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第九章 不等式与不等式组
9．1 不等式
9．1.1 不等式及其解集
基础题
知识点1 不等式
用“＜”或“＞”表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．
1．选择适当的不等号填空：
(1)2＜3；
(2)－＞－4；
(3)若a为正方形的边长，则a＞0；
(4)若x≠y，则－x≠－y.
2．如图，左边物体的质量为x g，右边物体的质量为50 g，用不等式表示下列数量关系是x＞50．
3．如图，身高为x cm的1号同学与身高为y cm的2号同学站在一起时，如果用一个不等式来表示他们的身高关系，那么这个式子可以表示成x＜y(用“＞”或“＜”填空)．
4．用不等式表示：
(1)x是正数：x＞0；
(2)m大于－3：m＞－3；
(3)a－b是负数：a－b＜0；
(4)a的比5大：a＞5．
5．“b的与c的和是负数”用不等式表示为b＋c＜0.
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知识点2 不等式的解和解集
使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解．一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集．求不等式的解集的过程叫做解不等式．
6．下列说法中，错误的是( C )
A．x＝1是不等式x＜2的解 B．－2是不等式2x－1＜0的一个解
C．不等式－3x＞9的解集是x＝－3 D．不等式x＜10的整数解有无数个
7．(2017·广州海珠区期末改编)在数轴上表示不等式x＞－2的解集，正确的是( C )
8．把下列不等式的解集在数轴上表示出来．
(1)x＞－3；
解：
(2)x＞－1；
解：
(3)x＜3；
解：
(4)x＜－.
解：
易错点 对不等式的解集的意义理解不透彻
9．“满足x＜3的每一个数都是不等式x＋2＜6的解，所以不等式x＋2＜6的解集是x＜3”，这句话是否正确？请你判断，并说明理由．
解：这句话不正确，因为满足x＜3的数只是不等式x＋2＜6的部分解，如：x＝3.1，x＝3.2等都是不等式x＋2＜6的解，所以这句话不正确．
中档题
10．x与3的和的一半是负数，用不等式表示为( C )
A.x＋3＞0 B.x＋3＜0 C.(x＋3)＜0 D.(x＋3)＞0
11．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列不等式成立的是( D )
A．a＞b B．ab＞0 C．a＋b＞0 D．a＋b＜0
12．对于实数x，我们规定[x]表示不大于x的最大整数，例如[1.2]＝1，[3]＝3，[－2.5]＝－3.若[]＝5，则x的取值可以是( C )
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A．40 B．45 C．51 D．56
13．请写出满足下列条件的一个不等式．
(1)0是这个不等式的一个解：x＜1；
(2)－2，－1，0，1都是不等式的解：x＜2；
(3)0不是这个不等式的解：x＞0；
(4)与x＜－1的解集相同的不等式：x＋2＜1．
14．如图，有两种广告牌，其中图1是由两个两直角边相等的直角三角形构成的，图2是一个长方形，从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系，并将这种大小关系用含字母a，b的不等式表示为a2＋b2＞a B．
15．用不等式表示：
(1)7x与1的差小于4；
(2)x的一半比y的2倍大；
(3)a的9倍与b的的和是正数．
解：(1)7x－1＜4.
(2)x＞2y.
(3)9a＋b＞0.
16．直接写出下列各不等式的解集：
(1)x＋1＞0； (2)3x＜6.
解：(1)x＞－1.
(2)x＜2.
17．已知一支圆珠笔1.5元，签字笔与圆珠笔相比每支贵2元．小华想要买x支圆珠笔和10支签字笔．若付50元仍找回若干元，则如何用含x的不等式来表示小华所需支付的金额与50元之间的关系？
解：列不等式为：1.5x＋10×(1.5＋2)＜50.
18．在爆破时，如果导火索燃烧的速度是每秒钟0.8 cm，人跑开的速度是每秒钟4 m，为了使点导火索的人在爆破时能够跑到100 m以外的安全地区，设导火索的长为s cm.
(1)用不等式表示题中的数量关系；
解：4×＞100.
(2)当导火索是下列哪个长度时，人能跑到安全地区( D )
A．15 cm B．18 cm C．20 cm D．25 cm
综合题
19．阅读下列材料，并完成填空．
你能比较2 0172 018和2 0182 017的大小吗？
为了解决这个问题，先把问题一般化，比较nn＋1和(n＋1)n(n＞0，且n为整数)的大小．然后从分析n＝1，n＝2，n＝3，…的简单情形入手，从中发现规律，经过归纳、猜想得出结论．
(1)通过计算(可用计算器)比较下列①～⑦组两数的大小：(在横线上填上“＞”“＝”或“＜”)
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①12＜21；②23＜32；③34＞43；④45＞54；
⑤56＞65；⑥67＞76；⑦78＞87；
(2)归纳第(1)问的结果，可以猜想出nn＋1和(n＋1)n的大小关系；
(3)根据以上结论，可以得出2 0172 018和2 0182 017的大小关系．
解：(2)当n＝1或2时，nn＋1＜(n＋1)n；
当n＞2时，nn＋1＞(n＋1)n.
