2019年中考数学总复习提分专练04二次函数小综合练习湘教版.docx

提分专练(四)　二次函数小综合 ‎|类型1|　二次函数与其他函数的综合 ‎1.如图T4-1,在平面直角坐标系内,二次函数y=ax2+bx(a≠0),一次函数y=ax+b(a≠0)以及反比例函数y=kx(k≠0)的图象都经过点A,其中一次函数的图象与反比例函数的图象还交于另一点B,且一次函数的图象与x轴,y轴分别交于点C,D.若点A的横坐标为1,该二次函数图象的对称轴是直线x=2,有下列结论:①b=-4a;②a+b>k;③8a+4b>k;④a+2b>4k.其中正确结论的个数是 (　　)‎ 图T4-1‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎2.如图T4-2,曲线BC是反比例函数y=kx(4≤x≤6)图象的一部分,其中B(4,1-m),C(6,-m),抛物线y=-x2+2bx的顶点记作A.‎ ‎(1)求k的值.‎ ‎(2)判断点A是否可与点B重合.‎ ‎(3)若抛物线与曲线BC有交点,求b的取值范围.‎ 图T4-2‎ 12‎ ‎|类型2|　二次函数与几何图形综合 ‎3.[2018·岳阳] 已知抛物线F:y=x2+bx+c经过坐标原点O,且与x轴另一交点为-‎3‎‎3‎,0.‎ ‎(1)求抛物线F的表达式.‎ ‎(2)如图T4-3①,直线l:y=‎3‎‎3‎x+m(m>0)与抛物线F相交于点A(x1,y1)和点B(x2,y2)(点A在第二象限),求y2-y1的值(用含m的式子表示).‎ ‎(3)在(2)中,若m=‎4‎‎3‎,设点A'是点A关于原点O的对称点,如图T4-3②.‎ ‎①判断△AA'B的形状,并说明理由.‎ ‎②平面内是否存在点P,使得以点A,B,A',P为顶点的四边形是菱形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.‎ 图T4-3‎ 12‎ ‎4.[2018·益阳] 如图T4-4,已知抛物线y=‎1‎‎2‎x2-‎3‎‎2‎x-n(n>0)与x轴交于A,B两点(A点在B点的左边),与y轴交于点C.‎ ‎(1)如图①,若△ABC为直角三角形,求n的值;‎ ‎(2)如图①,在(1)的条件下,点P在抛物线上,点Q在抛物线的对称轴上,若以BC为边,以点B,C,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,求点P的坐标;‎ ‎(3)如图②,过点A作直线BC的平行线交抛物线于另一点D,交y轴于点E,若AE∶ED=1∶4,求n的值.‎ 图T4-4‎ 12‎ ‎5.[2018·张家界] 如图T4-5,已知二次函数y=ax2+1(a≠0,a为实数)的图象过点A(-2,2),一次函数y=kx+b(k≠0,k,b为实数)的图象l经过点B(0,2).‎ ‎(1)求a的值并写出二次函数的表达式;‎ ‎(2)求b的值;‎ 12‎ ‎(3)设直线l与二次函数的图象交于M,N两点,过点M作MC垂直x轴于点C,试证明:MB=MC;‎ ‎(4)在(3)的条件下,请判断以线段MN为直径的圆与x轴的位置关系,并说明理由.‎ 图T4-5‎ 12‎ 参考答案 ‎1.B　[解析] 对称轴为直线x=-b‎2a=2,‎ ‎∴b=-4a,故结论①正确;‎ ‎∵一次函数与反比例函数的图象都经过点A,‎ ‎∴x=1时,a+b=k,故结论②错误;‎ 由图象可知,4a+2b>k‎2‎,∴8a+4b>k,故结论③正确;‎ a+2b=-b‎4‎+2b=‎7‎‎4‎b,4k=4(a+b)=4-b‎4‎+b=3b,∵二次函数图象开口向下,∴a0,∴‎7‎‎4‎b0),可得 OC=n,OA·OB=2n,‎ ‎∴n2=2n,解得n1=2,n2=0(舍去),‎ ‎∴n=2.