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第五章 相交线与平行线
5．1 相交线
5．1.1 相交线
基础题
知识点1 认识邻补角和对顶角
(1)有一条公共边，另一边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角互为邻补角．
(2)有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角互为对顶角．
1．(2018·贺州)如图，下列各组角中，互为对顶角的是( A )
A．∠1和∠2 B．∠1和∠3 C．∠2和∠4 D．∠2和∠5
2．下面四个图形中，∠1与∠2是邻补角的是( D )
3．如图，AB与CD相交所成的四个角中，∠1的邻补角是∠2，∠4，∠1的对顶角是∠3．
知识点2 邻补角和对顶角的性质
(1)互为邻补角的两个角相加等于180°．
(2)对顶角相等．
4．(2017·河池)如图，点O在直线AB上，若∠BOC＝60°，则∠AOC的大小是( C )
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A．60° B．90° C．120° D．150°
5．(2018·钦州期末)如图，已知∠1＝120°，则∠2的度数是( A )
A．120° B．90° C．60° D．30°
6．(教材P9复习题T9变式)如图，测角器测得工件(圆台)的角度是40度，其测量角的原理是对顶角相等．
7．在括号内填写依据：
如图，因为直线a，b相交于点O，
所以∠1＋∠3＝180°(邻补角互补)，
∠1＝∠2(对顶角相等)．
8．如图，直线AB，CD相交于点O，∠EOC＝70°，OA平分∠EOC，求∠BOD的度数．
解：因为OA平分∠EOC，∠EOC＝70°，
所以∠AOC＝∠EOC＝35°.
所以∠BOD＝∠AOC＝35°.
易错点1 对对顶角的性质理解不透彻而判断失误
9．下列说法正确的有( B )
①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角；④若两个角不是对顶角，则这两个角不相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
易错点2 未给出图形，考虑不全而致错
10．两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是(2x－10)°和(110－x)°，则x＝40或80．
中档题
11．如图，三条直线l1，l2，l3相交于一点，则∠1＋∠2＋∠3＝( C )
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A．90° B．120° C．180° D．360°
12．如图，直线AB和CD相交于点O.若∠AOD与∠BOC的和为236°，则∠AOC的度数为( A )
A．62° B．118° C．72° D．59°
13．(2018·揭阳揭西县期末)如图所示，直线AB与CD相交于点O，OE平分∠BOC.若∠BOE＝60°，则∠AOC的度数为( A )
A．60° B．30° C．120° D．45°
14．如图，已知直线AB，CD，EF相交于点O.
(1)∠AOD的对顶角是∠BOC，
∠EOC的对顶角是∠DOF；
(2)∠AOC的邻补角是∠AOD和∠BOC，
∠EOB的邻补角是∠EOA和∠BOF．
15．如图，直线a，b，c两两相交，∠1＝80°，∠2＝2∠3，则∠4＝140°．
16．如图，直线a，b相交于点O，已知3∠1－∠2＝100°，则∠3＝130°．
17．如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOE＝∠BOE，OB平分∠DOF.若∠DOE＝50°，求∠DOF的度数．
解：因为∠AOE＝∠BOE，且∠AOE＋∠BOE＝180°，
所以∠AOE＝∠BOE＝90°.
因为∠DOE＝50°，
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所以∠DOB＝∠BOE－∠DOE＝40°.
因为OB平分∠DOF，
所以∠DOF＝2∠DOB＝80°.
18．如图，l1，l2，l3交于点O，∠1＝∠2，∠3∶∠1＝8∶1，求∠4的度数．
解：设∠1＝∠2＝x°，则∠3＝8x°.
由∠1＋∠2＋∠3＝180°，得
10x＝180.解得x＝18.
所以∠1＝∠2＝18°.
所以∠4＝∠1＋∠2＝36°.
综合题
19．探究题：
(1)三条直线相交，最少有1个交点，最多有3个交点，分别画出图形，并数出图形中的对顶角和邻补角的对数；
(2)四条直线相交，最少有1个交点，最多有6个交点，分别画出图形，并数出图形中的对顶角和邻补角的对数；
(3)依次类推，n条直线相交，最少有1个交点，最多有个交点，对顶角有n(n－1)对，邻补角有2n(n－1)对．
解：(1)图略，对顶角有6对，邻补角有12对．
(2)图略，对顶角有12对，邻补角有24对．
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5.1.2 垂线
基础题
知识点1 认识垂直
如果两条直线相交所成的四个角中的任意一个角等于90°，那么这两条直线互相垂直．其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
1．如图，OA⊥OB，若∠1＝55°，则∠2＝( A )
A．35° B．40° C．45° D．60°
2．(2018·来宾期末)如图，AB⊥CD于点O，EF为经过点O的一条直线，那么∠1与∠2的关系是( C )
A．互为对顶角 B．互补 C．互余 D．相等
3．如图，已知直线AB，CD，EF相交于点O，AB⊥CD，∠DOE＝127°，求∠AOF的大小．
解：因为AB⊥CD，
所以∠DOB＝90°.
又因为∠DOE＝127°，
所以∠BOE＝∠DOE－∠DOB
＝127°－90°＝37°.
所以∠AOF＝∠BOE＝37°.
知识点2 画垂线
4．下列各图中，过直线l外一点P画l的垂线CD，三角板操作正确的是( D )
知识点3 垂线的性质
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(1)在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
(2)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．
5．(2017·柳州)如图，经过直线l外一点A画l的垂线，能画出( A )
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
6．(2018·佛山顺德区期末)如图是小希同学跳远时沙坑的示意图，测量成绩时先用皮尺从后脚印的点A处垂直拉至起跳线l的点B处，然后记录AB的长度，这样做的理由是( C )
A．两点之间线段最短 B．过两点有且只有一条直线
C．垂线段最短 D．过一点可以作无数条直线
7．下面可以得到在如图所示的直角三角形中斜边最长的原理是( D )
A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短
C．过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 D．垂线段最短
8．下列说法正确的有( C )
①在平面内，过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线；
②在平面内，过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线；
③在平面内，可以过任意一点画一条直线垂直于已知直线；
④在平面内，有且只有一条直线垂直于已知直线．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
知识点4 点到直线的距离
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
9．(2017·北京)如图所示，点P到直线l的距离是( B )
A．线段PA的长度 B．线段PB的长度 C．线段PC的长度 D．线段PD的长度
易错点 未给出图形，考虑不周全致错
10．已知OA⊥OC，过点O作射线OB，且∠AOB＝30°，则∠BOC的度数为120°或60°．
中档题
11
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．在数学课上，同学们在练习过点B作线段AC所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形，请你数一数，错误的有( D )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．已知直线AB，CB，l在同一平面内，若AB⊥l，垂足为B，CB⊥l，垂足也为B，则符合题意的图形可以是( C )
13．如图所示，下列说法不正确的是( C )
A．点B到AC的垂线段是线段AB B．点C到AB的垂线段是线段AC
C．线段AD是点D到BC的垂线段 D．线段BD是点B到AD的垂线段
14．(2018·贵港港南区期末)点P是直线l外一点，A，B，C为直线l上的三点，PA＝4 cm，PB＝5 cm，PC＝2 cm，则点P到直线l的距离( C )
A．小于2 cm B．等于2 cm C．不大于2 cm D．等于4 cm
15．如图，当∠1与∠2满足条件∠1＋∠2＝90°时，OA⊥OB.
16．如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM.若∠AOM＝35°，则∠CON的度数为55°．
17．如图，已知DO⊥CO，∠1＝36°，∠3＝36°.
(1)求∠2的度数；
(2)AO与BO垂直吗？说明理由．
解：(1)因为DO⊥CO，所以∠DOC＝90°.
因为∠1＝36°，所以∠2＝90°－36°＝54°.
(2)AO⊥BO.理由如下：
因为∠3＝36°，∠2＝54°，
所以∠3＋∠2＝90°.
所以AO⊥BO.
18．如图，两直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC∶∠AOD＝7∶11.