(3)2 0172 018＞2 0182 017.
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9.1.2 不等式的性质
第1课时 不等式的性质
基础题
知识点1 不等式的性质1
若a＞b，则a±c＞b±c.
1．若a－4＜b－4，则a＜b.(填“＞”“＜”或“＝”)
2．已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则a－2＜b－2.
知识点2 不等式的性质2
若a＞b，c＞0，则ac＞bc(或＞)．
如：若a＞b，则3a＞3b，＞.
3．如果2m＜3n，那么不等式两边同时乘(或除以6)，可变为m＜n.
知识点3 不等式的性质3
若a＞b，c＜0，则ac＜bc(或＜)．
如：若a＞b，则－a＜－b，－＜－.
4．若－a≥b，则a≤－2b，其根据是( C )
A．不等式的两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变
B．不等式的两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变
C．不等式的两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变
D．以上答案均不对
5．不等式a＞b，两边同时乘m得am＜bm，则一定有( B )
A．m＝0 B．m＜0 C．m＞0 D．m为任何实数
中档题
6．(2018·广西北部湾)若m＞n，则下列不等式正确的是( B )
A．m－2＜n－2 B.＞ C．6m＜6n D．－8m＞－8n
7．(2017·株洲)已知实数a，b满足a＋1＞b＋1，则下列选项错误的为( D )
A．a＞b B．a＋2＞b＋2 C．－a＜－b D．2a＞3b
8．(2017·玉林期末)设a＞b＞0，c为常数，给出下列不等式：①a－b＞0；②ac＞bc；③＜；④b2＞ab，其中正确的不等式有( B )
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．若实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，则下列不等式成立的是( B )
A．a－c＞b－c B．a＋c＜b＋c C．ac＞bc D.＜
10．四个小朋友玩跷跷板，他们的体重分别为P，Q，R，S，如图所示，则他们的体重从小到大是Q＜R＜P＜S(用“＜”号连接)．
11．张华在进行不等式变形时遇到不等式b＜－b，他将不等式两边同时除以b得1＜－1，这显然是不成立的，你能解释这是为什么吗？你能求出b的取值范围吗？
解：∵不知道b的正负，
∴将不等式两边同时除以b，不等号的方向不知道改变不改变．
张华把b看成大于0，所以才得出错误的结论．
不等式两边同时加b，得2b＜0.
不等式两边同时除以2，得b＜0.
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第2课时 利用不等式的性质解简单的不等式
基础题
知识点1 利用不等式的性质解简单的不等式
解不等式，就是要借助不等式的性质使不等式逐步化为x＞a或x＜a(a为常数)的形式．
1．在数轴上表示不等式x－1≤0的解集，正确的是( D )
2．利用不等式的性质求下列不等式的解集，并写出变形的依据．
(1)若x＋2 018＞2 019，则x＞1；(不等式两边同时减2__018，不等号方向不变)
(2)若2x＞－，则x＞－；(不等式两边同时除以2，不等号方向不变)
(3)若－2x＞－，则x＜；(不等式两边同时除以－2，不等号方向改变)
(4)若－＞－1，则x＜7.(不等式两边同时乘－7，不等号方向改变)
3．根据不等式的性质，将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式．
(1)8x＞7x＋1；
(2)－3x＜－4x－.
解：(1)不等式两边都减7x，得x＞1.
(2)不等式两边都加4x，得x＜－.
知识点2 不等式的简单应用
4．已知一台升降机的最大载重量是1 200 kg，在一名体重为75 kg的工人乘坐的情况下，它最多能装载多少件25 kg重的货物？
解：设能装载x件25 kg重的货物，因为升降机最大载重量是1 200 kg，所以有
75＋25x≤1 200，解得x≤45.
因此，升降机最多装载45件25 kg重的货物．
中档题
5．若式子3x＋4的值不大于0，则x的取值范围是( D )
A．x＜－ B．x≥ C．x＜ D．x≤－
6．如图是关于x的不等式2x－a≤－1的解集，则a的取值是( C )
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A．a≤－1 B．a≤－2 C．a＝－1 D．a＝－2
7．利用不等式的性质解下列不等式．
(1)5x≥3x－2；
解：不等式两边同时减3x，得2x≥－2.
不等式两边同时除以2，得x≥－1.
(2)8－3x＜4－x.
解：不等式两边同时加x，得8－2x＜4.
不等式两边同时减8，得－2x＜－4.
不等式两边同时除以－2，得x＞2.
8．某单位打算和一个体车主或一出租车公司签订月租合同．个体车主答应除去每月1 500元租金外，每千米收1元；出租车公司规定每千米收2元，不收其他费用．设该单位每月用车x千米时，乘坐出租车划算，请写出x的取值范围．
解：根据题意，得
1 500＋x＞2x，解得x＜1 500.
∵单位每月用车x(千米)是正数，
∴x的取值范围是0＜x＜1 500.
