2018-2019学年九年级数学上期末模拟试卷（洛阳市附答案）.pdf

2018-2019 学年河南省洛阳市初中数学九年级（上）期末数学模 拟试卷 一．选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分） 1．方程 x2＝4x 的根是（ ） A．x＝4 B．x＝0 C．x1＝0，x2＝4 D．x1＝0，x2＝﹣4 2．已知关于 x 的一元二次方程 3x2+4x﹣5＝0，下列说法正确的是（ ） A．方程有两个相等的实数根 B．方程有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 3．二次函数 y＝（x﹣2）2+3，当 0≤x≤5 时，y 的取值范围为（ ） A．3≤y≤12 B．2≤y≤12 C．7≤y≤12 D．3≤y≤7 4．在平面直角坐标系中，将抛物线 y＝（x﹣2）2+1 先向上平移 2 个单位长度，再向左平移 3 个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ） A．y＝（x+1）2﹣1 B．y＝（x﹣5）2﹣1 C．y＝（x+1）2+3 D．y＝（x﹣5）2+3 5．下面四个手机应用图标中是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 6．如图，在 ⊙ O 的内接△ABC 中，∠ABC＝30°，AC 的延长线与过点 B 的 ⊙ O 的切线相 交于点 D，若 ⊙ O 的半径 OC＝1，BD∥OC，则 CD 的长为（ ） A．1+ B． C． D． 7．下列事件是必然事件的是（ ） A．NBA 球员投篮 10 次，投中十次 B．明天会下雪C．党的十九大于 2017 年 10 月 18 日在北京召开 D．抛出一枚硬币，落地后正面朝上 8．如图，一个游戏转盘中，红、黄、蓝三个扇形的圆心角度数分别为 60°，90°，210°．让 转盘自由转动，指针停止后落在黄色区域的概率是（ ） A． B． C． D． 9．如图，在平面直角坐标系中，点 A 是 x 轴正半轴上的一个定点，点 P 是双曲线 y＝ （x ＞0）上的一个动点，PB⊥y 轴于点 B，当点 P 的横坐标逐渐增大时，四边形 OAPB 的面 积将会（ ） A．逐渐增大 B．不变 C．逐渐减小 D．先增大后减小 10．如图，在 Rt△AOB 中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2，将 Rt△AOB 绕点 O 顺时针旋 转 90°后得 Rt△FOE，将线段 EF 绕点 E 逆时针旋转 90°后得线段 ED，分别以 O，E 为圆心，OA、ED 长为半径画弧 AF 和弧 DF，连接 AD，则图中阴影部分面积是（ ） A．8﹣ π B． C．3+ π D． π二．填空题（共 5 小题，满分 15 分，每小题 3 分） 11．对于任意实数 a、b，定义：a◆b＝a2+ab+b2．若方程（x◆2）﹣5＝0 的两根记为 m、n， 则 m2+n2＝ ．12．抛物线 y＝3x2﹣6x+a 与 x 轴只有一个公共点，则 a 的值为 ． 13．如图，直径为 10cm 的 ⊙ O 中，两条弦 AB，CD 分别位于圆心的异侧，AB∥CD，且 ， 若 AB＝8cm，则 CD 的长为 cm． 14．如图，在平面直角坐标系中，直线 y＝﹣3x+3 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，以 AB 为边在第一象限作正方形 ABCD，顶点 D 恰好落在双曲线 y＝ ．若将正方形沿 x 轴向左 平移 b 个单位长度后，点 C 恰好落在该双曲线上，则 b 的值为 ． 15．如图，在矩形 ABCD 中，AD＝3，将矩形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转，得到矩形 AEFG， 点 B 的对应点 E 落在 CD 上，且 DE＝EF，则 AB 的长为 ． 三．解答题（共 8 小题，满分 75 分） 16．如图，点 O 是△ABC 的边 AB 上一点，以 OB 为半径的 ⊙ O 交 BC 于点 D，过点 D 的切 线交 AC 于点 E，且 DE⊥AC． （1）证明：AB＝AC； （2）设 AB＝ cm，BC＝2cm，当点 O 在 AB 上移动到使 ⊙ O 与边 AC 所在直线相切时， 求 ⊙ O 的半径．