(1)求∠COE的度数；
(2)若OF⊥OE，求∠COF的度数．
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解：(1)因为∠AOC∶∠AOD＝7∶11，∠AOC＋∠AOD＝180°，
所以∠AOC＝70°，∠AOD＝110°.
所以∠BOD＝∠AOC＝70°，
∠BOC＝∠AOD＝110°.
又因为OE平分∠BOD，
所以∠BOE＝∠DOE＝∠BOD＝35°.
所以∠COE＝∠BOC＋∠BOE＝110°＋35°＝145°.
(2)因为OF⊥OE，所以∠FOE＝90°.
所以∠FOD＝∠FOE－∠DOE＝90°－35°＝55°.
所以∠COF＝180°－∠FOD＝180°－55°＝125°.
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5.1.3 同位角、内错角、同旁内角
基础题
知识点 认识同位角、内错角、同旁内角
如图，直线AB，CD与EF相交．
(1)图中∠1和∠2分别在直线AB，CD的同一方(或上方)，并且都在直线EF的同侧(或右侧)，具有这样位置关系的一对角叫做同位角；
(2)图中∠2和∠8都在直线AB，CD之间，并且分别在直线EF的两侧，具有这样位置关系的一对角叫做内错角；
(3)图中∠2和∠7都在直线AB，CD之间，且都在直线EF的同一旁(或右侧)，具有这样位置关系的一对角叫做同旁内角．
1．(2017·玉林)如图，直线a，b被c所截，则∠1与∠2是( B )
A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．邻补角
2．(2017·柳州期末)如图，与∠1是同位角的是( C )
A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
3．如图，与∠1是同旁内角的是( D )
A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
4．(2018·广州)如图，直线AD，BE被直线BF和AC所截，则∠1的同位角和∠5的内错角分别是( B )
A．∠4，∠2 B．∠2，∠6 C．∠5，∠4 D．∠2，∠4
5．如图，下列说法错误的是( D )
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A．∠A与∠EDC是同位角 B．∠A与∠ABF是内错角
C．∠A与∠ADC是同旁内角 D．∠A与∠C是同旁内角
6．如图，若∠1＝∠2，则在①∠3和∠2；②∠4和∠2；③∠3和∠6；④∠4和∠8中，相等的有( C )
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
7．看图填空：
(1)∠1和∠3是直线AB，BC被直线AC所截得的同旁内角；
(2)∠1和∠4是直线AB，BC被直线AC所截得的同位角；
(3)∠B和∠2是直线AB，AC被直线BC所截得的同位角；
(4)∠B和∠4是直线AC，BC被直线AB所截得的内错角．
8．如图，如果∠2＝100°，那么∠1的同位角等于80°，∠1的内错角等于80°，∠1的同旁内角等于100°．
中档题
9．(2018·华南师大附中月考)在下列四个图中，∠1与∠2是同位角的图是( B )
图① 图② 图③ 图④
A．①② B．①③ C．②③ D．③④
10．如图，属于内错角的是( D )
A．∠1和∠2 B．∠2和∠3 C．∠1和∠4 D．∠3和∠4
11．如图，下列说法错误的是( B )
A．∠A和∠C是同旁内角 B．∠1和∠3是同位角
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C．∠2和∠3是内错角 D．∠3和∠B是同旁内角
12．如图，∠ABC与∠EAD是同位角；∠ADB与∠DBC，∠EAD是内错角；∠ABC与∠DAB，∠BCD是同旁内角．
13．根据图形填空：
(1)若直线ED，BC被直线AB所截，则∠1和∠2是同位角；
(2)若直线ED，BC被直线AF所截，则∠3和∠4是内错角；
(3)∠1和∠3是直线AB，AF被直线ED所截构成的内错角；
(4)∠2和∠4是直线AB，AF被直线BC所截构成的同位角．
14．根据图形说出下列各对角是什么位置关系？
(1)∠1和∠2；(2)∠1和∠7；(3)∠3和∠4；
(4)∠4和∠6；(5)∠5和∠7.
解：(1)∠1和∠2是同旁内角；
(2)∠1和∠7是同位角；
(3)∠3和∠4是内错角；
(4)∠4和∠6是同旁内角；
(5)∠5和∠7是内错角．
15．如图，如果内错角∠1与∠5相等，那么与∠1相等的角还有吗？与∠1互补的角有吗？如果有，请写出来，并说明你的理由．
解：∠1＝∠2，与∠1互补的角有∠3和∠4.
理由：因为∠1＝∠5，∠5＝∠2，所以∠1＝∠2.
因为∠1＝∠5，且∠5与∠3或∠4互补，
所以与∠1互补的角有∠3和∠4.
综合题
16．探究题：
(1)如图1，两条水平的直线被一条竖直的直线所截，同位角有4对，内错角有2对，同旁内角有2对；
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图1 图2
(2)如图2，三条水平的直线被一条竖直的直线所截，同位角有12对，内错角有6对，同旁内角有6对；
(3)根据以上探究的结果，n(n为大于1的整数)条水平直线被一条竖直直线所截，同位角有2n(n－1)对，内错角有n(n－1)对，同旁内角有n(n－1)对．(用含n的式子表示)
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5.2 平行线及其判定
5．2.1 平行线
基础题
知识点1 认识平行
在同一平面内，两条不相交的直线互相平行．
1．下列说法中，正确的是( D )
A．平面内，没有公共点的两条线段平行 B．平面内，没有公共点的两条射线平行
C．没有公共点的两条直线互相平行 D．互相平行的两条直线没有公共点
2．在同一平面内的两条不重合的直线的位置关系( C )
A．有两种：垂直或相交 B．有三种：平行，垂直或相交
C．有两种：平行或相交 D．有两种：平行或垂直
3．在同一平面内，直线a与b满足下列条件，把它们的位置关系填在后面的横线上．
(1)a与b没有公共点，则a与b平行；
(2)a与b有且只有一个公共点，则a与b相交；
(3)a与b有两个及以上公共点，则a与b重合．
4．如图，完成下列各题：
(1)用直尺在网格中完成：①画出直线AB的一条平行线；②经过点C画直线垂直于CD；
(2)用符号表示上面①、②中的平行、垂直关系．
解：(1)如图所示．
(2)EF∥AB，MC⊥CD.
知识点2 平行公理及其推论
(1)经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
(2)如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，即：如果a∥b，b∥c，那么a∥c.
5．若直线a∥b，b∥c，则a∥c的依据是( D )
A．平行公理 B．等量代换 C．等式的性质 D．平行于同一条直线的两条直线平行
6．点P，Q都是直线l外的点，下列说法正确的是( D )
A．连接PQ，则PQ一定与直线l垂直 B．连接PQ，则PQ一定与直线l平行
C．连接PQ，则PQ一定与直线l相交 D．过点P只能画一条直线与直线l平行
7．如图，PC∥AB，QC∥AB，则点P，C，Q在一条直线上．理由是经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
8．如图，P，Q分别是直线EF外两点．
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(1)过点P画直线AB∥EF，过点Q画直线CD∥EF；
(2)AB与CD有怎样的位置关系？为什么？
解：(1)如图．
(2)AB∥CD.
理由：因为AB∥EF，CD∥EF，
所以AB∥CD.
易错点 对平行线的有关概念及公理理解不清
9．(2017·玉林北流市期中)下列说法中，正确的有( A )
①过一点有无数条直线与已知直线平行；
②经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；
③如果两条线段不相交，那么它们就平行；
④如果两条直线不相交，那么它们就平行．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
中档题
10．如图，AB∥CD，EF∥AB，AE∥MN，BF∥MN，由图中字母标出的互相平行的直线共有( C )
A．4组 B．5组 C．6组 D．7组
11．如图，因为直线AB，CD相交于点P，AB∥EF，所以CD不平行于EF.理由是经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
12．在同一平面内，一条直线和两条平行线中的一条直线相交，那么这条直线与平行线中的另一条直线必相交．
13．(教材P17习题T11变式)观察下图所示的长方体，回答下列问题．
(1)用符号表示两棱的位置关系：A1B1∥AB，AA1⊥AB，A1D1⊥C1D1，AD∥BC；
(2)AB与B1C1所在的直线不相交，它们不是平行线(填“是”或“不是”)．由此可知，在同一平面内，两条不相交的直线才是平行线．
14．如图，在∠AOB内有一点P.
