2019高考数学（文）”一本“培养专题限时集训7　空间线、面的位置关系Word版含解析.doc

专题限时集训(七)　空间线、面的位置关系 ‎(建议用时：60分钟)‎ 一、选择题 ‎1．设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是(　　)‎ A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂β B．若l⊥α，α∥β，则l⊥β C．若l∥α，α∥β，则l⊂β D．若l∥α，α⊥β，则l⊥β B　[若l⊥α，α⊥β，则l⊂β或l∥β，故A错误；‎ 若l⊥α，α∥β，由平面平行的性质，可得l⊥β，故B正确；‎ 若l∥α，α∥β，则l⊂β或l∥β，故C错误；‎ 若l∥α，α⊥β，则l⊥β或l∥β或l⊂β，故D错误；故选B.]‎ ‎2．(2018·安庆模拟)正四面体ABCD中，E，F分别为AB，BD的中点，则异面直线AF，CE所成角的余弦值为(　　)‎ A.　　　B.　　　C.　　　D. C　[取BF的中点G，连接CG，EG，(图略)易知EG∥AF，所以异面直线AF，CE所成的角即为∠GEC(或其补角)．‎ 不妨设正四面体棱长为2，易求得CE＝，EG＝，CG＝，由余弦定理得cos∠GEC＝＝＝，∴异面直线AF，CE所成角的余弦值为.]‎ ‎3．如图2428，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥ABCD.则在三棱锥ABCD中，下列命题正确的是(　　)‎ 图2428‎ A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDC C．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC D　[∵在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，∴BD⊥CD.又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，∴CD⊥平面ABD，则CD⊥AB.又AD⊥AB，AD∩CD＝D，∴AB⊥平面ADC，又AB⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ADC，故选D.]‎ 图2429‎ ‎4．(2018·南昌模拟)如图2429，在四面体ABCD中， 已知AB⊥AC，BD⊥AC，那么点D在平面ABC内的射影H必在(　　)‎ A．直线AB上 B．直线BC上 ‎ C．直线AC上 D．△ABC内部 A　[因为AB⊥AC，BD⊥AC，AB∩BD＝B，所以AC⊥平面ABD，又AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ABD，所以点D在平面ABC内的射影H必在直线AB上．]‎ ‎5．在正方形ABCDA1B1C1D1中，E是线段BC上的动点，F是线段CD1上的动点，且E，F不重合，则直线AB1与直线EF的位置关系是(　　)‎ A．相交且垂直 B．共面 C．平行 D．异面且垂直 D　[连接A1B，则AB1⊥平面A1BCD1，又EF⊂平面A1BCD1，则AB1⊥EF ‎，且AB1，EF是异面直线，故选D.]‎ ‎6．如图2430是四棱锥的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点，在此几何体中，给出下面四个结论中错误的是(　　)‎ 图2430‎ A．平面EFGH∥平面ABCD B．直线BE，CF相交于一点 C．EF∥平面BGD D．PA∥平面BGD C　[把图形还原为一个四棱锥，如图所示，‎ 根据三角形中位线的性质，可得EH∥AB，GH∥BC，‎ ‎∴平面EFGH∥平面ABCD，A正确；‎ 在△PAD中，根据三角形的中位线定理可得EF∥AD，‎ 又∵AD∥BC，∴EF∥BC，因此四边形EFCB是梯形，故直线BE与直线CF相交于一点，所以B是正确的；连接AC，设AC中点为M，则M也是BD的中点，连接MG，因为MG∥PA，且直线MG在平面BDG上，所以有PA∥平面BDG，所以D是正确的；∵EF∥BC，EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，∴直线EF∥平面PBC，再结合图形可得：直线EF与平面BDG不平行，因此C是错误的，故选C.]