综合题
9．已知关于x的不等式ax＜－b的解集是x＞1，求关于y的不等式by＞a的解集．
解：∵不等式ax＜－b的解集是x＞1，
∴a＜0，－＝1.
∴b＝－a，b＞0.
∴不等式by＞a的解集为y＞＝－1，
即不等式by＞a的解集为y＞－1.
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9.2 一元一次不等式
第1课时 一元一次不等式的解法
基础题
知识点1 一元一次不等式的定义
含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．
1．下列不等式中，是一元一次不等式的是( C )
A．2x－3y＞4 B．－2＜3 C．3x－1＜0 D．y2－3＞2
2．若(m＋1)x|m|＋2＞0是关于x的一元一次不等式，则m＝1．
知识点2 一元一次不等式的解法
解一元一次不等式的一般步骤：
(1)去分母(根据不等式的性质2)；
(2)去括号(根据去括号法则)；
(3)移项(根据不等式的性质1)；
(4)合并(根据合并同类项的法则)；
(5)系数化为1(根据不等式的性质2或性质3)．
3．(2018·防城港期末)不等式－3x＞1的解集是( C )
A．x＜－2 B．x＞－ C．x＜－ D．x＞4
4．(2018·长春)不等式3x－6≥0的解集在数轴上表示正确的是( B )
5．不等式3x＋2＜2x＋3的解集在数轴上表示正确的是( D )
6．(2018·山西)不等式＞1的解集是x＞10．
7．(2017·南宁期末)不等式2x－1≥3x＋1的最大整数解是－2．
8．解不等式，并把解集在数轴上表示出来．
(1)5x－2≤3x；
解：移项，得5x－3x≤2.
合并同类项，得2x≤2.
系数化为1，得x≤1.
其解集在数轴上表示为：
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(2)2(x－1)＋5＜3x；
解：去括号，得2x－2＋5＜3x.
移项，得2x－3x＜2－5.
合并同类项，得－x＜－3.
系数化为1，得x＞3.
其解集在数轴上表示为：
(3)≥；
解：去分母，得3(2－x)≥4(1－x)．
去括号，得6－3x≥4—4x.
移项、合并同类项，得x≥－2.
其解集在数轴上表示为：
(4)＞1－.
解：去分母，得2x＞6－(x－3)．
去括号，得2x＞6－x＋3.
移项，得2x＋x＞6＋3.
合并同类项，得3x＞9.
系数化为1，得x＞3.
其解集在数轴上表示为：
易错点 解一元一次不等式常见的错误
9．(2017·舟山)小明解不等式－≤1的过程如图．请指出他解答过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程.
解：去分母，得3(1＋x)－2(2x＋1)≤1.①
去括号，得3＋3x－4x＋1≤1.②
移项，得3x－4x≤1－3－1.③
合并同类项，得－x≤－3.④
两边都除以－1，得x≤3.⑤
解：错误的是①②⑤，正确的解答过程如下：
去分母，得3(1＋x)－2(2x＋1)≤6.
去括号，得3＋3x－4x－2≤6.
移项，得3x－4x≤6－3＋2.
合并同类项，得－x≤5.
两边都除以－1，得x≥－5.
中档题
10．(2017·丽水)若关于x的一元一次方程x－m＋2＝0的解是负数，则m的取值范围是( C )
A．m≥2 B．m＞2 C．m＜2 D．m≤2
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11．要使4x－的值不大于3x＋5，则x的最大值是( B )
A．4 B．6.5 C．7 D．不存在
12．不等式＞－1的正整数解的个数是( D )
A．1 B．2 C．3 D．4
13．(2017·大庆)若实数3是不等式2x－a－2＜0的一个解，则a可取的最小正整数为( D )
A．2 B．3 C．4 D．5
14．(2017·烟台)运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否＜18”为一次程序操作．
若输入x后程序操作仅进行了一次就停止，则x的取值范围是x＜8．
15．解不等式，并把解集在数轴上表示出来：
(1)2(x＋1)－1≥3x＋2；
解：去括号，得2x＋2－1≥3x＋2.
移项，得2x－3x≥2－2＋1.
合并同类项，得－x≥1.
系数化为1，得x≤－1.
其解集在数轴上表示为：
(2)3(x－1)＜4(x－)－3；
解：去括号，得3x－3＜4x－2－3.
移项，得3x－4x＜3－2－3.
合并同类项，得－x＜－2.
系数化为1，得x＞2.
其解集在数轴上表示为：
(3)≥3(x－1)－4；
解：去分母，得x＋1≥6(x－1)－8.
去括号，得x＋1≥6x－6－8.
移项，得x－6x≥－6－1－8.
合并同类项，得－5x≥－15.
系数化为1，得x≤3.
其解集在数轴上表示为：
(4)－≤1.
解：去分母，得2(2x－1)－(9x＋2)≤6.
去括号，得4x－2－9x－2≤6.
移项，得4x－9x≤6＋2＋2.
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合并同类项，得－5x≤10.
系数化为1，得x≥－2.
其解集在数轴上表示为：
综合题
16．已知关于x的方程4(x＋2)－2＝5＋3a的解不小于方程＝的解，试求a的取值范围．
解：解方程4(x＋2)－2＝5＋3a，得x＝.