(1)过点P画l1∥OA；
(2)过点P画l2∥OB；
(3)用量角器量一量l1与l2相交的角与∠O的大小有怎样的关系．
解：(1)(2)如图所示．
(3)l1与l2的夹角有两个：∠1，∠2.
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量得∠1＝∠O，∠2＋∠O＝180°，
所以l1与l2的夹角与∠O相等或互补．
15．如图，取一张长方形的硬纸板ABCD，将硬纸板ABCD对折使CD与AB重合，EF为折痕．把长方形ABFE平放在桌面上，另一个面CDEF无论怎么改变位置总有CD∥AB存在，你知道为什么吗？
解：因为AB∥EF，CD∥EF，
所以CD∥AB.
综合题
16．利用直尺画图：
(1)利用图1中的网格，过点P画直线AB的平行线和垂线；
(2)在图2的网格中画一个四边形，满足：①两组对边互相平行；②任意两个顶点都不在一条网格线上；③四个顶点都在格点上．
解：(1)如图所示．CD∥AB，PQ⊥AB.
(2)如图所示．四边形ABCD是符合条件的四边形．
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5.2.2 平行线的判定
基础题
知识点1 同位角相等，两直线平行
1．(2017·玉林陆川县期末)如图，给出了过直线外一点画已知直线的平行线的方法，其依据是( A )
A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等
2．(2017·绥化)如图，直线AB，CD被直线EF所截，∠1＝55°，下列条件中能判定AB∥CD的是( C )
A．∠2＝35° B．∠2＝45° C．∠2＝55° D．∠2＝125°
3．(教材P21例2变式)已知a，b，c为平面内三条不同的直线，若a⊥b，c⊥b，则a与c的位置关系是平行．
4．如图，∠3与∠1互余，∠3与∠2互余．试说明：AB∥CD.
解：∵∠3与∠1互余，∠3与∠2互余，
∴∠1＝∠2.
∴AB∥CD(同位角相等，两直线平行)．
知识点2 内错角相等，两直线平行
5．(2018·深圳龙岗区一模)如图，能判定AB∥CD的条件是( A )
A．∠A＝∠ACD B．∠A＝∠DCE C．∠B＝∠ACB D．∠B＝∠ACD
6．如图，请在括号内填上正确的理由：
∵∠DAC＝∠C(已知)，
∴AD∥BC(内错角相等，两直线平行)．
7．如图，∠BAD＝∠DCB，∠BAC＝∠DCA，试说明：AD∥BC.
解：∵∠BAD＝∠DCB，∠BAC＝∠DCA(已知)，
∴∠BAD－∠BAC＝∠DCB－∠DCA(等式的性质)，
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即∠DAC＝∠BCA．
∴AD∥BC(内错角相等，两直线平行)．
知识点3 同旁内角互补，两直线平行
8．如图，已知∠1＝70°，要使AB∥CD，则须具备的另一个条件是( C )
A．∠2＝70° B．∠2＝100° C．∠2＝110° D．∠3＝110°
9．如图，装修工人向墙上钉木条．若∠2＝100°，要使木条b与a平行，则∠1的度数等于80°．
10．如图，已知∠ACD＝70°，∠ACB＝60°，∠ABC＝50°.试说明：AB∥CD.
解：∵∠ACD＝70°，∠ACB＝60°，
∴∠BCD＝130°.
∵∠ABC＝50°，
∴∠BCD＋∠ABC＝180°.
∴AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)．
易错点 不能准确识别截线与被截线，从而误判两直线平行
11．(教材P36复习题T8(1)变式)(2018·贵港桂平期末)如图，点E在AC的延长线上，有下列条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠A＝∠DCE；④∠D＝∠DCE；⑤∠A＋∠ABD＝180°；⑥∠A＋∠ACD＝180°，其中能判定AB∥CD的是①③⑥．
中档题
12．(2018·郴州)如图，直线a，b被直线c所截，下列条件中，不能判定a∥b的是( D )
A．∠2＝∠4 B．∠1＋∠4＝180° C．∠5＝∠4 D．∠1＝∠3
13．如图，下列说法错误的是( C )
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A．若a∥b，b∥c，则a∥c B．若∠1＝∠2，则a∥c
C．若∠3＝∠2，则b∥c D．若∠3＋∠5＝180°，则a∥c
14．(2018·湘潭)如图，点E是AD延长线上一点，如果添加一个条件，使BC∥AD，则可添加的条件为答案不唯一，如：∠C＝∠CDE．(任意添加一个符合题意的条件即可)
15．如图，用几何语言表示下列句子．
(1)因为∠1和∠B相等，根据“同位角相等，两直线平行”，所以DE和BC平行；
(2)因为∠1和∠2相等，根据“内错角相等，两直线平行”，所以AB和EF平行；
(3)因为∠BDE和∠B互补，根据“同旁内角互补，两直线平行”，所以DE和BC平行．
解：(1)∵∠1＝∠B(已知)，
∴DE∥BC(同位角相等，两直线平行)．
(2)∵∠1＝∠2(已知)，
∴EF∥AB(内错角相等，两直线平行)．
(3)∵∠BDE＋∠B＝180°(已知)，
∴DE∥BC(同旁内角互补，两直线平行)．
16．(2018·湛江廉江市期末)完成下面的推理．
如图，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠α＋∠β＝90°，试说明：AB∥CD.
完成推理过程：
∵BE平分∠ABD(已知)，
∴∠ABD＝2∠α(角平分线的定义)．
∵DE平分∠BDC(已知)，
∴∠BDC＝2∠β (角平分线的定义)．
∴∠ABD＋∠BDC＝2∠α＋2∠β＝2(∠α＋∠β)(等量代换)．
∵∠α＋∠β＝90°(已知)，
∴∠ABD＋∠BDC＝180°(等量代换)．
∴AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)．
17．如图，点B在AC上，BD⊥BE，∠1＋∠C＝90°，问射线CF与BD平行吗？试用两种方法说明理由．
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解：CF∥BD.
方法一：∵BD⊥BE，
∴∠DBE＝90°.
∴∠1＋∠2＝90°.
∵∠1＋∠C＝90°，
∴∠2＝∠C.
∴CF∥BD(同位角相等，两直线平行)．
方法二：∵BD⊥BE，∴∠DBE＝90°.
∵∠1＋∠C＝90°，
∴∠C＋∠DBC＝∠1＋∠DBE＋∠C＝90°＋90°＝180°.
∴CF∥BD(同旁内角互补，两直线平行)．
18．如图，直线EF分别与直线AB，CD相交于点P和点Q，PG平分∠APQ，QH平分∠DQP，并且∠1＝∠2，说出图中哪些直线平行，并说明理由．
解：PG∥QH，AB∥CD.
∵PG平分∠APQ，QH平分∠DQP，
∴∠1＝∠GPQ＝∠APQ，∠PQH＝∠2＝∠PQD.
又∵∠1＝∠2，
∴∠GPQ＝∠PQH，∠APQ＝∠PQD.
∴PG∥QH，AB∥CD(内错角相等，两直线平行)．
综合题
19．如图，AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D，∠1＋∠2＝180°，试问CD与EF平行吗？为什么？
解：CD∥EF.理由如下：
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABD＝∠BDC＝90°.
∴∠ABD＋∠BDC＝180°.
