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第七章 平面直角坐标系
7．1 平面直角坐标系
7．1.1 有序数对
基础题
知识点1 有序数对
有顺序的两个数组成的数对，称为有序数对．理解有序数对时要注意：(1)不能随意交换两个数的顺序；(2)两个数组成的有序数对是个整体，不能分开．
1．用7和8组成一个有序数对，可以写成( D )
A．(7，8) B．(8，7) C．7，8或8，7 D．(7，8)或(8，7)
2．一个有序数对可以( A )
A．确定一个点的位置 B．确定两个点的位置
C．确定一个或两个点的位置 D．不能确定点的位置
3．下列关于有序数对的说法正确的是( C )
A．(3，2)与(2，3)表示的位置相同
B．(a，b)与(b，a)表示的位置一定不同
C．(3，－2)与(－2，3)是表示不同位置的两个有序数对
D．(4，4)与(4，4)表示两个不同的位置
知识点2 有序数对的应用
4．电影院里的座位按“×排×号”编排，小明的座位简记为(12，6)，小菲的座位简记为(12，12)，则小明与小菲坐的位置为( A )
A．同一排 B．前后同一条直线上 C．中间隔六个人 D．前后隔六排
5．如图，一个方队正沿着箭头所指的方向前进，A的位置为三列四行，表示为(3，4)，那么C的位置是( D )
A．(4，5) B．(5，4) C．(4，2) D．(4，3)
6．(教材P65练习变式)如图是某电视塔周围的建筑群平面示意图，这个电视塔的位置用A表示．某人由点B出发到电视塔，他的路径表示错误的是(注：街在前，巷在后)( A )
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A．(2，2)→(2，5)→(5，6) B．(2，2)→(2，5)→(6，5)
C．(2，2)→(6，2)→(6，5) D．(2，2)→(2，3)→(6，3)→(6，5)
7．(2018·南宁马山县期末)剧院里5排2号可以用(5，2)表示，则(7，4)表示7排4号．
8．如图，围棋盘的左下角呈现的是一局围棋比赛中的几手棋，为记录棋谱方便，横线用数字表示，纵线用英文字母表示，这样，黑棋❶的位置可记为(C，4)，白棋②的位置可记为(E，3)，则黑棋❾的位置应记为(D，6)．
9．若图中的有序数对(4，1)对应字母D，有一个英文单词的字母依次对应图中的有序数对为(1，1)，(2，3)，(2，3)，(5，2)，(5，1)，则这个英文单词是APPLE．
易错点 对有序数对的意义理解不清
10．王宁在班里的座位号为(2，3)，那么该同学所坐的位置是( D )
A．第2排第3列 B．第3排第2列 C．第5排第5列 D．不好确定
中档题
11．若有序数对(3a－1，2b＋5)与(8，9)表示的位置相同，则a＋b的值为( D )
A．2 B．3 C．4 D．5
12．雷达二维平面定位的主要原理是：测量目标的两个信息——距离和角度，目标的表示方法为(γ，α)，其中，γ表示目标与探测器的距离；α表示以正东为始边，逆时针旋转后的角度．如图，雷达探测器显示在点A，B，C处有目标出现，其中，目标A的位置表示为A(5，30°)，目标B的位置表示为B(4，150°)．用这种方法表示目标C的位置，正确的是( C )
A．(－3，300°) B．(3，60°) C．(3，300°) D．(－3，60°)
13．如图是某校的部分平面图，如果用(2，4)，(2，7)分别表示图中桃李亭和综合楼的位置，那么教学楼的位置是(8，9)，图书馆的位置是(5，6)，(6，1)表示的是芳草亭的位置．
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14．将正整数按如图所示的规律排列．若用有序数对(a，b)表示第a排，从左至右第b个数．例如(4，3)表示的数是9，则(7，2)表示的数是23.