解方程＝，得x＝.
依题意，得≥.
解得a≤－.
故a的取值范围为a≤－.
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第2课时 一元一次不等式的应用
基础题
知识点1 一元一次不等式的简单应用
列不等式解应用题的一般步骤：(1)审题：弄清题意及题目中的数量关系；(2)设未知数，可直接设也可间接设；(3)列出不等式；(4)解不等式，并验证解的正确性；(5)写出答案．
1．为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金不超过3 000元．若每个篮球80元，每个足球50元，则篮球最多可购买( A )
A．16个 B．17个 C．33个 D．34个
2．(教材P125练习T2变式)某次数学竞赛中出了10道题，每答对一题得5分，每答错一题扣3分，答题只有对错之分．如果至少得10分，那么至少要答对( B )
A．4道题 B．5道题 C．6道题 D．无法确定
3．已知在某超市内购物总金额超过190元时，购物总金额有打八折的优惠，安妮带200元到某超市买甲种饮料．若该饮料每瓶9元，则她最多可买多少瓶该饮料( C )
A．22 B．23 C．27 D．28
4．为了举行班级晚会，孔明准备去商店购买20个乒乓球做道具，并买一些乒乓球拍做奖品．已知乒乓球每个1.5元，球拍每个22元．如果购买金额不超过200元，且买的球拍尽可能多，那么孔明应该买多少个球拍？
解：设购买球拍x个．依题意，得
1．5×20＋22x≤200.
解得x≤7.
由于x取整数，故x的最大值为7.
答：孔明应该买7个球拍．
知识点2 利用一元一次不等式设计方案
5．某商店5月1日举行促销优惠活动，当天到该商店购买商品有两种方案．方案一：用168元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折优惠；方案二：若不购买会员卡，则购买商店内任何商品，一律按商品价格的9.5折优惠．已知小敏5月1日前不是该商店的会员．
(1)若小敏不购买会员卡，所购买商品的价格为120元时，实际应支付多少元？
(2)请帮小敏算一算，所购买商品的价格在什么范围内时，采用方案一更合算？
解：(1)120×0.95＝114(元)．
答：实际应支付114元．
(2)设购买商品的价格为x元．由题意，得
0．8x＋168＜0.95x.解得x＞1 120.
答：当购买商品的价格超过1 120元时，采用方案一更合算．
6．为响应市政府“创建国家森林城市”的号召，某小区计划购进A，B两种树苗共17棵，已知A种树苗每棵80元，B种树苗每棵60元．
(1)若购进A，B两种树苗刚好用去1 220元，问购进A，B两种树苗各多少棵？
(2)若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．
解：(1)设购进A种树苗x棵，则购进B种树苗(17－x)棵．根据题意，得
80x＋60(17－x)＝1 220.解得x＝10.
∴17－x＝7.
答：购进A种树苗10棵，B种树苗7棵．
(2)设购进A种树苗y棵，则购进B种树苗(17－y)棵．根据题意，得
17－y＜y.解得y＞8.
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购进A，B两种树苗所需费用为80y＋60(17－y)＝20y＋1 020.
则费用最省时y取最小整数9，此时17－y＝8，这时所需费用为20×9＋1 020＝1 200(元)．
答：费用最省方案为：购进A种树苗9棵，B种树苗8棵．这时所需费用为1 200元．
中档题
7．三个连续正整数的和小于39，这样的正整数中，最大一组的和是( B )
A．39 B．36 C．35 D．34
8．(2017·牡丹江)某种商品的进价为每件100元，商场按进价提高50%后标价，为增加销量，准备打折销售，但要保证利润率不低于20%，则至多可以打8折．
9．(2018·山西)2018年国内航空公司规定：旅客乘机时，免费携带行李箱的长，宽，高三者之和不超过115 cm.某厂家生产符合该规定的行李箱．已知行李箱的宽为20 cm，长与高的比为8∶11，则符合此规定的行李箱的高的最大值为55cm.
10．2018年的5月20日是第18个中国学生营养日，我市某校社会实践小组在这天开展活动，调查快餐营养情况．他们从食品安全监督部门获取了一份快餐的信息(如图一长方形内)．若这份快餐中所含的蛋白质与碳水化合物的质量之和不高于这份快餐总质量的70%，求这份快餐最多含有多少克的蛋白质？
解：设这份快餐含有x克的蛋白质，则这份快餐含有4x克的碳水化合物．根据题意，得
x＋4x≤400×70%.
解得x≤56.
答：这份快餐最多含有56克的蛋白质．
11．(2018·贺州)某自行车经销商计划投入7.1万元购进100辆A型和30辆B型自行车，其中B型车单价是A型车单价的6倍少60元．
(1)求A，B两种型号的自行车单价分别是多少元？
(2)后来由于该经销商资金紧张，投入购车的资金不超过5.86万元，但购进这批自行车的总数不变，那么至多能购进B型车多少辆？
解：(1)设A型自行车的单价为x元/辆，B型自行车的单价为y元/辆．根据题意，得
解得
答：A型自行车的单价为260元/辆，B型自行车的单价为1 500元/辆．
(2)设购进B型自行车m辆，则购进B型自行车(130－m)辆，根据题意，得
260(130－m)＋1 500m≤58 600，
解得m≤20.