∴AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)．
∵∠1＋∠2＝180°，
∴AB∥EF(同旁内角互补，两直线平行)．
∴CD∥EF(如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行)．
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周周练(5.1～5.2)
(时间：45分钟 满分：100分)
一、选择题(每小题4分，共32分)
1．邻补角是指( D )
A．和为180°的两个角 B．有一条公共边且相等的两个角
C．有公共顶点且互补的两个角 D．有公共顶点且有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角
2．如图，∠1和∠2是对顶角的是( B )
3．如图，直线AB，CD被EF所截，下列说法正确的有( C )
①∠3与∠5是内错角；②∠2与∠7是同位角；③∠4与∠5是同旁内角；④图中有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角；⑤∠1与∠7是内错角．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．下列说法错误的是( C )
A．两条直线相交，有一个角是直角，则两条直线互相垂直
B．若互为对顶角的两角之和为180°，则两直线互相垂直
C．两直线相交，所构成的四个角中，若有两个角相等，则两直线互相垂直
D．在同一平面上，过点A作直线l的垂线，这样的垂线只有一条
5．如图，直线AB⊥CD于点O，直线EF经过点O，若∠1＝26°，则∠2的度数是( B )
A．26° B．64° C．54° D．以上都不对
6．下列说法错误的是( A )
A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．平行于同一条直线的两条直线平行
C．若a∥b，b∥c，c∥d，则a∥d
D．同一平面内，若一条直线与两平行线中的一条相交，则它也和另一条相交
7．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，则下面的结论中，不正确的是( D )
A．线段AC的长度是点A到BC的距离 B．CD与AB互相垂直
C．AC与BC互相垂直 D．点B到AC的垂线段是线段CA
8．(2017·深圳)下列选项中，哪个不可以得到l1∥l2？( C )
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A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3 C．∠3＝∠5 D．∠3＋∠4＝180°
二、填空题(每小题4分，共24分)
9．如图，已知∠1＋∠2＝100°，则∠3＝130°．
10．如图，已知OA⊥OB，OC⊥OD，∠AOC＝27°，则∠BOD的度数是153°．
11．如图，把小河里的水引到田地A处就作AB⊥l，垂足为B，沿AB挖水沟，水沟最短．理由是垂线段最短．
12．如图，在同一平面内，OA⊥l，OB⊥l，垂足为O，则OA与OB重合的理由是同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
13．如图，已知∠C＝105°，增加一个条件答案不唯一，如∠BEC＝75°或∠AEC＝105°，使得AB∥CD.
14．如图，AB与BC被AD所截得的内错角是∠1和∠3；DE与AC被直线AD所截得的内错角是∠2和∠4；图中∠4的内错角是∠5和∠2．
三、解答题(共44分)
15．(6分)完成下面的推理过程：
如图，CB平分∠ACD，∠1＝∠3.试说明：AB∥CD.
解：∵CB平分∠ACD，
∴∠1＝∠2(角平分线的定义)．
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∵∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3．
∴AB∥CD(内错角相等，两直线平行)．
16．(6分)如图，直线AO，BO交于点O，过点P作PC⊥AO于点C，PD⊥BO于点D，画出图形．
解：作∠ACP＝90°，作∠PDB＝90°，则直线PC，PD即为所求．
17．(6分)如图，已知∠OEB＝130°，∠FOD＝25°，OF平分∠EOD，试说明：AB∥CD.
解：∵OF平分∠EOD，∠FOD＝25°，
∴∠EOD＝2∠FOD＝50°.
又∵∠OEB＝130°，
∴∠OEB＋∠EOD＝180°.
∴AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)．
18．(8分)如图，已知直线l1，l2，l3被直线l所截，∠α＝105°，∠β＝75°，∠γ＝75°，运用已知条件，你能找出哪两条直线是平行的吗？若能，请写出理由．
解：l1∥l2∥l3.理由：
∵∠1＝∠β，∠β＝75°，
∴∠1＝75°.
∵∠α＝105°，
∴∠α＋∠1＝180°.
∴l1∥l2(同旁内角互补，两直线平行)．
∵∠β＝75°，∠γ＝75°，
∴∠β＝∠γ.
∴l2∥l3(内错角相等，两直线平行)．
∴l1∥l2∥l3.
19．(8分)如图，AB和CD交于点O，OD平分∠BOF，OE⊥CD于点O，∠AOC＝40°，求∠EOF的度数．
解：∵AB，CD相交于点O，
∴∠BOD＝∠AOC＝40°.
∵OD平分∠BOF，
∴∠DOF＝∠BOD＝40°.
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∵OE⊥CD，
∴∠EOD＝90°.
∴∠EOF＝∠EOD＋∠DOF＝130°.
20．(10分)如图，要判定AB∥CD，需要哪些条件？根据是什么？
解：①若考虑截线AD，则需∠D＋∠DAB＝180°，根据是同旁内角互补，两直线平行．
②若考虑截线AE，则需∠CEA＋∠EAB＝180°，根据是同旁内角互补，两直线平行或∠DEA＝∠EAB，根据是内错角相等，两直线平行．
③若考虑截线AC，则需∠DCA＝∠CAB，根据是内错角相等，两直线平行．
④若考虑截线FC，则需∠DCF＋∠AFC＝180°，根据是同旁内角互补，两直线平行或∠DCF＝∠BFC，根据是内错角相等，两直线平行．
⑤若考虑截线BC，则需∠DCB＋∠B＝180°，根据是同旁内角互补，两直线平行．
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5.3 平行线的性质
5．3.1 平行线的性质
基础题
知识点1 平行线的性质
平行线的性质：
性质1：两直线平行，同位角相等；
性质2：两直线平行，内错角相等；
性质3：两直线平行，同旁内角互补．
1．(2018·桂林)如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠1＝60°，则∠2的度数是( B )
A．120° B．60° C．45° D．30°
2．(2018·绵阳)如图，有一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上，如果∠2＝44°，那么∠1的度数是( C )
A．14° B．15° C．16° D．17°
3．如图，在三角形ABC中，∠B＝40°，过点C作CD∥AB，∠ACD＝65°，则∠ACB的度数为( D )
A．60° B．65° C．70° D．75°
4．如图，平行线AB，CD被直线AE所截，∠1＝50°，则∠A＝50°．
5．如图，AB∥CD，∠BAF＝115°，则∠ECF的度数为65°．
6．如图，EF∥BC，AC平分∠BAF，∠B＝80°.求∠C的度数．
解：∵EF∥BC，
∴∠BAF＝180°－∠B＝100°(两直线平行，同旁内角互补)．
∵AC平分∠BAF，
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∴∠CAF＝∠BAF＝50°.
∵EF∥BC，
∴∠C＝∠CAF＝50°(两直线平行，内错角相等)．
知识点2 平行线性质的应用
7．某商品的商标可以抽象为如图所示的三条线段，若AB∥CD，∠EAB＝45°，则∠FDC的度数是( B )
A．30° B．45° C．60° D．75°
8．一只因损坏而倾斜的椅子，从背后看到的形状如图所示，其中两组对边的平行关系没有发生变化．若∠1＝76°，则∠2的度数是( C )
A．76° B．86° C．104° D．114°
9．如图，在A，B两地挖一条笔直的水渠，从A地测得水渠的走向是北偏西42°，A，B两地同时开工，B地所挖水渠走向应为南偏东42°．
10．如图，某次考古发掘出的一块梯形残缺玉片，工作人员从玉片上量得∠A＝115°，∠D＝100°，已知梯形的两底AD∥BC，请你帮助工作人员求出另外两个角的度数，并说明理由．
解：∵AD∥BC，∠A＝115°，∠D＝100°，
∴∠B＝180°－∠A＝180°－115°＝65°，
∠C＝180°－∠D＝180°－100°＝80°.