15．如图，点A(3，1)表示放置3个胡萝卜、1棵青菜，点B(2，3)表示放置2个胡萝卜、3棵青菜．
(1)请你写出其他各点C，D，E，F所表示的意义；
(2)若一只兔子从A到达B(顺着方格线走)，有以下几条路可以选择：①A→C→D→B；②A→F→D→B；③A→F→E→B，请帮可爱的小白兔选一条路，使它吃到的食物最多．
解：(1)C(2，1)表示放置2个胡萝卜、1棵青菜；D(2，2)表示放置2个胡萝卜、2棵青菜；E(3，3)表示放置3个胡萝卜、3棵青菜；F(3，2)表示放置3个胡萝卜、2棵青菜．
(2)走①有9个胡萝卜、7棵青菜；走②有10个胡萝卜、8棵青菜；走③有11个胡萝卜、9棵青菜．故小白兔走③吃到的萝卜、青菜都最多．
综合题
16．五子连珠棋和象棋、围棋一样，深受广大棋友的喜爱，其规则是：在15×15的正方形棋盘中，由黑方先行，轮流弈子，在任一方向上连成五子者为胜．如图是两个五子棋爱好者甲和乙的对弈图(甲执黑子先行，乙执白子后走)，观察棋盘思考：若A点的位置记作(8，4)，甲必须在哪个位置上落子，才不会让乙在短时间内获胜？为什么？
解：甲必须在(1，7)或(5，3)处落子．因为若甲不首先截断以上两处之一，而让乙在(1，7)或(5，3)处落子，则不论截断何处，乙总有一处落子可连成五子，乙必胜无疑．
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7．1.2 平面直角坐标系
基础题
知识点1 认识平面直角坐标系
(1)在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系．水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点．过平面直角坐标系内的一点向x轴作垂线，垂足在x轴上的坐标就是这点的横坐标．过平面直角坐标系内的一点向y轴作垂线，垂足在y轴上的坐标就是这点的纵坐标．
(2)在坐标平面内，x轴和y轴把坐标平面分成四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限．各象限内点的坐标符号分别为(＋，＋)、(－，＋)、(－，－)、(＋，－)．坐标轴上的点不属于任何象限．x轴上的点的纵坐标为0，y轴上点的横坐标为0，原点坐标为(0，0)．
(3)坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的．
1．(2018·柳州期末)平面直角坐标系中，点(1，－2)在( D )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．(2018·钦州期末)下列的点在第二象限的是( B )
A．(2，3) B．(－2，3) C．(2，－3) D．(－2，－3)
3．(2017·广州荔湾区期中)若点P(x，5)在第二象限内，则x应是( B )
A．正数 B．负数 C．非负数 D．有理数
4．在平面直角坐标系中，点(0，－10)在( D )
A．x轴的正半轴上 B．x轴的负半轴上 C．y轴的正半轴上 D．y轴的负半轴上
5．已知点A(1，2)，AC⊥x轴于点C，则点C的坐标为( B )
A．(2，0) B．(1，0) C．(0，2) D．(0，1)
6．(2018·柳州)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(－2，3)．
7．(2017·广州荔湾区期末)若P(4，－3)，则点P到x轴的距离是3．
8．平面直角坐标系内有一点P(x，y)，若点P在横轴上，则y＝0；若点P在纵轴上，则x＝0；若点P为坐标原点，则x＝0且y＝0．
9．写出图中A，B，C，D，E，F，O各点的坐标．
解：观察图，得A(2，3)，B(3，2)，C(－2，1)，
D(－1，－2)，E(2.5，0)，F(0，－2)，O(0，0)．
知识点2 在平面直角坐标系中描点
10．在如图所示的平面直角坐标系中，描出下列各点，并将各点用线段依次连接起来．
(0，－4)，(3，－5)，(6，0)，(0，－1)，(－6，0)，(－3，－5)，(0，－4)．
解：如图．
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11．(教材P68探究变式)如图，将边长为1的正方形ABCD放在平面直角坐标系中，使点C的坐标为(，)．请建立平面直角坐标系，并写出其余各点的坐标．
解：如图，A(－，－)，B(，－)，D(－，)．
易错点 对平面直角坐标系内点的坐标的符号理解不清
12．若点P(a，b)在第二象限，则点M(b－a，a－b)在( D )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
中档题
13．(2018·北流期末)若m是任意实数，则点M(m2＋2，－2)在第( D )
A．一象限 B．二象限 C．三象限 D．四象限
14．(2017·钦州钦北区期末)点P(m＋3，m－1)在x轴上，则点P的坐标为( C )
A．(0，－2) B．(2，0) C．(4，0) D．(0，－4)
15．已知点M到x轴的距离为3，到y轴的距离为4.