答：至多能购进B型车20辆．
综合题
12．某服装厂生产一种西装和领带，西装每套定价200元，领带每条定价40元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：
方案一：买一套西装送一条领带；
方案二：西装和领带都按定价的90%付款．
现某客户要到该服装厂购买西装20套，领带x条．
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(1)若x＝30，通过计算可知方案一购买较为合算；(只填“方案一”或“方案二”，不要求解题过程)
(2)当x＞20时，
①该客户按方案一购买，需付款(40x＋3__200)元；(用含x的式子表示)
②该客户按方案二购买，需付款(36x＋3__600)元；(用含x的式子表示)
③这两种方案中，哪一种方案更省钱？
解：若按方案一购买更省钱，则有
40x＋3 200＜36x＋3 600.解得x＜100.
即当买的领带数少于100时，方案一付费较少．
若按方案二购买更省钱，则有
40x＋3 200＞36x＋3 600.解得x＞100.
即当买的领带数超过100时，方案二付费较少；
若40x＋3 200＝36x＋3 600，解得x＝100.
即当买100条领带时，两种方案付费一样．
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周周练(9.1～9.2)
(时间：45分钟 满分：100分)
一、选择题(每小题4分，共32分)
1．下列式子是一元一次不等式的是( A )
A．x＜3 B.＞1 C．5＞2 D．x＜y＋1
2．下列数值中不是不等式5x≥2x＋9的解的是( D )
A．5 B．4 C．3 D．2
3．(2018·舟山)不等式1－x≥2的解集在数轴上表示正确的是( A )
4．(2018·宿迁)若a＜b，则下列结论不一定成立的是( D )
A．a－1＜b－1 B．2a＜2b C．－＞－ D．a2＜b2
5．若关于x的一元一次方程2x＋3a＝1的解为x＝2，则关于m的一元一次不等式3－m＞a的解集为( B )
A．m＜2 B．m＜4 C．m＞2 D．m＞4
6．设a，b，c表示三种不同物体的质量，用天平称两次，情况如图所示，则这三种物体的质量从小到大排列正确的是( A )
A．c＜b＜a B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c
7．(2017·毕节)关于x的一元一次不等式≤－2的解集为x≥4，则m的值为( D )
A．14 B．7 C．－2 D．2
8．某射击运动员在一次比赛中(共10次射击，每次射击最多是10环)，前6次射击共中52环．如果他要打破89环的记录，那么第7次射击不能少于( D )
A．5环 B．6环 C．7环 D．8环
二、填空题(每小题3分，共18分)
9．用不等式表示“y的与5的和是正数”为y＋5＞0．
10．(2017·钦州期末)不等式6x＋8＞3x＋17的解集为x＞3．
11．若不等式(a－2)x＜1，两边除以a－2后变成x＞，则a的取值范围是a＜2．
12．不等式3(x－1)≤5－x的非负整数解有3个．
13．某校规定期中考试成绩的40%和期末考试成绩的60%的和作为学生成绩总成绩．该校李红同学期中数学考了85分，她希望自己学期总成绩不低于90分，则她在期末考试中数学至少应得多少分？设她在期末应考x分，可列不等式为40%×85＋60%x≥90．
14．(2017·南宁期末)若关于x，y的二元一次方程组的解也是2x＋3y＜16的解，则k的取值范围是k＜2．
三、解答题(共50分)
15．(10分)解下列不等式，并将其解集在数轴上表示出来．
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(1)8x－1≥6x＋3；
解：移项，得8x－6x≥3＋1.
合并同类项，得2x≥4.
系数化为1，得x≥2.
其解集在数轴上表示为：
(2)2x－1＜.
解：去分母，得12x－6＜10x＋1.
移项，得12x－10x＜1＋6.
合并同类项，得2x＜7.
系数化为1，得x＜.
其解集在数轴上表示为：
16．(8分)式子与x－2的差是负数，求x的取值范围．
解：∵与x－2的差是负数，
∴－(x－2)＜0.
解得x＞1.
17．(8分)关于x的方程kx－1＝2x的解为正实数，求k的取值范围．
解：解方程kx－1＝2x，
得x＝.
∵x＝，且x＞0，
∴＞0.
∴k－2＞0.
解得k＞2.
∴k的取值范围是k＞2.
18．(10分)(2017·呼和浩特)已知关于x的不等式＞x－1.
(1)当m＝1时，求该不等式的解集；
(2)m取何值时，该不等式有解，并求出解集．
解：(1)当m＝1时，该不等式为＞x－1，
解得x＜2.
(2)∵＞x－1，
∴2m－mx＞x－2.
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∴－mx－x＞－2－2m.
∴(m＋1)x＜2(1＋m)．
∵该不等式有解，
∴m＋1≠0，即m≠－1.