易错点 误用平行线的性质
11．已知∠1与∠2是同旁内角，若∠1＝60°，则∠2的度数是( D )
A．60° B．120° C．60°或120° D．不能确定
中档题
12．(2018·汕头澄海区一模)如图，点P是∠AOB的边OA上一点，PC⊥OB于点C，PD∥OB，∠OPC＝35°，则∠APD的度数是( B )
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A．60° B．55° C．45° D．35°
13．将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠2＋∠4＝90°；④∠4＋∠5＝180°.其中正确的有( D )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
14．(2018·梧州岑溪市期末)如图是一汽车探照灯的纵剖面，从位于O点的灯泡发出的两束光线OB，OC经过灯碗反射以后平行射出．若∠ABO＝α，∠DCO＝β，则∠BOC的度数是( A )
A．α＋β B．180°－α C.(α＋β) D．90°＋(α＋β)
15．(2018·柳州期末)如图，AB∥CD∥EF，则下列四个等式中一定成立的有( A )
①∠2＋∠3＝180°；②∠2＝∠3；③∠1＋∠3＝180°；④∠2＋∠3－∠1＝180°.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
16．(2017·柳州期末)如图，已知AB∥CD，BC∥ED，请你猜想∠B与∠D之间具有什么数量关系，并说明理由．
解：猜想：∠B＋∠D＝180°.
理由如下：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C(两直线平行，内错角相等)．
∵BC∥ED，
∴∠C＋∠D＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．
∴∠B＋∠D＝180°.
17．(2017·南宁马山县期末)如图，CD∥AB，OE平分∠AOD，OF⊥OE，∠D＝50°，求∠BOF的度数．
解：∵CD∥AB，
∴∠AOD＝180°－∠D＝180°－50°＝130°.
∵OE平分∠AOD，
∴∠EOD＝∠AOD＝×130°＝65°.
∵OF⊥OE，
∴∠DOF＝90°－∠EOD＝90°－65°＝25°.
∴∠BOF＝180°－∠AOD－∠DOF＝180°－130°－25°＝25°.
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综合题
18．阅读下列解答过程：如图甲，AB∥CD，探索∠P与∠A，∠C之间的关系．
解：过点P作PE∥AB.
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD(平行于同一条直线的两条直线互相平行)．
∴∠1＋∠A＝180°(两直线平行，同旁内角互补)，
∠2＋∠C＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．
∴∠1＋∠A＋∠2＋∠C＝360°.
又∵∠APC＝∠1＋∠2，
∴∠APC＋∠A＋∠C＝360°.
如图乙和图丙，AB∥CD，请根据上述方法分别探索两图中∠P与∠A，∠C之间的关系．
解：如图乙，过点P作PE∥AB.
∵AB∥CD(已知)，
∴PE∥AB∥CD(平行于同一条直线的两条直线平行)．
∴∠A＝∠EPA，∠EPC＝∠C(两直线平行，内错角相等)．
∵∠APC＝∠EPA＋∠EPC，
∴∠APC＝∠A＋∠C(等量代换)．
如图丙，过点P作PF∥AB.
∴∠FPA＝∠A(两直线平行，内错角相等)．
∵AB∥CD(已知)，
∴PF∥CD(平行于同一条直线的两条直线平行)．
∴∠FPC＝∠C(两直线平行，内错角相等)．
∵∠FPC－∠FPA＝∠APC，
∴∠C－∠A＝∠APC(等量代换)．
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5.3.2 命题、定理、证明
基础题
知识点1 命题的定义及结构
判断一件事情的语句叫做命题，命题常可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面接的部分是结论．
1．(2018·玉林陆川县期末)下列语句不是命题的是( A )
A．画两条相交直线 B．互补的两个角之和是180°
C．两点之间线段最短 D．相等的两个角是对顶角
2．把“垂直于同一条直线的两条直线平行”改写成“如果……那么……”的形式是如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
3．把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并分别指出它们的题设和结论：
(1)两点确定一条直线；
(2)同角的补角相等；
(3)两个锐角互余．
解：(1)如果在平面上有两个点，那么过这两个点确定一条直线．
题设：在平面上有两个点；
结论：过这两个点确定一条直线．
(2)如果两个角是同一个角的补角，那么它们相等．
题设：两个角是同一个角的补角；结论：这两个角相等．
(3)如果两个角是锐角，那么这两个角互余．
题设：两个角是锐角；结论：这两个角互余．
知识点2 真假命题及其证明
(1)题设成立，并且结论一定成立的命题叫做真命题；题设成立，不能保证结论一定成立的命题叫做假命题．
(2)经过推理证实为正确并可以作为推理的依据的真命题叫做定理．很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能做出判断，这个推理的过程叫做证明．
4．(2017·柳州期末)下列命题是真命题的是( C )
A．同位角相等 B．有且只有一条直线与已知直线垂直
C．垂线段最短 D．直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离
5．下列命题中，是假命题的是( A )
A．相等的角是对顶角
B．若|x|＝3，则x＝±3
C．同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种
D．两点确定一条直线
6．如图，BD平分∠ABC，若∠BCD＝70°，∠ABD＝55°.求证：CD∥AB.
证明：∵BD平分∠ABC，∠ABD＝55°，
∴∠ABC＝2∠ABD＝110°.
又∵∠BCD＝70°，
∴∠ABC＋∠BCD＝180°.
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∴CD∥AB(同旁内角互补，两直线平行)．
7．如图，如果∠1＝∠2，那么AB∥CD，这个命题是真命题吗？若不是，请你再添加一个条件，使该命题成为真命题，并说明理由．
解：假命题，添加BE∥DF.
∵BE∥DF，
∴∠EBD＝∠FDN(两直线平行，同位角相等)．
∵∠1＝∠2，
∴∠EBD－∠1＝∠FDN－∠2.
∴∠ABD＝∠CDN.
∴AB∥CD(同位角相等，两直线平行)．
中档题
8．(2017·无锡)对于命题“若a2>b2，则a>b.”下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是( B )
A．a＝3，b＝2 B．a＝－3，b＝2 C．a＝3，b＝－1 D．a＝－1，b＝3
9．下列命题是假命题的是( B )
A．锐角小于它的补角 B．内错角相等
C．两点之间线段最短 D．同旁内角互补，两直线平行
10．下列说法正确的是( C )
A．“作线段CD＝AB”是一个命题 B．过一点作已知直线的平行线有一条且只有一条
C．命题“若x＝1，则x2＝1”是真命题 D．命题“若>1，则a>b”是真命题
11．“直角都相等”的题设是两个角是直角，结论是这两个角相等．
12．对于下列假命题，各举一个反例写在横线上．
(1)“如果ac＝bc，那么a＝b”是一个假命题．
反例：3×0＝(－2)×0；
(2)“如果a2＝b2，则a＝b”是一个假命题．
反例：32＝(－3)2．
13．下列命题中：①若|a|＝b，则a＝b；②若直线l1∥l2，l1∥l3，则l2∥l3；③同角的补角相等；④同位角相等，是真命题的有②③(填序号)．
14．把下列命题写成“如果……那么……”的形式，并判断其真假．
(1)等角的补角相等；
(2)不相等的角不是对顶角；
(3)相等的角是内错角．
解：(1)如果两个角是两个相等的角的补角，那么这两个角相等．是真命题．
(2)如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角．是真命题．
(3)如果两个角相等，那么这两个角是内错角．是假命题．
15．如图，已知AB∥CD，∠B＝∠D.求证：BC∥AD.
证明：∵AB∥CD，
∴∠B＋∠C＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．
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∵∠B＝∠D，
∴∠D＋∠C＝180°.
∴BC∥AD(同旁内角互补，两直线平行)．
16．如图，已知BC，DE相交于点O，给出以下三个判断：①AB∥DE；②BC∥EF；③∠B＝∠E，请你以其中两个判断作为题设，另外一个判断作为结论，写出所有的命题，指出这些命题是真命题还是假命题，并选择其中的一个真命题加以证明．
解：(1)若AB∥DE，BC∥EF，则∠B＝∠E，此命题为真命题．
(2)若AB∥DE，∠B＝∠E，则BC∥EF，此命题为真命题．
(3)若∠B＝∠E，BC∥EF，则AB∥DE，此命题为真命题．
以第一个命题为例证明如下：
∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DOC.
∵BC∥EF，
∴∠DOC＝∠E.