(1)若点M位于第一象限，则其坐标为(4，3)；
(2)若点M位于x轴的上方，则其坐标为(4，3)或(－4，3)；
(3)若点M位于y轴的右侧，则其坐标为(4，3)或(4，－3)．
16．(2018·钦州模拟)如图，在平面直角坐标系中：A(1，1)，B(－1，1)，C(－1，－2)，D(1，－2)，现把一条长为2 018个单位长度且没有弹性的细线(线的粗细忽略不计)的一端固定在点A处，并按A→B→C→D→A→…的规律紧绕在四边形ABCD的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是(1，－1)．
17．如图是某台阶的一部分，如果点A的坐标为(0，0)，点B的坐标为(1，1)．
(1)请建立适当的平面直角坐标系，并写出点C，D，E，F的坐标；
(2)如果该台阶有10级，你能得到该台阶的高度吗？
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解：(1)以A点为原点，水平方向为x轴，建立平面直角坐标系．
所以C，D，E，F各点的坐标分别为C(2，2)，D(3，3)，E(4，4)，F(5，5)．
(2)每级台阶高为1，所以10级台阶的高度是10.
18．(2018·北流期末)如图，平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别为A(1，0)，B(5，0)，C(3，3)，D(2，4)，求四边形ABCD的面积．
解：作CE⊥x轴于点E，DF⊥x轴于点F.
则S△ADF＝×(2－1)×4＝2，S梯形DCEF＝×(3＋4)×(3－2)＝3.5，S△BCE＝×(5－3)×3＝3，
∴S四边形ABCD＝2＋3.5＋3＝8.5.
答：四边形ABCD的面积是8.5.
综合题
19．如图，A(－1，0)，C(1，4)，点B在x轴上，且AB＝3.
(1)求点B的坐标；
(2)求三角形ABC的面积；
(3)在y轴上是否存在点P，使以A，B，P三点为顶点的三角形的面积为10？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)当点B在点A的右边时，点B的坐标为(2，0)；
当点B在点A的左边时，点B的坐标为(－4，0)．
所以点B的坐标为(2，0)或(－4，0)．
(2)三角形ABC的面积为×3×4＝6.
(3)设点P到x轴的距离为h，则
×3h＝10，解得h＝.
①当点P在y轴正半轴时，点P的坐标为(0，)；
②当点P在y轴负半轴时，点P的坐标为(0，－)．
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综上所述，点P的坐标为(0，)或(0，－)．
7.2 坐标方法的简单应用
7．2.1 用坐标表示地理位置
基础题
知识点1 用坐标表示物体的位置
利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布情况平面图的过程如下：
(1)建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向；
(2)根据具体问题确定单位长度；
(3)在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称．
1．如图，若以解放公园为原点建立平面直角坐标系，则博物馆的坐标为( D )
A．(2，3) B．(0，3) C．(3，2) D．(2，2)
2．(教材P73探究变式)(2017·广州荔湾区期末)小米家位于公园的正东100米处，从小米家出发向北走250米就到小华家．若选取小华家为原点，分别以正东、正北方向为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系，则公园的坐标是( C )
A．(－250，－100) B．(100，250) C．(－100，－250) D．(250，100)
3．如图是某游乐城的平面示意图，用(8，2)表示入口处的位置，用(6，－1)表示球幕电影的位置，那么坐标原点表示的位置是( D )
A．太空秋千 B．梦幻艺馆 C．海底世界 D．激光战车
4．如图是某学校的示意图，若综合楼在点(－2，－1)，食堂在点(1，2)，则教学楼在点(－4，1)．
5．如图是利用网格画出的太原市地铁1，2，3号线路部分规划示意图，若建立适当的平面直角坐标系，表示双塔西街点的坐标为(0，－1)，表示桃园路的点的坐标为(－1，0)，则表示太原火车站的点(正好在网格点上)的坐标是(3，0)．
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知识点2 用方位角和距离表示物体的位置
利用方位角和距离表示平面内点的位置的过程如下：
(1)找到参照点；(2)在该点建立方向标；(3)根据方位角和距离表示出平面内的点．
6．海事救灾船前去救援某海域失火货轮，需要确定( C )
A．方位 B．距离 C．方位和距离 D．失火轮船的国籍
7．某次海战中敌我双方舰艇对峙示意图(图中1 cm代表20海里)如下，对我方潜艇O来说：
(1)北偏东40°的方向上有哪些目标？要想确定敌舰B的位置，还需要什么数据？
(2)距离我方潜艇20海里的敌舰有哪几艘？
(3)要确定每艘敌舰的位置，各需要几个数据？
解：(1)对我方潜艇来说，北偏东40°的方向上有两个目标，敌舰B和小岛．要想确定敌舰B的位置，还需要知道敌舰B距我方潜艇的距离．
(2)距离我方潜艇20海里的敌舰有两艘，敌舰A和敌舰C.