当m＞－1时，不等式的解集为x＜2；
当x＜－1时，不等式的解集为x＞2.
19．(14分)(2017·玉林期末)某电器超市销售每台进价分别为200元，170元的A，B两种型号的电风扇，表中是近两周的销售情况：
(进价、售价均保持不变，利润＝销售收入－进货成本)
(1)求A，B两种型号的电风扇的销售单价；
(2)若超市准备用不多于5 400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？
(3)在(2)的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润为1 400元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
解：(1)设A，B两种型号电风扇的销售单价分别为x元，y元，依题意，得
解得
答：A，B两种型号电风扇的销售单价分别为250元，210元．
(2)设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇(30－a)台．依题意，得
200a＋170(30－a)≤5 400.
解得a≤10.
答：超市最多采购A种型号电风扇10台时，采购金额不多于5 400元．
(3)依题意有
(250－200)a＋(210－170)(30－a)＝1 400，
解得a＝20.
∵a≤10，
∴在(2)的条件下超市不能实现利润1 400元的目标．
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9.3 一元一次不等式组
基础题
知识点1 一元一次不等式组的概念
类似于方程组，把两个一元一次不等式合起来，组成一个一元一次不等式组．
1．下列不等式组是一元一次不等式组的是( A )
A. B. C. D.
知识点2 一元一次不等式组的解法
几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集，再利用数轴可以直观地表示出这些解集的公共部分，或利用口诀求这些解集的公共部分，从而得出不等式组的解集．确定不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，小大大小中间找，大大小小解不了．
2．(2017·南宁期末)一个不等式组中的两个不等式的解集在数轴上表示如图，则这个不等式组的解集为( D )
A．x＞－1 B．x＜1 C．－1≤x＜1 D．－1＜x≤1
3．下列四个数中，为不等式组的解的是( C )
A．－1 B．0 C．1 D．2
4．(2018·襄阳)不等式组的解集为( B )
A．x＞ B．x＞1 C.＜x＜1 D．空集
5．(2017·广西四市同城)一元一次不等式组的解集在数轴上表示为( A )
6．(2018·扬州)不等式组的解集为－3＜x≤．
7．(2018·天津)解不等式组：
请结合题意填空，完成本题的解答．
(1)解不等式①，得x≥－2；
(2)解不等式②，得x≤1；
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
(4)原不等式组的解集为－2≤x≤1．
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8．(2017·玉林期末)不等式组的整数解为0，1．
9．解不等式组：
(1)
解：解不等式①，得x＜4.
解不等式②，得x≥2.
∴不等式组的解集为2≤x＜4.
(2)
解：解不等式①，得x≥3.
解不等式②，得x＞5.
∴不等式组的解集为x＞5.
易错点 已知解集确定端点值时忽视等号
10．关于x的不等式组的解集为x＞1，则a的取值范围是( D )
A．a＞1 B．a＜1 C．a≥1 D．a≤1
中档题
11．(2018·广安)已知点P(1－a，2a＋6)在第四象限，则a的取值范围是( A )
A．a＜－3 B．－3＜a＜1 C．a＞－3 D．a＞1
12．(2017·鄂州)对于不等式组下列说法正确的是( A )
A．此不等式组的正整数解为1，2，3 B．此不等式组的解集为－1＜x≤
C．此不等式组有5个整数解 D．此不等式组无解
13．如果不等式组的解集是x＜2，那么m的取值范围是( D )
A．m＝2 B．m＞2 C．m＜2 D．m≥2
14．在关于x，y的方程组 中，未知数满足x≥0，y＞0，那么m的取值范围在数轴上应表示为( C )
15．(2018·贵阳)已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是a≥2．
16．解下列不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
(1)
解：解不等式①，得x＞1.
解不等式②，得x≤4.
∴不等式组的解集是1＜x≤4.
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在数轴上表示为：
(2)(2018·威海)
解：解不等式①，得x＞－4.
解不等式②，得x≤2.
∴不等式组的解集为－4＜x≤2.
在数轴上表示为：
17．解不等式组把不等式组的解集在数轴上表示出来，并写出不等式组的非负整数解．
解：解不等式①，得x≥－1.
解不等式②，得x＜3.
∴原不等式组的解集是－1≤x＜3.
在数轴上表示如下：
∴不等式组的非负整数解有0，1，2.
综合题
18．(2017·黄石)已知关于x的不等式组恰好有两个整数解，求实数a的取值范围．
解：解不等式①，得x＞－2.
解不等式②，得x≤4＋a.
∵不等式组有解，
∴不等式组的解集是－2＜x≤4＋a.
又∵不等式组恰好有两个整数解，
∴这两个整数解是－1和0.
∴0≤4＋a＜1.
解得－4≤a＜－3.
∴实数a的取值范围是－4≤a＜－3.
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小专题(八) 一元一次不等式(组)的解法
类型1 解一元一次不等式
1．解不等式2(x＋1)＜3x，并把解集在数轴上表示出来．
解：去括号，得2x＋2＜3x.