∴∠B＝∠E.
综合题
17．命题“两直线平行，内错角的平分线互相平行”是真命题吗？如果是，请给出证明；如果不是，请举出反例．
解：是真命题，证明如下：
如图，AB∥CD，BE，CF分别平分∠ABC和∠BCD.求证：BE∥CF.
证明：∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠BCD(两直线平行，内错角相等)．
∵BE，CF分别是∠ABC，∠BCD的平分线，
∴∠2＝∠ABC，∠3＝∠BCD.
∴∠2＝∠3.
∴BE∥CF(内错角相等，两直线平行)．
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小专题(一) 平行线的性质与判定的综合运用
——教材P37T13的变式与应用
教材母题(教材P37T13)：完成下面的证明．
(1)如图1，点D，E，F分别是三角形ABC的边BC，CA，AB上的点，DE∥BA，DF∥CA.求证∠FDE＝∠A.
证明：∵DF∥CA，
∴∠FDE＝∠DEC(两直线平行，内错角相等)．
∵DE∥BA，
∴∠A＝∠DEC(两直线平行，同位角相等)．
∴∠FDE＝∠A.
(2)如图2，AB和CD相交于点O，∠C＝∠COA，∠D＝∠BOD.求证AC∥BD.
证明：∵∠C＝∠COA，∠D＝∠BOD，
又∵∠COA＝∠BOD(对顶角相等)，
∴∠C＝∠ D．
∴AC∥BD(内错角相等，两直线平行)．
(1)判定两直线平行的方法有五种：①平行线的定义；②平行公理的推论；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行；⑤同旁内角互补，两直线平行．
(2)判定两直线平行时，定义一般不常用，其他四种方法要灵活运用，推理时要注意书写格式．
(3)由两条直线平行得到同位角相等、内错角相等或同旁内角互补，解题时应结合图形先确认所成的角是不是两平行线被第三条直线所截得的同位角或内错角或同旁内角，同时要学会简单的几何说理，做到每一步有理有据．
1．填写推理理由：
如图，CD∥EF，∠1＝∠2.求证：∠3＝∠ACB.
证明：∵CD∥EF，
∴∠DCB＝∠2(两直线平行，同位角相等)．
∵∠1＝∠2，
∴∠DCB＝∠1(等量代换)．
∴GD∥CB(内错角相等，两直线平行)．
∴∠3＝∠ACB(两直线平行，同位角相等)．
2．填写推理理由，将过程补充完整：
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如图，已知AD⊥BC于点D，EF⊥BC于点F，AD平分∠BAC.求证：∠E＝∠1.
证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC(已知)，
∴∠ADC＝∠EFC＝90°(垂直的定义)．
∴AD∥EF(同位角相等，两直线平行)．
∴∠1＝∠BAD(两直线平行，内错角相等)，
∠E＝∠CAD(两直线平行，同位角相等)．
又∵AD平分∠BAC(已知)，
∴∠BAD＝∠CAD．
∴∠1＝∠E(等量代换)．
3．如图，∠B＝∠C，AB∥EF，求证：∠BGF＝∠C.
证明：∵∠B＝∠C(已知)，
∴AB∥CD (内错角相等，两直线平行)．
∵AB∥EF(已知)，
∴CD∥EF(如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行)．
∴∠BGF＝∠C(两直线平行，同位角相等)．
4．如图，已知∠AFE＝∠ABC，DG∥BE，∠DGB＝140°，求∠FEB的度数．
解：∵DG∥BE，
∴∠DGB＋∠EBC＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．
∵∠DGB＝140°，
∴∠EBC＝40°.
∵∠AFE＝∠ABC，
∴EF∥BC(同位角相等，两直线平行)．
∴∠FEB＝∠EBC＝40°(两直线平行，内错角相等)．
5．如图，CE平分∠BCD，∠1＝∠2＝70°，∠3＝40°，AB和CD是否平行？为什么？
解：平行．
理由：∵CE平分∠BCD，
∴∠1＝∠4.
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∵∠1＝∠2＝70°，
∴∠1＝∠2＝∠4＝70°.
∴AD∥BC(内错角相等，两直线平行)．
∴∠D＝180°－∠BCD＝180°－∠1－∠4＝40°.
∵∠3＝40°，
∴∠D＝∠3(等量代换)．
∴AB∥CD(内错角相等，两直线平行)．
6．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，ED与BC的交点为点G，点D，C分别落在点D′，C′的位置上．若∠EFG＝55°，求∠1，∠2的度数．
解：∵AD∥BC，∠EFG＝55°，
∴∠2＝∠GED，∠DEF＝∠EFG＝55°.
由折叠知∠GEF＝∠DEF＝55°.
∴∠GED＝110°.
∴∠2＝110°，∠1＝180°－∠GED＝70°.
7．如图，∠1＝∠2，∠C＝∠D.求证：AC∥DF.
证明：∵∠2＝∠AHC(对顶角相等)，∠1＝∠2，
∴∠1＝∠AHC(等量代换)．
∴BD∥CE(同位角相等，两直线平行)．
∴∠D＝∠CEF(两直线平行，同位角相等)．
又∵∠C＝∠D，
∴∠C＝∠CEF(等量代换)．
∴AC∥DF(内错角相等，两直线平行)．
8．如图，BD⊥AC于点D，EF⊥AC于点F，∠AMD＝∠AGF，∠1＝∠2＝35°.
(1)求∠GFC的度数；
(2)求证：DM∥BC.
解：(1)∵BD⊥AC，EF⊥AC，
∴∠BDA＝∠EFA＝90°.
∴BD∥EF(同位角相等，两直线平行)．
∴∠EFG＝∠1＝35°(两直线平行，同位角相等)．
∴∠GFC＝90°＋35°＝125°.
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(2)证明：∵BD∥EF，
∴∠2＝∠CBD(两直线平行，同位角相等)．
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠CBD(等量代换)．
∴GF∥BC(内错角相等，两直线平行)．
∵∠AMD＝∠AGF，
∴MD∥GF(同位角相等，两直线平行)．
∴DM∥BC(如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行)．
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小专题(二) 平行线与“拐点”模型
——教材P23T7(2)的变式与应用
教材母题(教材P23T7(2))：如图，如果AB∥CD∥EF，那么∠BAC＋∠ACE＋∠CEF＝( C )
A．180° B．270° C．360° D．540°
拓展变式：如图，AB∥CD，则∠A＋∠E＋∠F＋∠C＝540°．
当两条平行线不是被第三条直线所截，而是被一条折线所截时，平行线的性质则不能直接应用，因此需过折线的“转折点”作一条平行线，利用平行公理的推论得出三条直线互相平行，从而多次利用平行线的性质解决问题．
变式1 变“外凸”为“内凹”
1．如图，直线AB∥CD，∠C＝36°，∠E为直角，则∠A等于( C )
A．36° B．44° C．54° D．64°
2．如图，已知AB∥CD，试判断∠B，∠BED和∠D之间的关系，并说明理由．
解：∠BED＝∠B＋∠D.理由如下：
过点E作EF∥AB，则∠B＝∠BEF.
∵AB∥CD，
∴EF∥CD.
∴∠DEF＝∠D.
∵∠BED＝∠BEF＋∠DEF，
∴∠BED＝∠B＋∠D.
变式2 变“平行线间”为“平行线的外部”
3．已知AB∥CD，点E为AB，CD之外任意一点．
(1)如图1，探究∠BED与∠B，∠D的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，探究∠CDE与∠B，∠E的数量关系，并说明理由．
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解：(1)∠B＝∠BED＋∠D.理由如下：
过点E作EF∥AB.
又∵AB∥CD，
∴EF∥AB∥CD.
∴∠BEF＝∠B，∠D＝∠DEF.
∵∠BEF＝∠BED＋∠DEF，
∴∠B＝∠BED＋∠D.
(2)∠CDE＝∠B＋∠BED.理由如下：
过点E作EF∥AB.