(3)要确定每艘敌舰的位置，各需要两个数据：距离和方位角．
中档题
8．(2018·柳州柳北区三模)如图，象棋盘上，若“帅”位于点(－1，－2)，“马”位于点(2，－2)，则“炮”位于点( B )
A．(－3，1) B．(0，0) C．(－1，0) D．(1，－1)
9．小李在平面直角坐标系中画了一张示意图，分别标出了学校、电影院、体育馆、超市的大致位置．如果张大妈从体育馆向南走150米，再向东走400米，再向南走250米，再向西走50米，最终到达的地点是( D )
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A．学校 B．电影院 C．体育馆 D．超市
10．(教材P75练习T2变式)如图，小刚在小明的北偏东60°方向的500 m处，则小明在小刚的南偏西60°方向的500 m处．(请用方向和距离描述小明相对于小刚的位置)
11．在一次寻宝游戏中，寻宝人找到了如图所示的两个标志，点A(2，3)，B(4，1)，这两个标志点到“宝藏”点的距离都是2，则“宝藏”点的坐标是(2，1)或(4，3)．
12．(2018·防城港期中)李老师到人民公园游玩，回到家后，他利用平面直角坐标系画出了公园的景区地图，如图所示．可是他忘记了在图中标出原点和x轴、y轴．只知道游乐园D的坐标为(2，－2)．
(1)请你帮李老师在图中建立平面直角坐标系；
(2)并求出所有景点的坐标．
解：(1)由题意可得，
建立的平面直角坐标系如图所示．
(2)由平面直角坐标系可知，
音乐台A的坐标为(0，4)，湖心亭B的坐标为(－3，2)，望春亭C的坐标为(－2，－1)，游乐园D的坐标为(2，－2)，牡丹园E的坐标为(3，3)．
13．如图是某动物园平面示意图的一部分(图中小正方形的边长代表100米)，请问：
(1)在大门东南方向有哪些景点？
(2)从大门向东走300米，再向北走200米，到达哪个景点？
(3)以大门为坐标原点，向东方向为x轴正方向，向北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系，写出蛇山、水族馆及大象馆的坐标．
解：(1)猴山，大象馆．
(2)蛇山．
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(3)如图，蛇山的坐标为(300，200)，水族馆的坐标为(500，0)，大象馆的坐标为(300，－300)．
综合题
14．如图，在平面内取一个定点O，叫做极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选定一个单位长度和角度的正方向(通常取逆时针方向)．对于平面内任何一点M，用ρ表示线段OM的长度，θ表示从Ox到OM的角度，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角，有序数对(ρ，θ)就叫做点M的极坐标．若ON⊥Ox，且点N到极点O的距离为4个单位长度，则点N的极坐标可表示为(4，90°).