移项、合并同类项，得－x＜－2.
系数化为1，得x＞2.
解集在数轴上表示为：
2．(2018·桂林)解不等式＜x＋1，并把它的解集在数轴上表示出来．
解：去分母，得5x－1＜3x＋3.
移项，得5x－3x＜3＋1.
合并同类项，得2x＜4.
系数化为1，得x＜2.
将不等式的解集表示在数轴上如下：
3．(2017·镇江)解不等式：＞1－.
解：去分母，得2x＞6－3(x－2)．
去括号，得2x＞6－3x＋6.
移项、合并同类项，得5x＞12.
系数化为1，得x＞.
4．解不等式－≤1，把它的解集在数轴上表示出来，并求出这个不等式的负整数解．
解：去分母，得2(2x－1)－(9x＋2)≤6.
去括号，得4x－2－9x－2≤6.
移项，得4x－9x≤6＋2＋2.
合并同类项，得－5x≤10.
系数化为1，得x≥－2.
解集在数轴上表示为：
该不等式的负整数解为－2，－1.
类型2 解一元一次不等式组
5．(2017·河池)解不等式组：
解：解不等式①，得x＞.
解不等式②，得x＜2.
∴不等式组的解集为＜x＜2.
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6．解不等式组：并在数轴上表示解集．
解：解不等式①，得x＜.
解不等式②，得x≥－1.
∴不等式组的解集为－1≤x＜.
解集在数轴上表示为：
7．x取哪些整数值时，不等式5x＋2＞3(x－1)与x≤2－x都成立？
解：联立
解不等式①，得x＞－.
解不等式②，得x≤1.
∴－＜x≤1.
故满足条件的x的整数值有－2，－1，0，1.
8．解不等式组并写出该不等式组的最大整数解．
解：解不等式①，得x≥－2.
解不等式②，得x＜1.
∴不等式组的解集为－2≤x＜1.
∴不等式组的最大整数解为0.
9．解不等式组把解集表示在数轴上，并求出不等式组的整数解．
解：解不等式①，得x≥－.
解不等式②，得x＜3.
∴不等式组的解集为－≤x＜3.
解集在数轴上表示为：
∴不等式组的整数解是－1，0，1，2.
类型3 解含参数的不等式(组)
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10．(2018·恩施)关于x的不等式组的解集为x＞3，那么a的取值范围为( D )
A．a＞3 B．a＜3 C．a≥3 D．a≤3
11.(2018·贵港)若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是( A )
A．a≤－3 B．a＜－3 C．a＞3 D．a≥3
12．若关于x的不等式x－m＞0恰有两个负整数解，则m的取值范围是( B )
A．－3＜m＜－2 B．－3≤m＜－2 C．－3≤m≤－2 D．－3＜m≤－2
13．(2017·百色)若关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解，则正数a的最小值是( B )
A．3 B．2 C．1 D.
14．若关于x的一元一次不等式组有解，则m的取值范围为m＞．
15．(2017·广州南沙区期末)若不等式组的解集为－2＜x＜4，求a，b的值．
解：解不等式①，得x＞a＋8.
解不等式②，得x＜.
∵不等式组的解集为－2＜x＜4，
∴
解得
16．若关于x的不等式组只有4个整数解，求a的取值范围．
解：解不等式①，得x＜21.
解不等式②，得x＞2－3a.
∵不等式组只有4个整数解，
∴不等式组的解集为2－3a＜x＜21，
且不等式组的4个整数解为20，19，18，17.
∴16≤2－3a＜17.
解得－5＜a≤－.
∴a的取值范围是－5＜a≤－.
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小专题(九) 方程(组)与一元一次不等式的综合应用
1．(2017·贵港)某次篮球联赛初赛阶段，每队有10场比赛，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分，积分超过15分才能获得参赛资格．
(1)已知甲队在初赛阶段的积分为18分，求甲队初赛阶段胜、负各多少场；
(2)如果乙队要获得参加决赛资格，那么乙队在初赛阶段至少要胜多少场？
解：(1)设甲队初赛阶段胜了x场，则负了(10－x)场，根据题意，得
2x＋(10－x)＝18，解得x＝8.
则10－x＝2.
答：甲队初赛阶段胜了8场，负了2场．
(2)设乙队在初赛阶段胜a场，根据题意，得
2a＋(10－a)＞15，解得a＞5.
答：乙队在初赛阶段至少要胜6场．
2．(2018·哈尔滨)春平中学要为学校科技活动小组提供实验器材，计划购买A型、B型两种型号的放大镜．若购买8个A型放大镜和5个B型放大镜需用220元；购买4个A型放大镜和6个B型放大镜需用152元．
(1)求每个A型放大镜和每个B型放大镜各多少元；
(2)春平中学决定购买A型放大镜和B型放大镜共75个，总费用不超过1 180元，那么最多可以购买多少个A型放大镜？
解：(1)设每个A型放大镜和每个B型放大镜分别为x元、y元．可得
解得
答：每个A型放大镜和每个B型放大镜分别为20元，12元．
(2)设购买A型放大镜a个，根据题意，得
20a＋12×(75－a)≤1 180，
解得：a≤35.