又∵AB∥CD，
∴EF∥AB∥CD.
∴∠B＋∠BEF＝180°，∠CDE＋∠DEF＝180°.
又∵∠DEF＝∠BEF－∠BED，
∴∠CDE＋∠BEF－∠BED＝∠B＋∠BEF，
即∠CDE＝∠B＋∠BED.
变式3 变“一次”为“多次”
4．(1)如图1，AB∥CD，则∠E＋∠G与∠B＋∠F＋∠D有何关系？
(2)如图2，若AB∥CD，又能得到什么结论？请直接写出结论．
解：(1)过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，过点G作GH∥CD.
∵AB∥CD.
∴AB∥EM∥FN∥GH∥CD.
∴∠1＝∠B，∠2＝∠3，∠4＝∠5，∠6＝∠D.
∴∠1＋∠2＋∠5＋∠6＝∠B＋∠3＋∠4＋∠D，
即∠BEF＋∠FGD＝∠B＋∠EFG＋∠D.
(2)∠B＋∠F1＋∠F2＋…＋∠Fn－1＋∠D＝∠E1＋∠E2＋…＋∠En.
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5.4 平移
基础题
知识点1 认识平移现象
(1)把一个图形整体沿着某一直线方向移动，会得到一个新的图形，这种移动就叫做平移．
(2)平移的过程中，新图形中的每一点都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两点是对应点，连接各组对应点的线段平行且相等．平移后的图形的位置是由平移的方向和平移的距离决定的．
1．下列现象不属于平移的是( C )
A．飞机起飞前在跑道上加速滑行 B．汽车在笔直的公路上行驶
C．游乐场的过山车在翻筋斗 D．起重机将重物由地面竖直吊起到一定高度
2．(2018·岑溪期末)下列图形中，不能通过其中一个四边形平移得到的是( D )
3．如图，有a，b，c三户家用电路接入电表，相邻电路的电线等距排列，则三户所用电线( D )
A．a户最长 B．b户最长 C．c户最长 D．三户一样长
第3题图
4．如图，三角形A′B′C′是由三角形ABC沿射线AC方向平移2 cm得到的．若AC＝3 cm，则A′C＝1__cm．
5．如图，三角形DEF是三角形ABC平移所得，观察图形：
(1)点A的对应点是点D，点B的对应点是点E，点C的对应点是点F；
(2)线段AD，BE，CF叫做对应点间的连线，这三条线段之间有什么关系呢？
解：AD∥BE∥CF，AD＝BE＝CF.
知识点2 画平移图形
6．在5×5的方格纸中，将图1中的图形N平移到如图2所示的位置，那么下面平移中正确的是( C )
A．先向下移动1格，再向左移动1格 B．先向下移动1格，再向左移动2格
C．先向下移动2格，再向左移动1格 D．先向下移动2格，再向左移动2格
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7．请在如图所示的方格中，将“箭头”向右平移3个单位长度．
解：如图所示．
8．如图所示，三角形ABC是通过平移三角形DEF得到的，已知ED和BA是对应线段，请在图中画出三角形DEF.
解：如图所示．
中档题
9．如图，在10×6的网格中，每个小方格的边长都是1个单位长度，将三角形ABC平移到三角形DEF的位置，下面正确的平移步骤是( A )
A．先向左平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度
B．先向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度
C．先向左平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度
D．先向右平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度
10．(2018·防城港期末)如图，直线AB∥CD，EF分别交AB，CD于G，F两点，射线FM平分∠EFD，将射线FM平移，使得端点F与点G重合且得到射线GN.若∠EFC＝110°，则∠AGN的度数是( D )
A．120° B．125° C．135° D．145°
11．(2018·柳州期末)如图，将三角形ABC沿BC方向平移1个单位长度得到三角形DEF.若三角形ABC的周长等于9，则四边形ABFD的周长等于( C )
A．9 B．10 C．11 D．12
12．某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如图所示的三种图形，现计划用铁丝按照图形制作相应的造型，则所用铁丝的长度关系是( D )
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A．甲种方案所用铁丝最长 B．乙种方案所用铁丝最长
C．丙种方案所用铁丝最长 D．三种方案所用铁丝一样长
13．如图，将三角形ABC平移到三角形A′B′C′的位置(点B′在AC边上)．若∠B＝55°，∠C＝100°，则∠AB′A′的度数为25°．
14．如图，直角三角形ABO的周长为88，在其内部的n个小直角三角形的周长之和为88．
15．如图，方格中有一条美丽可爱的小金鱼．
(1)若方格的边长为1，则小鱼的面积为16；
(2)画出小鱼向左平移3格后的图形(不要求写作图步骤和过程)．
解：如图所示．
综合题
16．(1)已知图1是将线段AB向右平移1个单位长度，图2是将线段AB折一下再向右平移1个单位长度，请在图3中画出一条有两个折点的折线向右平移1个单位长度的图形；
(2)若长方形的长为a，宽为b，请分别写出三个图形中除去阴影部分后剩下部分的面积；
(3)如图4，在宽为10 m，长为40 m的长方形菜地上有一条弯曲的小路，小路宽度为1 m，求这块菜地的面积．
解：(1)如图．
(2)三个图形中除去阴影部分后剩下部分的面积均为ab－b.
(3)10×40－10×1＝390(m2)．
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周周练(5.3～5.4)
(时间：45分钟 满分：100分)
一、选择题(每小题4分，共32分)
1．下列现象中不属于平移的是( B )
A．滑雪运动员在平坦的雪地上滑雪 B．彩票大转盘在旋转
C．高楼的电梯在上上下下 D．火车在一段笔直的铁轨上行驶
2．下列语句是命题的是( C )
A．延长线段AB B．你吃过午饭了吗 C．直角都相等 D．连接A，B两点
3．下列命题中，是真命题的是( D )
A．互补的角是邻补角 B．相等的角是对顶角 C．内错角相等 D．对顶角都相等
4．经过平移的图形与原图形的对应点所连的线段的关系是( C )
A．平行 B．相等 C．平行(或在同一条直线上)且相等 D．不确定
5．(2017·广州荔湾区期末)如图，已知∠2＝100°，要使AB∥CD，则须具备另一个条件( D )
A．∠1＝100° B．∠3＝80° C．∠4＝80° D．∠4＝100°
6．(教材P22习题T1变式)如图，一条公路两次转弯后又回到原来的方向．若第一次转弯时∠B＝140°，则∠C的度数是( A )
A．140° B．40° C．100° D．180°
7．(2017·南宁马山县期末)如图，点E在BC的延长线上，则下列条件中，能判定AD∥BC的是( B )
A．∠B＝∠DCE B．∠3＝∠4 C．∠1＝∠2 D．∠D＋∠DAB＝180°
8．(2018·柳州柳北区三模)如图，三角形ADE是由三角形DBF沿BD所在的直线平移得到的，AE，BF的延长线交于点C.若∠BFD＝45°，则∠C的度数是( C )
A．43° B．44° C．45° D．46°
二、填空题(每小题4分，共24分)
9．把“等角的余角相等”改写成“如果……那么……”的形式是如果两个角是等角的余角，那么这两个角相等，该命题是真命题(填“真”或“假”)．
10．如图，∠1＝∠2，∠A＝60°，则∠ADC＝120°．
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11．如图，已知AB∥CD，∠DFE＝135°，则∠ABE的度数为45°．
12．如图，BD平分∠ABC，点E在BC上，EF∥AB.若∠CEF＝100°，则∠ABD的度数为50°．
13．如图所示是一座楼房的楼梯，高1 m，水平距离是2.8 m．如果要在台阶上铺一种地毯，那么至少要买这种地毯3.8m.