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7.2.2 用坐标表示平移
基础题
知识点1 用坐标表示平移
在平面直角坐标系中，将点(x，y)向右(或左)平移a个单位长度，可以得到对应点(x＋a，y)(或(x－a，y))；将点(x，y)向上(或下)平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y＋b)(或(x，y－b))．
1．在平面直角坐标系中，将点(2，3)向上平移1个单位长度，所得到的点的坐标是( C )
A．(1，3) B．(2，2) C．(2，4) D．(3，3)
2．在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，2)，将点A向右平移3个单位长度后得到点A′，则点A′的坐标是( D )
A．(－2，2) B．(1，5) C．(1，－1) D．(4，2)
3．如果一个图案沿x轴负方向平移3个单位长度，那么这个图案上的点的坐标变化为( B )
A．横坐标不变，纵坐标减少3个单位长度 B．纵坐标不变，横坐标减少3个单位长度
C．横、纵坐标都没有变化 D．横、纵坐标都减少3个单位长度
4．点P(－2，－3)向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，则所得到的点的坐标为( A )
A．(－3，0) B．(－1，6) C．(－3，－6) D．(－1，0)
5．(2018·防城港期末)在平面直角坐标系中，将点P(3，－2)向下平移4个单位长度，得到点P的坐标为( B )
A．(－1，－2) B．(3，－6) C．(7，－2) D．(3，－2)
6．(2018·玉林陆川县期末)将点A(1，1)先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点B，则点B的坐标是(－1，－2)．
知识点2 根据坐标变化确定图形平移的方向和距离
在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度．
7．(2018·南宁马山县期末)点N(－1，3)可以看作由点M(－1，－1)( A )
A．向上平移4个单位长度所得到的 B．向左平移4个单位长度所得到的
C．向下平移4个单位长度所得到的 D．向右平移4个单位长度所得到的
8．在平面直角坐标系中，将三角形各点的横坐标都减去3，纵坐标保持不变，所得图形与原图相比( B )
A．向右平移了3个单位长度 B．向左平移了3个单位长度
C．向上平移了3个单位长度 D．向下平移了3个单位长度
知识点3 利用坐标画平移后的图形
9．(2017·柳州期末)已知点A(4，3)，B(3，1)，C(1，2)．
(1)在平面直角坐标系中分别描出A，B，C三点，并顺次连接成三角形ABC；
(2)将三角形ABC向左平移6个单位长度，再向下平移5个单位长度得到三角形A1B1C1，画出三角形A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标．
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解：(1)如图所示，三角形ABC即为所求．
(2)如图所示，三角形A1B1C1即为所求．由图可得，A1(－2，－2)，B1(－3，－4)，C1(－5，－3)．
易错点 混淆点的平移与坐标系的平移
10．已知坐标平面内的点A(－2，5)，若将平面直角坐标系先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，则点A在平移后的坐标系中的坐标是(－5，1)．
中档题
11．(2017·大连)在平面直角坐标系xOy中，线段AB的两个端点坐标分别为A(－1，－1)，B(1，2)，平移线段AB，得到线段A′B′，已知A′的坐标为(3，－1)，则点B′的坐标为( B )
A．(4，2) B．(5，2) C．(6，2) D．(5，3)
12．已知长方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，将长方形ABCD沿x轴向左平移到使点C与坐标原点重合后，再沿y轴向下平移到使点D与坐标原点重合，此时点A的坐标是(－5，0)，点B的坐标是(－5，－3)，点C的坐标是(0，－3)．
13．如图，已知三角形ABC三点的坐标分别为A(－3，4)，B(－4，1)，C(－1，2)．
(1)说明三角形ABC平移到三角形A1B1C1的过程，并求出点A1，B1，C1的坐标；
(2)由三角形ABC平移到三角形A2B2C2又是怎样平移的？并求出点A2，B2，C2的坐标．
解：(1)三角形ABC向下平移7个单位长度得到三角形A1B1C1.A1(－3，－3)，B1(－4，－6)，C1(－1，－5)．
(2)三角形ABC向右平移6个单位长度，再向下平移3个单位长度得三角形A2B2C2.A2(3，1)，B2(2，－2)，C2(5，－1)．
14．(2017·玉林陆川县期末)如图，点A，B的坐标分别为(1，0)，(0，2)，若将线段AB平移到A1B1，点A1，B1的坐标分别为(2，a)，(b，3)，试求a2－2b的值．
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解：∵A(1，0)，A1(2，a)，B(0，2)，B1(b，3)，
∴平移方法为向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度．
∴a＝0＋1＝1，b＝0＋1＝1.
∴a2－2b＝12－2×1＝1－2＝－1.
15．如图，在平面直角坐标系中，点D的坐标是(－3，1)，点A的坐标是(4，3)．
(1)点B和点C的坐标分别是(3，1)，(1，2)；
(2)将三角形ABC平移后使点C与点D重合，点A，B与点E，F重合，画出三角形DEF，并直接写出点E，F的坐标；
(3)若AB上的点M的坐标为(x，y)，则平移后的对应点M′的坐标为(x－4，y－1)．
解：如图，三角形DEF即为所求．
点E的坐标为(0，2)，点F的坐标为(－1，0)．
综合题
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，对正方形ABCD及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标都乘同一实数a，将得到的点先向右平移m个单位长度，再向上平移n个单位长度(m>0，n>0)，得到正方形A′B′C′D′及其内部的点，其中点A，B的对应点分别为A′，B′.已知正方形ABCD内部的一个点F经过上述操作后得到的对应点F′与点F重合，求点F的坐标．
解：易知AB＝6，A′B′＝3，
∴a＝.