17．水果店老板以每斤 2 元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤 4 元的价格出售，每天 可售出 100 斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低 0.1 元，每天可多售出 20 斤， 为保证每天至少售出 260 斤，老板决定降价销售． （1）若这种水果每斤售价降低 x 元，则每天的销售量是 斤（用含 x 的代数式表示， 需要化简）； （2）销售这种水果要想每天盈利 300 元，老板需将每斤的售价定为多少元？ 18．如图是一副扑克牌中的三张牌，将它们正面向下洗均匀，甲同学从中随机抽取一张牌后 放回，乙同学再从中随机抽取一张牌，用树状图（或列表）的方法，求抽出的两张牌中， 牌面上的数字都是偶数的概率． 19．某大型超市将进价为 40 元的某种服装按 50 元售出时，每天可以售出 300 套，据市场调 查发现，这种服装每提高 1 元，销售量就减少 5 套，如果超市将售价定为 x 元，请你求 出每天销售利润 y 元与售价 x 元的函数表达式． 20．如图，已知△ABC 中，AB 为半圆 O 的直径，AC、BC 分别交半圆 O 于点 E、D，且 BD ＝DE． （1）求证：点 D 是 BC 的中点． （2）若点 E 是 AC 的中点，判断△ABC 的形状，并说明理由．21．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知正比例函数 y1＝﹣2x 的图象与反比例函数 y2＝ 的图象交于 A（﹣1，a），B 两点． （1）求出反比例函数的解析式及点 B 的坐标； （2）观察图象，请直接写出满足 y≤2 的取值范围； （3）点 P 是第四象限内反比例函数的图象上一点，若△POB 的面积为 1，请直接写出点 P 的横坐标． 22．已知：如图，AB＝AC，∠ABD＝∠ACD，求证：BD＝CD． 23．（如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax2﹣5ax+c 交 x 轴于点 A，点 A 的坐标为（4， 0）． （1）用含 a 的代数式表示 c． （2）当 a＝ 时，求 x 为何值时 y 取得最小值，并求出 y 的最小值． （3）当 a＝ 时，求 0≤x≤6 时 y 的取值范围． （4）已知点 B 的坐标为（0，3），当抛物线的顶点落在△AOB 外接圆内部时，直接写出 a 的取值范围．参考答案 一．选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分） 1．【解答】解：方程整理得：x（x﹣4）＝0， 可得 x＝0 或 x﹣4＝0， 解得：x1＝0，x2＝4， 故选：C． 2．【解答】解：∵△＝42﹣4×3×（﹣5）＝76＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 3．【解答】解：∵二次函数 y＝（x﹣2）2+3， ∴该函数的对称轴是直线 x＝2，当 x＞2 时，y 随 x 的增大而增大，当 x＜2 时，y 随 x 的增 大而减小， ∵0≤x≤5，2﹣0＝2，5﹣2＝3， ∴当 x＝2 时，y 取得最小值，此时 y＝3，当 x＝5 时，y 取得最大值，此时 y＝12， ∴当 0≤x≤5 时，y 的取值范围为 3≤y≤12， 故选：A． 4．【解答】解：将抛物线 y＝（x﹣2）2+1 先向上平移 2 个单位长度，再向左平移 3 个单位 长度，得到的抛物线的解析式是将抛物线 y＝（x﹣2+3）2+1+2，即：y＝（x+1）2+3． 故选：C． 5．【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误； B、是中心对称图形，故本选项正确； C、不是中心对称图形，故本选项错误； D、不是中心对称图形，故本选项错误． 故选：B． 6．【解答】解：连接 OB．过点 C 作 CE⊥BD 于点 E． ∵∠ABC＝30°， ∴∠AOC＝60°（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）； ∵OA＝OC（ ⊙ O 的半径）， ∴∠ACO＝∠OAC＝60°（等边对等角）；又 BD∥OC， ∴∠ACO＝∠D＝60°（两直线平行，同位角相等）， ∴∠OCD＝120°（两直线平行，同旁内角互补）； ∵BD 是 ⊙ O 的切线， ∴OB⊥OC，OB⊥BD； 又∵OB＝OC， ∴四边形 CEBO 是正方形， ∴CE＝OB＝1， ∴CD＝ ＝ ； 故选：B． 