14．如图，∠1＝70°，直线a平移后得到直线b，则∠2－∠3＝110°．
三、解答题(共44分)
15．(9分)将下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并指出它们的题设和结论，判断其真假．
(1)有理数一定是自然数；
(2)负数之和仍为负数；
(3)平行于同一条直线的两条直线平行．
解：(1)如果一个数是有理数，那么它一定是自然数．
题设：一个数是有理数．结论：这个数一定是自然数．命题为假命题．
(2)如果一个数是某两个负数之和，那么这个数是负数．
题设：有一个数是某两个负数之和．结论：这个数是负数．命题为真命题．
(3)如果两条直线都与同一条直线平行，那么这两条直线互相平行．
题设：两条直线都与同一条直线平行．结论：这两条直线互相平行．命题是真命题．
16．(6分)如图，在10×6的网格中，每个小方格的边长都是1个单位长度，将三角形ABC平移得到三角形DEF，使得点A到达点D处，请你画出平移后的三角形DEF.
解：如图所示．
17．(8分)如图，已知∠1＝55°，∠2＝60°，∠3＝55°，求∠4的度数．
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解：∵∠1＝∠3，
∴AB∥CD(同位角相等，两直线平行)．
∴∠AOG＝∠4(两直线平行，同位角相等)．
∵∠2＝60°，
∴∠AOG＝180°－∠2＝120°.
∴∠4＝120°.
18．(9分)我们由光的镜面反射可知，当光线射到平面镜上反射后，就有反射角等于入射角，如图所示，∠1＝∠2，∠3＝∠4，当一束平行光线AB与DE射向水平镜面后被反射，反射后的光线BC与EF平行吗？为什么？
解：BC∥EF.
理由如下：
∵AB∥DE，
∴∠1＝∠3(两直线平行，同位角相等)．
又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠2＝∠4.
∴BC∥EF(同位角相等，两直线平行)．
19．(12分)如图，∠BAP＋∠APD＝180°，∠AOE＝∠1，∠FOP＝∠2.
(1)若∠1＝55°，求∠2的度数；
(2)求证：AE∥FP.
解：(1)∵∠AOE＝∠1，∠FOP＝∠2，
又∵∠AOE＝∠FOP(对顶角相等)，
∴∠1＝∠2.
∵∠1＝55°，
∴∠2＝55°.
(2)证明：∵∠BAP＋∠APD＝180°，
∴AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)．
∴∠BAP＝∠APC(两直线平行，内错角相等)．
∵∠1＝∠2，
∴∠EAO＝∠FPO.
∴AE∥PF(内错角相等，两直线平行)．
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章末复习(一) 相交线与平行线
分点突破
知识点1 相交线有关的概念和性质
1．(2018·丽水)如图，∠B的同位角可以是( D )
A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠4
2．以下两条直线互相垂直的是( D )
①两条直线相交所成的四个角中有一个是直角；
②两条直线相交所成的所有邻补角都相等；
③两条直线相交，有一组邻补角相等；
④两条直线相交，对顶角互补．
A．①③ B．①②③ C．②③④ D．①②③④
3．如图，PO⊥OR，OQ⊥PR，则点P到OQ所在直线的距离是哪一条线段的长( D )
A．PO B．RO C．OQ D．PQ
4．如图，直线AB，CD相交于点O，OE把∠BOD分成两部分．
(1)直接写出图中∠AOC的对顶角为∠BOD，∠BOE的邻补角为∠AOE；
(2)若∠AOC＝70°，且∠BOE∶∠EOD＝2∶3，求∠AOE的度数．
解：设∠BOE＝2x°，则∠EOD＝3x°.
∵∠DOB＝∠DOE＋∠BOE，
∴∠DOB＝5x°.
又∵∠DOB＝∠AOC，∠AOC＝70°，
∴5x＝70.
∴x＝14.
∴∠BOE＝28°.
∴∠AOE＝180°－∠BOE＝152°.
知识点2 平行线的性质与判定
5．(2017·威海)如图，AB∥CD，DA⊥AC，垂足为A.若∠ADC＝35°，则∠1的度数是( B )
A．65° B．55° C．45° D．35°
6．如图，∠BDE＝∠EBD，要使AB∥DE，应添加的一个条件是∠ABD＝∠EBD(答案不唯一)．(填一个即可)
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7．如图，∠AEF＋∠CFE＝180°，∠1＝∠2，EG与HF平行吗？为什么？
解：平行．理由：
∵∠AEF＋∠CFE＝180°，
∴AB∥CD.
∴∠AEF＝∠EFD.
∵∠1＝∠2，
∴∠AEF－∠1＝∠EFD－∠2，
即∠GEF＝∠HFE.
∴EG∥HF.
知识点3 命题、定理与证明
8．下列命题中，是真命题的是( C )
A．两个锐角之和为钝角 B．两个锐角之和为锐角
C．钝角大于它的补角 D．锐角小于它的余角
9．把命题“平行于同一条直线的两条直线平行”改成“如果……那么……”的形式：如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线互相平行．
知识点4 平移
10．下列选项中能由左图平移得到的是( C )
11．如图，四边形EFGH是由四边形ABCD平移得到的，已知AD＝5，∠B＝70°，则( B )
A．FG＝5，∠G＝70° B．EH＝5，∠F＝70° C．EF＝5，∠F＝70° D．EF＝5，∠E＝70°
易错题集训
12．如图，下列四个条件中，能判定DE∥AC的是( A )
A．∠3＝∠4 B．∠1＝∠2 C．∠EDC＝∠EFC D．∠ACD＝∠AFE
13．下列说法中正确的有( B )
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①在同一平面内，不相交的两条直线必平行；②在同一平面内，不相交的两条线段必平行；③相等的角是对顶角；④两条直线被第三条直线所截，所得到的同位角相等；⑤两条平行线被第三条直线所截，一对内错角的角平分线互相平行．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
14．如图，与∠A是同旁内角的角共有4个．
15．已知OA⊥OB，∠AOC∶∠AOB＝2∶3，则∠BOC的度数为30°或150°．
常考题型演练
16．能说明命题“对于任何数a，|a|＞－a”是假命题的一个反例可以是( A )
A．a＝－2 B．a＝ C．a＝1 D．a＝2
17.(2018·南宁马山县期末)如图，BE是AB的延长线，下面说法正确的是( D )
A．由∠1＝∠2，可得到AB∥CD B．由∠2＝∠C，可得到AD∥BC
C．由∠1＝∠C，可得到AD∥BC D．由∠1＝∠C，可得到AB∥CD
18．(2018·汕头金平区期末)如图，现将一块三角板的含有60°角的顶点放在直尺的一边上．若∠1＝80°，则∠2的度数为( B )
A．30° B．40° C．50° D．60°
19．(2018·梧州岑溪市期末)如图，直线AE∥BF，∠1＝110°，∠2＝130°，那么∠3的度数是( C )
A．40° B．50° C．60° D．70°
20．同一平面内的四条直线a，b，c，d满足a⊥b，b⊥c，c⊥d，则下列式子成立的是( C )
A．a⊥c B．b⊥d C．a⊥d D．b∥c
21．如图，直线AB交CD于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COB，∠AOD∶∠EOD＝4∶1，则∠AOF＝120°．
22．(教材P31习题T4变式)如图，面积为12 cm2的三角形ABC沿BC方向平移至三角形DEF的位置，平移的距离是边BC长的两倍，则四边形ACED的面积为36cm2.
23．(2018·贵港改编)如图，将长方形纸片ABCD折叠，折痕为EF，BC的对应边B′C′与CD交于点M.若∠B′MD＝50°，则∠BEF的度数为70°．
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24．如图，AE⊥BC，FG⊥BC，∠1＝∠2，∠D＝∠3＋60°，∠CBD＝70°.
(1)求证：AB∥CD；
(2)求∠C的度数．
解：(1)证明：∵AE⊥BC，FG⊥BC，
∴AE∥GF.
∴∠2＝∠A.
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠A.
∴AB∥CD.
(2)∵AB∥CD，
∴∠D＋∠CBD＋∠3＝180°.
∵∠D＝∠3＋60°，∠CBD＝70°，
∴∠3＝25°.
∵AB∥CD，
∴∠C＝∠3＝25°.
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