
∴AE＝EP、BF＝PF，即 E 为 AP 中点，F 为 PB 中点，
∴EF 为△APB 中位线；
又 AB＝12，
∴EF＝ AB＝ ×12＝6（三角形中位线定理）；
故答案为：6．
12．【解答】解：∵PA、PB 是
⊙
O 的两条切线，
∴∠APO＝∠BPO＝ ∠APB，∠PAO＝90°
∵∠APB＝60°，
∴∠APO＝30°，
∵PO＝2，
∴AO＝1．
故答案为：1．
13．【解答】解：分情况讨论：
①
若 O 为直角顶点，则点 P 在 y 轴上，不合题意舍去；
②
若 A 为直角顶点，则 PA⊥x 轴，所以点 P 的横坐标为 10，代入 y＝﹣x+12 中，得 y＝2，
所以点 P 坐标（10，2）；③
若 P 为直角顶点，可得△OPB∽△PAB．
∴ ＝ ，
∴PB2＝OB•AB．
∴（﹣x+12）2＝x（10﹣x）．
解得 x＝8 或 9，
∴点 P 坐标（8，4）或（9，3）．
∴当△OPA 为直角三角形时，点 P 的坐标为（10，2）、（8，4）、（9，3），
故答案为：（10，2）、（8，4）、（9，3）．
14．【解答】解：原式＝ ＝ ＝6 ．
故答案为：6 ．
15．【解答】解：如图，
∵AB∥A′B′，
∴△ABO∽△A′B′O，
则 ＝ ，即 ＝ ，
解得：OB′＝10，
故答案为：10．
16．【解答】解：如图，连接 OA、OC，
由作图知 BA＝BO、OC＝OA，
∵AB＝AC，∴AB＝OB＝OC＝AC，
∴四边形 ABOC 为菱形（四边形相等的四边形是菱形），
又∵∠BAC＝120°，
∴∠BAO＝∠CAO＝60°，
则△OAB、△OAC 为等边三角形（有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形），
∴OB＝OA＝OC，
∴点 A、B、C 在以 O 为圆心、OB 为半径的圆上（圆的定义），
综上，该尺规作图的依据为：四边形相等的四边形是菱形、有一个角为 60°的等腰三角形
是等边三角形、圆的定义．
三．解答题（共 12 小题，满分 68 分）
17．【解答】解：2sin30°﹣tan60°+cos60°﹣tan45°
＝
＝ ．
18．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1 即为所求；
（2）如图所示，△A2B2C2 即为所求，
点 A2 的坐标为（﹣2，﹣6），B2 的坐标为（﹣8，﹣4），C2 的坐标为（﹣4，﹣2）．
19．【解答】（1）证明：∵直径 AB⊥弦 CD，
∴弧 BC＝弧 BD．
∴∠A＝∠BCD；
（2）连接 OC∵直径 AB⊥弦 CD，CD＝8，
∴CE＝ED＝4．
∵直径 AB＝10，
∴CO＝OB＝5．
在 Rt△COE 中，∵OC＝5，CE＝4，
∴OE＝ ＝3，
∴BE＝OB﹣OE＝5﹣3＝2．
20．【解答】解：（1）画树状图得：
∴有 6 种选择方案：AD、AE、BD、BE、CD、CE；
（2）∵（1）中各种选购方案被选中的可能性相同，且 A 型号电脑被选中的有 2 种情况，
∴A 型号电脑被选中的概率＝ ＝ ．
21．【解答】解：如图，过点 D 作 DE⊥AC，垂足为 E，设 BE＝x，
在 Rt△DEB 中，tan∠DBE＝ ．
∵∠DBC＝65°，
∴DE＝xtan65°，又∵∠DAC＝45°，
∴AE＝DE．
∴200+x＝xtan65°，
解得 x≈175.4，
∴DE＝200+x≈375（米）
∴观景亭 D 到小路 AC 的距离约为 375 米．
22．【解答】解：
（1）由已知可知，二次函数经过（0，3），（1，0）则有
，
解得： ，
所以二次函数的表达式为 y＝x2﹣4x+3；
（2）函数图象如图所示：
由函数图象可知当 1＜x＜3 时，y＜0．
23．【解答】解：（1）作 CE⊥AB 于 E，设 CE＝x，
在 Rt△ACE 中，∵tanA＝ ＝ ，
∴AE＝2x，
∴AC＝ ＝ x，
∴ x＝ ，解得 x＝1，∴CE＝1，AE＝2，
在 Rt△BCE 中，∵sinB＝ ，
∴∠B＝45°，
∴△BCE 为等腰直角三角形，
∴BE＝CE＝1，
∴AB＝AE+BE＝3，
答：∠B 的度数为 45°，AB 的值为 3；
（2）∵CD 为中线，
∴BD＝ AB＝1.5，
∴DE＝BD﹣BE＝1.5﹣1＝0.5，
∴tan∠CDE＝ ＝ ＝2，
即 tan∠CDB 的值为 2．
24．【解答】（1）证明：连接 OD，
∵AC＝BC，
∴∠ABC＝∠BAC，
∵OD＝OB，
∴∠ABC＝∠ODB，