7．【解答】解：A、NBA 球员投篮 10 次，投中十次是随机事件，错误； B、明天会下雪是随机事件，错误； C、党的十九大于 2017 年 10 月 18 日在北京召开是必然事件，正确； D、抛出一枚硬币，落地后正面朝上是随机事件，错误； 故选：C． 8．【解答】解：∵黄扇形区域的圆心角为 90°， 所以黄区域所占的面积比例为 ＝ ， 即转动圆盘一次，指针停在黄区域的概率是 ， 故选：B． 9．【解答】解：设点 P 的坐标为（x， ）， ∵PB⊥y 轴于点 B，点 A 是 x 轴正半轴上的一个定点， ∴四边形 OAPB 是个直角梯形， ∴四边形 OAPB 的面积＝ （PB+AO）•BO＝ （x+AO）• ＝ + ＝ + • ， ∵AO 是定值，∴四边形 OAPB 的面积是个减函数，即点 P 的横坐标逐渐增大时四边形 OAPB 的面积逐渐 减小． 故选：C． 10．【解答】解：作 DH⊥AE 于 H， ∵∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2， ∴AB＝ ＝ ， 由旋转的性质可知，OE＝OB＝2，DE＝EF＝AB＝ ， ∵∠OFE+∠FEO＝∠OED+∠FEO＝90°， ∴∠OFE＝∠OED ∴△DHE≌△BOA， ∴DH＝OB＝2， 阴影部分面积＝△ADE 的面积+△EOF 的面积+扇形 AOF 的面积﹣扇形 DEF 的面积 ＝ ×5×2+ ×2×3+ ﹣ ＝8﹣ π ， 故选：A． 二．填空题（共 5 小题，满分 15 分，每小题 3 分） 11．【解答】解：∵（x◆2）﹣5＝x2+2x+4﹣5， ∴m、n 为方程 x2+2x﹣1＝0 的两个根， ∴m+n＝﹣2，mn＝﹣1， ∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝6． 故答案为：6． 12．【解答】解：∵抛物线 y＝3x2﹣6x+a 与 x 轴只有一个公共点， ∴△＝36﹣12a＝0， 解得：a＝3，故答案为：3 13．【解答】解：过 O 作 OE⊥AB 于 E，交 ⊙ O 于 M，反向延长 OE 交 CD 于 G，交 ⊙ O 于 N， 则 AE＝ AB＝4， 连接 AN，AO，AM， 则 MN 为 ⊙ O 的直径， ∵AB∥CD， ∴MN⊥CD， ∴ ＝ ， ∵ ＝2 ， ∴ ＝ ， ∴AN＝CD， 在 Rt△AOE 中，OE＝ ＝ ＝3， ∴ME＝5﹣3＝2， 在 Rt△AEM 中，AM＝ ＝ ＝2 ， ∵MN 为 ⊙ O 的直径， ∴∠MAN＝90°， ∴AN＝ ＝4 ， ∴CD＝AN＝4 ， 故答案为：4 ． 14．【解答】解：作 CE⊥y 轴于点 E，交双曲线于点 G．作 DF⊥x 轴于点 F． 在 y＝﹣3x+3 中，令 x＝0，解得：y＝3，即 B 的坐标是（0，3）． 令 y＝0，解得：x＝1，即 A 的坐标是（1，0）．则 OB＝3，OA＝1． ∵∠BAD＝90°， ∴∠BAO+∠DAF＝90°， 又∵直角△ABO 中，∠BAO+∠OBA＝90°， ∴∠DAF＝∠OBA， 在△OAB 和△FDA 中， ， ∴△OAB≌△FDA（AAS）， 同理，△OAB≌△FDA≌△BEC， ∴AF＝OB＝EC＝3，DF＝OA＝BE＝1， 故 D 的坐标是（4，1），C 的坐标是（3，4）．代入 y＝ 得：k＝4，则函数的解析式是：y ＝ ． ∴OE＝4， 则 C 的纵坐标是 4，把 y＝4 代入 y＝ 得：x＝1．即 G 的坐标是（1，4）， ∴CG＝2， ∴b＝2． 故答案为：2． 15．【解答】解：由旋转得：AD＝EF，AB＝AE，∠D＝90°， ∵DE＝EF， ∴AD＝DE，即△ADE 为等腰直角三角形， 根据勾股定理得：AE＝ ＝3 ， 则 AB＝AE＝3 ， 故答案为：3三．解答题（共 8 小题，满分 75 分） 16．【解答】（1）证明：连接 OD． ∵DE 是 ⊙ O 的切线， ∵DE⊥OD，∵AC⊥DE， ∴OD∥AC， ∴∠ODB＝∠C， ∵OB＝OD， ∴∠B＝∠ODB， ∴∠B＝∠C， ∴AB＝AC． （2）设 AC 与 ⊙ O 相切于点 F，连接 OF，作 AH⊥BC 于 H．