‎ ‎7．如图2431所示，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为 m，n，那么m＋n＝(　　)‎ 图2431‎ A．8 B．9 C．10 D．11‎ A　[如图，CE⊂平面ABPQ，从而CE∥平面A1B1P1Q1，易知CE与正方体的其余四个面所在平面均相交，∴m＝4，∵EF∥平面BPP1B1，EF∥平面AQQ1A1，且EF与正方体的其余四个面所在平面均相交，∴n＝4，故m＋n＝8，选A.‎ ‎]‎ ‎8．(2018·武汉模拟)如图2432，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝1，将△ACD沿AC折起，使得D折起后的位置为D1，且D1在平面ABC上的射影恰好落在AB上，在四面体D1ABC的四个面中，有n对平面相互垂直，则n等于(　　)‎ 图2432‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ B　[设D1在平面ABC上的射影为E，连接D1E，则D1E⊥平面ABC，‎ ‎∵D1E⊂平面ABD1，∴平面ABD1⊥平面ABC.‎ ‎∵D1E⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，‎ ‎∴D1E⊥BC，又AB⊥BC，D1E∩AB＝E，‎ ‎∴BC⊥平面ABD1，又BC⊂平面BCD1，‎ ‎∴平面BCD1⊥平面ABD1，‎ ‎∵BC⊥平面ABD1，AD1⊂平面ABD1，‎ ‎∴BC⊥AD1，又CD1⊥AD1，BC∩CD1＝C，‎ ‎∴AD1⊥平面BCD1，又AD1⊂平面ACD1，‎ ‎∴平面ACD1⊥平面BCD1.‎ ‎∴共有3对平面互相垂直，故选B.]‎ 二、填空题 ‎9．(2018·黄山模拟)已知正六棱锥SABCDEF的底面边长和高均为1，则异面直线SC与DE所成角的大小为________．‎ 　[设正六边形ABCDEF的中心为O，连接SO，CO，BO，则由正六边形的性质知OC∥DE，SO⊥平面ABCDEF，所以∠SCO为异面直线SC与DE所成角．又易知△BOC为等边三角形，所以SO＝BC＝CO＝1，所以∠SCO＝.]‎ ‎10．已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，有下列命题：‎ ‎①若m，n平行于同一平面，则m与n平行；‎ ‎②若m∥α，n⊥α，则m⊥n；‎ ‎③若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线；‎ ‎④若α∩β＝n，m∥n，则m∥α且m∥β.‎ 其中真命题有________(填写所有正确命题的编号)．‎ ‎②　[①若m，n平行于同一平面，则m与n平行或相交或异面，故①错误；‎ ‎②若n⊥α，则n垂直于α内的所有直线，又m∥α，则m⊥n，故②正确；‎ ‎③若α，β不平行，则α，β相交，设α∩β＝l，在α内作直线a∥l，则a∥β，故③错误；‎ ‎④若α∩β＝n，m∥n，则m∥α或m∥β或m⊂α或m⊂β，故④错误．‎ 所以正确命题的序号是②.]‎ ‎11．如图2433所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，P，Q分别是AA1，A1D1，CC1，BC的中点，给出以下四个结论：‎ 图2433‎ ‎①A1C⊥MN；②A1C∥平面MNPQ；③A1C与PM相交；④NC与PM异面．其中正确的结论是________(填写所有正确命题的序号)．