由(－3)×＋m＝－1，得
m＝.
由0×＋n＝2，得n＝2.
设F(x，y)，变换后F′(ax＋m，ay＋n)．
∵F与F′重合，
∴ax＋m＝x，ay＋n＝y.
∴x＋＝x，y＋2＝y.
解得x＝1，y＝4.
∴点F的坐标为(1，4)．
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小专题(三) 在平面直角坐标系中计算图形的面积
——教材P80T9的变式与应用
教材母题(教材P80T9)：如图，三角形AOB中，A，B两点的坐标分别为(2，4)，(6，2)，求三角形AOB的面积．
【解答】 过点A，B分别作y轴、x轴的垂线AE，BF，垂足分别为E，F，CE，CF相交于点C.
S长方形OECF＝4×6＝24，
S三角形AOE＝×4×2＝4，
S三角形BOF＝×6×2＝6，
S三角形ABC＝×4×2＝4，
S三角形AOB＝S长方形OECF－S三角形AOE－S三角形BOF－S三角形ABC＝24－4－6－4＝10.
在平面直角坐标系中计算三角形的面积时，若三角形的底和高不能直接求出，可运用割补法将三角形的面积转化成直接求解的图形的面积之和或差来计算．
变式1 三角形的一边在坐标轴上
1．如图，三角形ABC的三个顶点的坐标分别是A(4，0)，B(－2，0)，C(2，4)，求三角形ABC的面积．
解：因为A(4，0)，B(－2，0)，
所以AB＝4－(－2)＝6.
因为C(2，4)，
所以C点到x轴的距离为4，即AB边上的高为4.
所以三角形ABC的面积为×6×4＝12.
2．(2017·广州荔湾区期末)如图，小方格边长为1个单位长度．
(1)请写出三角形ABC各点的坐标；
(2)求出S三角形ABC；
(3)若把三角形ABC向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度得到三角形A′B′C′，在图中画出三角形A′B′C′.
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解：(1)A(－2，3)，B(1，0)，C(5，0)．
(2)∵BC＝5－1＝4，点A到BC的距离为3，
∴S三角形ABC＝×4×3＝6.
(3)三角形A′B′C′如图所示．
变式2 三角形的一边与坐标轴平行
3．如图，三角形ABC三个顶点的坐标分别为A(1，－1)，B(5，－1)，C(3，3)，求三角形ABC的面积．
解：因为A，B两点的纵坐标相同，所以AB∥x轴．
所以AB＝5－1＝4.
作AB边上的高CD，则D点的纵坐标为－1，
所以CD＝3－(－1)＝4，
所以三角形ABC的面积为×4×4＝8.
变式3 求四边形的面积
4．(2017·广州期中四校联考)如图，在平面直角坐标系中，点A(4，0)，B(3，4)，C(0，2)，则四边形ABCO的面积S＝11．
5．(2017·南宁马山县期末)已知点O(0，0)，B(1，2)．
(1)若点A在y轴的正半轴上，且三角形OAB的面积为2，求点A的坐标；
(2)若点A(3，0)，BC∥OA，BC＝OA，求点C的坐标；
(3)若点A(3，0)，点D(3，－4)，求四边形ODAB的面积．
解：(1)∵点A在y轴的正半轴上，∴可设A(0，m)．
∵三角形OAB的面积为2，
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∴·m×1＝2，
∴m＝4.∴A(0，4)．
(2)∵A(3，0)，∴OA＝3.
∵BC∥OA，BC＝OA，B(1，2)，
∴C(4，2)或(－2，2)．
(3)如图，S四边形ODAB＝S三角形ABO＋S三角形OAD
＝×3×2＋×3×4＝9.