‎ ‎(2)由(1)可知抛物线的表达式为y=‎1‎‎2‎x2-‎3‎‎2‎x-2,抛物线的对称轴为直线x=‎3‎‎2‎.‎ 令y=0,得x1=-1,x2=4,‎ ‎∴A(-1,0),B(4,0).‎ 12‎ 设点Pm,‎1‎‎2‎m2-‎3‎‎2‎m-2,‎ 当直线PQ∥BC,点P在点Q的左侧(如图所示),‎ ‎△BOC平移到△QNP的位置时,四边形PQBC为平行四边形,‎ 此时NQ=OB,即‎3‎‎2‎-m=4,则m=-‎5‎‎2‎,‎ 则‎1‎‎2‎m2-‎3‎‎2‎m-2=‎39‎‎8‎,‎ 此时点P的坐标为-‎5‎‎2‎,‎39‎‎8‎;‎ 当点P在点Q的右侧时(如图所示),‎ 同理可得m-‎3‎‎2‎=4,即m=‎11‎‎2‎,‎ 则‎1‎‎2‎m2-‎3‎‎2‎m-2=‎39‎‎8‎,‎ 此时点P的坐标为‎11‎‎2‎,‎39‎‎8‎.‎ 综上所述,满足条件的点P的坐标为-‎5‎‎2‎,‎39‎‎8‎,‎11‎‎2‎,‎39‎‎8‎.‎ ‎(3)过点D作DF⊥x轴,垂足为F.如图,‎ 则AO∶OF=AE∶ED=1∶4.‎ 12‎ 设A(a,0),B(b,0),‎ 则AO=-a,OF=-4a.‎ ‎∵AD∥BC,‎ ‎∴∠OBC=∠DAO.‎ ‎∵∠BOC=∠AFD=90°,‎ ‎∴△BOC∽△AFD,‎ ‎∴OCDF=BOAF,‎ 即nDF=b‎-4a-a,‎ ‎∴nDF=b‎-5a.‎ 由题意得ab=-2n,∴nb=-a‎2‎,‎ ‎∴DF=-5a·nb=-5a·-a‎2‎=‎5‎‎2‎a2.‎ ‎∵点A,D在抛物线上,‎ ‎∴‎‎1‎‎2‎a‎2‎‎-‎3‎‎2‎a-n=0,‎‎1‎‎2‎‎×16a‎2‎-‎3‎‎2‎×(-4a)-n=‎5‎‎2‎a‎2‎,‎ 解得a=-‎3‎‎2‎,‎n=‎27‎‎8‎,‎ ‎∴n的值为‎27‎‎8‎.‎ ‎5.[解析] (1)将点A的坐标代入二次函数的表达式,即可求出a的值,进而得到二次函数的表达式.‎ ‎(2)将点B的坐标代入一次函数的表达式,即可求出b的值.‎ ‎(3)过点M作ME⊥y轴于点E,设Mx,‎1‎‎4‎x2+1,进而用含x的式子分别表示MB和MC.‎ ‎(4)过点N作ND⊥x轴于点D,取MN的中点为P,过点P作PF⊥x轴于点F,过点N作NH⊥MC于点H,交PF于点G.‎ 12‎ 根据(3)知NB=ND,通过等量代换,得出PF=‎1‎‎2‎MN.‎ 解:(1)根据题意,得2=a×(-2)2+1,‎ 解得a=‎1‎‎4‎,∴y=‎1‎‎4‎x2+1.‎ ‎(2)根据题意,得2=k×0+b,解得b=2.‎ ‎(3)证明:如图,过点M作ME⊥y轴于点E.‎ 设Mx,‎1‎‎4‎x2+1,则MC=‎1‎‎4‎x2+1,‎ ‎∴ME=|x|,EB=‎1‎‎4‎x‎2‎‎+1-2‎=‎1‎‎4‎x‎2‎‎-1‎.‎ ‎∵MB=ME‎2‎+EB‎2‎=x‎2‎‎+(‎1‎‎4‎x‎2‎-1)‎‎ ‎‎2‎=‎x‎2‎‎+‎1‎‎16‎x‎4‎-‎1‎‎2‎x‎2‎+1‎ ‎=‎1‎‎16‎x‎4‎‎+‎1‎‎2‎x‎2‎+1‎=‎1‎‎4‎x2+1,‎ ‎∴MB=MC.‎ ‎(4)相切.理由如下:‎ 如图,过点N作ND⊥x轴于D,取MN的中点为P,过点P作PF⊥x轴于点F,过点N作NH⊥MC于点H,交PF于点G.‎ 由(3)知NB=ND,‎ ‎∴MN=NB+MB=ND+MC.‎ ‎∵PG=‎1‎‎2‎MH,ND=GF=HC,PF=PG+GF,‎ ‎∴2PF=2PG+2GF ‎ =MH+ND+HC 12‎ ‎ =ND+MC,‎ ‎∴PF=‎1‎‎2‎MN,‎ ‎∴以线段MN为直径的圆与x轴相切.‎ 12‎