∴∠BAC＝∠BDO，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF，
∵OD 为半径，
∴直线 EF 是
⊙
O 的切线；
（2）解：连接 BG，
∵BC 是
⊙
O 直径，
∴∠BGC＝90°，
∵DF⊥AC，∴∠DFC＝90°＝∠BGC，
∴BG∥EF，
∴∠E＝∠GBC，
∵sin∠E＝ ，
∴sin∠GBC＝ ＝ ，
∵BC＝10，
∴CG＝4，
∴AG＝10﹣4＝6，由勾股定理得：BG＝ ＝2 ，
在 Rt△BGA 中，由勾股定理得：AB＝ ＝ ＝2 ，即 AB＝2 ．
25．【解答】解：（Ⅰ）∵点 B（3，﹣1）在 y1＝ 图象上，
∴ ＝﹣1，
∴m＝﹣3，
∴反比例函数的解析式为 y＝﹣ ；
（Ⅱ）∴﹣ ＝﹣ x+ ，即 x2﹣x﹣6＝0，
则（x﹣3）（x+2）＝0，
解得：x1＝3、x2＝﹣2，
当 x＝﹣2 时，y＝ ，
∴D（﹣2， ）；
结合函数图象知 y1＞y2 时﹣2＜x＜0 或 x＞3；
（Ⅲ）∵点 A（1，a）是反比例函数 y＝﹣ 的图象上一点
∴a＝﹣3
∴A（1，﹣3）
设直线 AB 为 y＝kx+b，
则
∴ ，
∴直线 AB 解析式为 y＝x﹣4
令 y＝0，则 x＝4
∴P（4，0）．
26．【解答】解：（1）当 x＝60 时，y＝ ＝2，
∴当 30≤x≤60 时，图象过（60，2）和（30，5），
设 y＝kx+b，则
，
解得： ，
∴y＝﹣0.1x+8（30≤x≤60）；
（2）根据题意，当 30≤x≤60 时，W＝（x﹣20）y﹣50＝（x﹣20）（﹣0.1x+8）﹣50＝﹣0.1x2+10x
﹣210，
当 60＜x≤80 时，W＝（x﹣20）y﹣50＝（x﹣20）• ﹣50＝﹣ +70，综上所述：W＝ ；
（3）当 30≤x≤60 时，W＝﹣0.1x2+10x﹣210＝﹣0.1（x﹣50）2+40，
当 x＝50 时，W 最大＝40（万元）；
当 60＜x≤80 时，W＝﹣ +70，
∵﹣2400＜0，W 随 x 的增大而增大，
∴当 x＝80 时，W 最大＝﹣ +70＝40（万元），
答：当销售价格定为 50 元/件或 80 元/件，获得利润最大，最大利润是 40 万元．
27．【解答】解：（2）
；
（3）两个函数图象公共点的横坐标是±1 和﹣4．
则满足 y3＝y4 的所有 x 的值为±1 和﹣4．
故答案是：±1 和﹣4；
（4）不等式 x3+4x2﹣x﹣4＞0 即当 x＞0 时，x2+4x﹣1＞ ，此时 x 的范围是：x＞1；
当 x＜0 时，x2+4x﹣1＜ ，则﹣4＜x＜﹣1．
故答案是：x＞1 或﹣4＜x＜﹣1．
28．【解答】（1）证明：连接 OG．
∵EF 切
⊙
O 于 G，
∴OG⊥EF，
∴∠AGO+∠AGE＝90°，∵CD⊥AB 于 H，
∴∠AHD＝90°，
∴∠OAG＝∠AKH＝90°，
∵OA＝OG，
∴∠AGO＝∠OAG，
∴∠AGE＝∠AKH，
∵∠EKG＝∠AKH，
∴∠EKG＝∠AGE，
∴KE＝GE．
（2）设∠FGB＝
α
，
∵AB 是直径，
∴∠AGB＝90°，
∴∠AGE＝∠EKG＝90°﹣
α
，
∴∠E＝180°﹣∠AGE﹣∠EKG＝2
α
，
∵∠FGB＝ ∠ACH，
∴∠ACH＝2
α
，
∴∠ACH＝∠E，
∴CA∥FE．
（3）作 NP⊥AC 于 P．
∵∠ACH＝∠E，
∴sin∠E＝sin∠ACH＝ ＝ ，设 AH＝3a，AC＝5a，
则 CH＝ ＝4a，tan∠CAH＝ ＝ ，
∵CA∥FE，
∴∠CAK＝∠AGE，
∵∠AGE＝∠AKH，
∴∠CAK＝∠AKH，∴AC＝CK＝5a，HK＝CK﹣CH＝a，tan∠AKH＝ ＝3，AK＝ ＝ a，
∵AK＝ ，
∴ a＝ ，
∴a＝1．AC＝5，
∵∠BHD＝∠AGB＝90°，
∴∠BHD+∠AGB＝180°，
在四边形 BGKH 中，∠BHD+∠HKG+∠AGB+∠ABG＝360°，
∴∠ABG+∠HKG＝180°，∵∠AKH+∠HKG＝180°，
∴∠AKH＝∠ABG，
∵∠ACN＝∠ABG，
∴∠AKH＝∠ACN，
∴tan∠AKH＝tan∠ACN＝3，
∵NP⊥AC 于 P，
∴∠APN＝∠CPN＝90°，
在 Rt△APN 中，tan∠CAH＝ ＝ ，设 PN＝12b，则 AP＝9b，
在 Rt△CPN 中，tan∠ACN＝ ＝3，
∴CP＝4b，
∴AC＝AP+CP＝13b，
∵AC＝5，
∴13b＝5，
∴b＝ ，
∴CN＝ ＝4 b＝ ．
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