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小专题(四) 平面直角坐标系中的规律探索
【例】 如图，在平面直角坐标系中，有若干个横纵坐标分别为整数的点，其顺序为(1，0)，(2，0)，(2，1)，(1，1)，(1，2)，(2，2)，…，根据这个规律，第2 018个点的坐标为( C )
A．(45，9) B．(45，11) C．(45，7) D．(46，0)
【思路点拨】 将其左侧相连，看作正方形边上的点，分析边上点的个数得出规律“边长为n的正方形有2n＋1个点”，将边长为n的正方形边上的点与内部点相加得出共有(n＋1)2个点，由此规律结合图形的特点可以找出第2 018个点的坐标．
平面直角坐标系中求点的坐标时，要根据点的运动方式找出点的坐标的变化规律，进而得出点的坐标．
1．(2017·广州荔湾区期中)如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x轴或y轴平行．从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用A1，A2，A3，A4，…表示，则顶点A55的坐标是( C )
A．(13，13) B．(－13，－13) C．(14，14) D．(－14，－14)
2．如图，在平面直角坐标系上有点A(1，0)，点A第一次跳动至点A1(－1，1)，第二次向右跳动3个单位长度后至点A2(2，1)，第三次跳动到点A3(－2，2)，第四次向右跳动5个单位长度至点A4(3，2)，…，依此规律跳动下去，点A第100次跳动至点A100的坐标是( C )
A．(50，50) B．(51，51) C．(51，50) D．(50，59)
3．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向不断地移动，每次移动1个单位长度，得到点A1(0，1)，A2(1，1)，A3(1，0)，A4(2，0)，…，那么点A2 019的坐标为(1__009，0)．
4．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示的方向运动，第1次从原点运动到点(1，1)，第2次接着运动到点(2，0)，第3次接着运动到点(3，2)，…，按这样的运动规律，经过2 019次运动后，动点P的坐标为
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(2__019，2)．
5．(2017·钦州钦南区期末)在平面直角坐标系xOy中，对于点P(x，y)，我们把点P′(－y＋1，x＋1)叫做点P的伴随点．已知点A1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，点A3的伴随点为A4，…，这样依次得到点A1，A2，A3，…，An.若点A1的坐标为(3，1)，则点A3的坐标为(－3，1)，点A2 015的坐标为(－3，1)．
6．如图，点A0(0，0)，A1(1，2)，A2(2，0)，A3(3，－2)，A4(4，0)，….根据这个规律，探究可得点A2 019的坐标是(2__019，－2)．
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章末复习(三) 平面直角坐标系
分点突破
知识点1 有序数对
1．(2017·柳州期末)如果用(7，1)表示七年级一班，那么八年级五班可表示成(8，5)．
2．我们规定向东和向北方向为正，若向东走4 m，向北走 6 m，记为(4，6)，则向西走5 m，向北走3 m，记为(－5，3)，数对(－2，－6)表示向西走2__m，向南走6__m．
知识点2 平面直角坐标系
3．(2017·广州荔湾区期末)下列各点中，在第二象限的点是( A )
A．(－1，4) B．(1，－4) C．(－1，－4) D．(1，4)
4．(2018·防城港期末)在平面直角坐标系中，点P(3，4)位于( A )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．在平面直角坐标系中，若点A(3，m－2)在x轴上，则m＝2．
知识点3 用坐标表示地理位置
6．象棋在中国有着三千多年的历史，属于二人对抗性游戏的一种．由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的棋艺活动．如图是一方的棋盘，如果“帅”的坐标是(0，1)，“卒”的坐标是(2，2)，那么“马”的坐标是( C )
A．(－2，1) B．(2，－2) C．(－2，2) D．(2，2)
7．如图是某校的平面示意图，已知图书馆、行政楼的坐标分别为(－3，2)，(2，3)．完成以下问题：
(1)请根据题意在图上建立平面直角坐标系；
(2)写出图上其他地点的坐标；
(3)在图中用点P表示体育馆(－1，－3)的位置．
解：(1)如图所示．
(2)由(1)中的平面直角坐标系可得，校门口的坐标是(1，0)，信息楼的坐标是(1，－2)，综合楼的坐标是(－5，－3)，实验楼的坐标是(－4，0)．
(3)如图所示．
知识点4 用坐标表示平移
8．(2017·黔东南)在平面直角坐标系中有一点A(－2，1)，将点A先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，则平移后点A的坐标为(1，－1)．
9．(2017·广州荔湾区期中)如图，三角形ABC的顶点都在网格点上，其中C点坐标为(1，2)．
(1)将三角形ABC先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到三角形A′B′C′，画出三角形A′B′C′，则三个顶点的坐标分别是A′(0，0)，B′(2，4)，C′(－1，3)；
(2)求三角形ABC的面积．
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解：(1)三角形A′B′C′如图所示．
(2)S三角形ABC＝3×4－×1×3－×2×4－×1×3
＝12－1.5－4－1.5
＝5.