设半径为 r． ∵AB＝AC，AH⊥BC， ∴BH＝CH＝1， ∴AH＝ ＝2， ∴tan∠C＝ ＝2， ∵∠OFE＝∠ODE＝∠DEF＝90°， ∴四边形 ODEF 是矩形， ∵OD＝OF，∴四边形 ODEF 是正方形， ∴EF＝DE＝r， ∵tanC＝ ＝2， ∴EC＝ ， ∴AF＝ ﹣r﹣ r＝ ﹣ r， 在 Rt△AOF 中，∵OA2＝AF2+OF2， ∴（ ﹣r）2＝r2+（ ﹣ r）2， 解得 r＝ ． 17．【解答】解：（1）将这种水果每斤的售价降低 x 元，则每天的销售量是 100+ ×20 ＝100+200x（斤）； 故答案为：100+200x （2）设这种水果每斤售价降低 x 元，根据题意得：（4﹣2﹣x）（100+200x）＝300， 解得：x＝ 或 x＝1， 当 x＝ 时，销售量是 100+200× ＝200＜260； 当 x＝1 时，销售量是 100+200＝300（斤）． ∵每天至少售出 260 斤， ∴x＝1． 4﹣1＝3， 答：老板需将每斤的售价定为 3 元． 18．【解答】解：画树状图为： 共有 9 种等可能的结果数，其中两次抽取的牌上的数字都是偶数的结果数为 2， 所以两次抽取的牌上的数字都是偶数的概率＝ ＝ ． 19．【解答】解：根据题意可得：y＝（x﹣40）[300﹣5（x﹣50）] ＝（x﹣40）（550﹣5x） ＝﹣5x2+750x﹣22000． 20．【解答】（1）证明：连接 AD， ∵AB 为半圆 O 的直径， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∵BD＝DE， ∴ ＝ ， ∴∠BAD＝∠CAD， 在△BAD 和△CAD 中， ， ∴△BAD≌△CAD（ASA）， ∴BD＝DC，即点 D 是 BC 的中点； （2）解：∵△BAD≌△CAD， ∴AB＝AC， ∵∠ADC＝90°，点 E 是 AC 的中点， ∴DE＝AE＝EC， 由（1）得，DE＝BD＝DC， ∴CA＝CB， ∴CA＝CB＝AB， ∴△ABC 是等边三角形． 21．【解答】解：（1）把 A（﹣1，a）代入 y＝﹣2x，可得 a＝2， ∴A（﹣1，2），把 A（﹣1，2）代入 y＝ ，可得 k＝﹣2， ∴反比例函数的表达式为 y＝﹣ ， ∵点 B 与点 A 关于原点对称， ∴B（1，﹣2）． （2）∵A（﹣1，2）， ∴y≤2 的取值范围是 x＜﹣1 或 x＞0； （3）作 BM⊥x 轴于 M，PN⊥x 轴于 N， ∵S 梯形 MBPN＝S△POB＝1， 设 P（m，﹣ ），则 （2+ ）（m﹣1）＝1 或 （2+ ）（1﹣m）＝1 整理得，m2﹣m﹣1＝0 或 m2+m+1＝0， 解得 m＝ 或 m＝ ， ∴P 点的横坐标为 ． 22．【解答】证明：连接 BC． ∵AB＝AC（已知）， ∴∠1＝∠2（等边对等角）． 又∠ABD＝∠ACD（已知）， ∴∠ABD﹣∠1＝∠ACD﹣∠2（等式运算性质）． 即∠3＝∠4．∴BD＝DC（等角对等边）． 23．【解答】解：（1）将 A（4，0）代入 y＝ax2﹣5ax+c，得：16a﹣20a+c＝0， 解得：c＝4a． （2）当 a＝ 时，c＝2， ∴抛物线的解析式为 y＝ x2﹣ x+2＝ （x﹣ ）2﹣ ． ∵a＝ ＞0， ∴当 x＝ 时，y 取得最小值，最小值为﹣ ． （3）当 a＝﹣ 时，c＝﹣2， ∴抛物线的解析式为 y＝﹣ x2+ x﹣2＝﹣ （x﹣ ）2+ ． ∵a＝﹣ ＜0， ∴当 x＝ 时，y 取得最大值，最大值为 ； 当 x＝0 时，y＝﹣2； 当 x＝6 时，y＝﹣ ×62+ ×6﹣2＝﹣5． ∴当 0≤x≤6 时，y 的取值范围是﹣5≤y≤ ． （4）∵抛物线的解析式为 y＝ax2﹣5ax+4a＝a（x﹣ ）2﹣ a， ∴抛物线的对称轴为直线 x＝ ，顶点坐标为（ ，﹣ a）． 设线段 AB 的中点为 O，以 AB 为直径作圆，设抛物线对称轴与 ⊙ O 交于点 C，D，过点 O 作 OH⊥CD 于点 H，如图所示． ∵点 A 的坐标为（4，0），点 B 的坐标（0，3）， ∴AB＝5，点 O 的坐标为（2， ），点 H 的坐标为（ ， ）． 在 Rt△COH 中，OC＝ AB＝ ，OH＝ ， ∴CH＝ ， ∴点 C 的坐标为（ ， + ）． 同理：点 D 的坐标为（ ， ﹣ ），∴ ， 解得：﹣ ﹣ ＜a＜﹣ + 且 a≠0．