‎ ‎①③④　[MN⊥平面A1DC，从而MN⊥A1C，故①正确；‎ A1C与平面MNPQ相交，故②错误；A1C与PM都在平面ACC1A1内，且不平行，因此A1C与PM相交，故③正确；点P，M，C都在平面ACC1A1内，点N不在平面ACC1A1内，故NC与PM异面，因此④正确．]‎ ‎12．如图2434，PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的射影，给出下列结论：‎ 图2434‎ ‎①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确命题的序号是________．‎ ‎①②③　[∵PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，‎ ‎∴CB⊥PA，CB⊥AC，又PA∩AC＝A，‎ ‎∴CB⊥平面PAC.‎ 又AF⊂平面PAC，∴CB⊥AF.‎ 又∵F是点A在PC上的射影，‎ ‎∴AF⊥PC，又PC∩BC＝C，PC，BC⊂平面PBC，‎ ‎∴AF⊥平面PBC，‎ 故①③正确．又∵E为A在PB上的射影，∴AE⊥PB，‎ ‎∴PB⊥平面AEF，故②正确．‎ 而AF⊥平面PCB，∴AE不可能垂直于平面PBC.‎ 故④错．]‎ 三、解答题 ‎13．(2018·烟台模拟)已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为3，E，F分别为CC1，BB1上的点，且EC＝3FB＝3，点M是线段AC上的动点，如图2435所示．‎ 图2435‎ ‎(1)试确定点M的位置，使BM∥平面AEF，并说明理由；‎ ‎(2)若M为满足(1)中条件的点，求三棱锥MAEF的体积．‎ ‎[解]　(1)当点M是线段AC靠近点A的三等分点时，BM∥平面AEF.‎ 事实上，在AE上取点N，使AN＝AE，于是＝＝，‎ 所以MN∥EC且MN＝EC.‎ 由题意知，BF∥EC且BF＝EC，所以MN∥BF且MN＝BF，‎ 所以四边形BMNF为平行四边形，所以BM∥FN.‎ 又FN⊂平面AEF，BM⊄平面AEF，所以BM∥平面AEF.‎ ‎(2)连接EM，FM.因为三棱柱ABCA1B1C1是正三棱柱，‎ 所以BB1∥平面ACC1A1.‎ 所以V三棱锥MAEF＝V三棱锥FAEM＝V三棱锥BAEM，‎ 取AC的中点O,连接BO，则BO⊥AC.‎ 因为三棱柱ABCA1B1C1是正三棱柱，所以AA1⊥平面ABC.‎ 又BO⊂平面ABC，所以AA1⊥BO.‎ 因为BO⊥AC，BO⊥AA1，AC∩AA1＝A，‎ 所以BO⊥平面ACC1A1.‎ 所以BO为三棱锥BAEM的高．‎ 又在正三角形ABC中，BO＝.‎ ‎∴V三棱锥MAEF＝V三棱锥BAEM＝·S△AEM·BO＝××＝.‎ ‎14．如图2436，在平行四边形ABCD中，AB＝1，AD＝2，∠BAD＝120°，四边形EBDF是矩形，BE＝1，平面EBDF⊥平面ABCD.‎ 图2436‎ ‎(1)求证：AE⊥CF；‎ ‎(2)求直线CF与平面EBDF所成角的正弦值．‎ ‎[解]　(1)证明：连接AC，在△ABC中，‎ AB＝1，BC＝2，∠ABC＝60°，‎ 由余弦定理易得AC＝，所以AB2＋AC2＝BC2，‎ 则AB⊥AC.‎ 又AB∥CD，所以AC⊥CD，‎ 同理在△BCD中，由余弦定理易得BD＝，‎ 又四边形EBDF是矩形，则BE⊥BD，‎ 又平面EBDF⊥平面ABCD，‎ 且平面EBDF∩平面ABCD＝BD，‎ 所以BE⊥平面ABCD，‎ 又BC⊂平面ABCD，所以BE⊥BC，‎ 同理FD⊥DC，AC⊥DF，‎ 由勾股定理易求得EC＝，CF＝，‎ 又EF＝BD＝，显然EF2＝CE2＋CF2，故CE⊥CF.‎ 由AC⊥CD，AC⊥DF，CD∩DF＝D，‎ 所以AC⊥平面CDF，所以AC⊥CF，又AC∩CE＝C，‎ 所以CF⊥平面ACE，所以CF⊥AE.‎ ‎(2)过点C作BD的垂线，垂足为H，连接FH，显然CH⊥平面EBDF，则FH为CF在平面EBDF内的射影，‎ 于是∠CFH为直线CF与平面EBDF所成角的平面角，由S△BCD＝·|CH|·|BD|＝·|BC|·|CD|·sin 120°，解得|CH|＝，sin∠CFH＝＝＝.‎