易错题集训
10．点M在y轴的左侧，到x轴、y轴的距离分别是3和5，则点M的坐标是(－5，3)或(－5，－3)．
11.(2018·玉州区期末)已知直线AB∥x轴，点A的坐标为(1，2)，并且线段AB＝3，则点B的坐标为(4，2)或(－2，2)．
常考题型演练
12．(2018·防城港期中)点P在第二象限，若该点到x轴的距离为3，到y轴的距离为1，则点P的坐标是( A )
A．(－1，3) B．(－3，1) C．(3，－1) D．(1，3)
13．(2018·来宾期末)点P在x轴上，且到y轴的距离为5，则点P的坐标是( C )
A．(5，0) B．(0，5) C．(5，0)或(－5，0) D．(0，5)或(0，－5)
14．(2017·广州南沙区期末)已知点P(x，y)在第二象限，且x2＝4，|y|＝7，则点P的坐标是( D )
A．(2，－7) B．(－4，7) C．(4，－7) D．(－2，7)
15．(2018·贵港平南县二模)若点N在第一、三象限的角平分线上，且点N到y轴的距离为2，则点N的坐标是( C )
A．(2，2) B．(－2，－2) C．(2，2)或(－2，－2) D．(－2，2)或(2，－2)
16．(2017·邵阳)如图，三架飞机P，Q，R保持编队飞行，某时刻在坐标系中的坐标分别为(－1，1)，(－3，1)，(－1，－1).30秒后，飞机P飞到P′(4，3)位置，则飞机Q，R的位置Q′，R′分别为( A )
A．Q′(2，3)，R′(4，1) B．Q′(2，3)，R′(2，1)
C．Q′(2，2)，R′(4，1) D．Q′(3，3)，R′(3，1)
17．(2018·玉林玉州区期末)如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1，O2，O3，…，组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2 019秒时，点P的坐标是( C )
A．(2 018，0) B．(2 019，1) C．(2 019，－1) D．(2 020，0)
18．(2018·北海期末)如图所示的围棋盘放在平面直角坐标系内，黑棋A的坐标为(1，2)，那么白棋B的坐标是
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(－1，－2)．
19．(2017·广州南沙区期末)在平面直角坐标系中，以任意两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)为端点的线段的中点坐标为(，)．现有A(3，4)，B(1，8)，C(－2，6)三点，点D为线段AB的中点，点C为线段AE的中点，则线段DE的中点坐标为(－，7)．
20．(2017·南宁马山县期末)已知三角形A′B′C′是由三角形ABC经过平移得到的，它们各顶点在平面直角坐标系中的坐标如下表所示：
三角形ABC
A(a，0)
B(3，0)
C(5，5)
三角形A′B′C′
A′(4，2)
B′(7，b)
C′(c，7)
(1)观察表中各对应点坐标的变化，并填空：a＝0，b＝2，c＝9；
(2)在平面直角坐标系中画出三角形ABC及平移后的三角形A′B′C′；
(3)直接写出三角形A′B′C′的面积是．
解：如图所示．
21．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A(a，0)，B(b，0)，且a，b满足|a＋2|＋＝0，点C的坐标为(0，3)．
(1)求a，b的值及S三角形ABC；
(2)若点M在x轴上，且S三角形ACM＝S三角形ABC，试求点M的坐标．
解：(1)∵|a＋2|＋＝0，
∴a＋2＝0，b－4＝0.
∴a＝－2，b＝4.
∴点A(－2，0)，点B(4，0)．
又∵点C(0，3)，∴AB＝|－2－4|＝6，CO＝3.
∴S三角形ABC＝AB·CO＝×6×3＝9.
(2)设点M的坐标为(x，0)，
则AM＝|x－(－2)|＝|x＋2|.
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又∵S三角形ACM＝S三角形ABC，
∴AM·OC＝×9.∴|x＋2|×3＝3.
∴|x＋2|＝2，即x＋2＝±2.
解得x＝0或－4.
故点M的坐标为(0，0)或(－4，0)．
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