答：最多可以购买35个A型放大镜．
3．(2018·资阳)为了美化市容市貌，政府决定将城区旁边一块162亩的荒地改建为湿地公园，规划公园分为绿化区和休闲区两部分．
(1)若休闲区面积是绿化区面积的20%，求改建后的绿化区和休闲区各有多少亩？
(2)经预算，绿化区的改建费用平均每亩35 000元，休闲区的改建费用平均每亩25 000元，政府计划投入资金不超过550万元，那么绿化区的面积最多可以达到多少亩？
解：(1)设改建后的绿化区面积为x亩．
由题意，得x＋20%·x＝162，
解得x＝135，
162－135＝27(亩)．
答：改建后的绿化区面积为135亩，休闲区面积为27亩．
(2)设绿化区的面积为m亩．
由题意，得35 000m＋25 000(162－m)≤5 500 000，
解得m≤145.
答：绿化区的面积最多可以达到145亩．
4．(2017·钦州期末)“五一”期间，某校若干名教师带领学生组成旅游团到A地旅游，甲旅行社的收费标准是：教师无优惠，学生按原价七折优惠；乙旅行社的收费标准是：5人以上(含5人)可购团体票，团体票按原价的八折优惠．这两家旅行社的全票价均为每人300元．
(1)若这个旅行团选择甲旅行社，则花费3 300元；若选择乙旅行社，则花费比选择甲旅行社多60元．请问这个旅行团教师有多少人？学生有多少人？
(2)如果教师人数不变，那么学生人数在什么范围内时，选择乙旅行社更省钱？
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解：(1)设教师有x人，学生有y人．根据题意，得
解得
答：教师有4人，学生有10人．
(2)设学生人数是m(m＞0)人时，选择乙旅行社更省钱．依题意，得
4×300＋300×0.7m＞300×0.8×(4＋m)，
解得m＜8.
答：当学生人数m满足0＜m＜8时，选择乙旅行社更省钱．
5．(教材P126习题T8变式)蔬菜经营户老王，近两天经营的是青菜和西兰花．
(1)昨天的青菜和西兰花的进价和售价如表，老王用600元批发青菜和西兰花共200市斤，当天售完后老王一共能赚多少元钱？
青菜
西兰花
进价(元/市斤)
2.8
3.2
售价(元/市斤)
4
4.5
(2)今天因进价不变，老王仍用600元批发青菜和西兰花共200市斤．但在运输中青菜损坏了10%，而西兰花没有损坏仍按昨天的售价销售，要想当天售完后所赚的钱不少于昨天所赚的钱，请你帮老王计算，应怎样给青菜定售价？(结果精确到0.1)
解：(1)设批发青菜x市斤，西兰花y市斤．根据题意，得
解得
即批发青菜100市斤，西兰花100市斤．
100×(4－2.8)＋100×(4.5－3.2)＝250(元)．
答：当天售完后老王一共能赚250元．
(2)设给青菜定售价为a元/市斤．根据题意，得
100×(1－10%)×(a－2.8)＋100×(4.5－3.2)≥250.
解得x≥4≈4.1.
答：应给青菜定售价不低于4.1元/市斤．
6．(2017·广州荔湾区期末)为了加强对校内外安全监控，创建荔湾平安校园，某学校计划增加15台监控摄像设备，现有甲、乙两种型号的设备，其中每种的价格和有效监控半径如表所示，经调查，购买1台甲型设备比购买1台乙型设备多花150元，购买2台甲型设备比购买3台乙型设备少花400元．
甲型
乙型
价格(元/台)
a
b
有效监控半径(米/台)
150
100
(1)求a，b的值．
(2)若购买该批设备的资金不超过11 000元，且两种型号的设备均要至少买一台，学校有哪几种购买方案？
(3)在(2)问的条件下，若要求监控半径覆盖范围不低于1 600米，为了节约资金，请你设计一种最省钱的购买方案．
解：(1)由题意，得
解得
(2)设购买甲型设备x台，则购买乙型设备(15－x)台．依题意得
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850x＋700(15－x)≤11 000.
解得x≤3.
∵两种型号的设备均要至少买一台，
∴x＝1，2或3.
∴有3种购买方案：
①甲型设备1台，乙型设备14台；
②甲型设备2台，乙型设备13台；
③甲型设备3台，乙型设备12台．
(3)依题意，得150x＋100(15－x)≥1 600，
解得x≥2.
∴x取2或3.
当x＝2时，购买所需资金为：
850×2＋700×13＝10 800(元)；
当x＝3时，购买所需资金为：
850×3＋700×12＝10 950(元)，
∵10 800＜10 950，
∴最省钱的购买方案为：购买甲型设备2台，乙型设备13台．
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章末复习(五) 不等式与不等式组
分点突破
知识点1 不等式及其解集的概念
1．下列式子：①3＞0；②4x＋3y＞0；③x＝3；④x－1；⑤x＋2≤3；⑥2x≠0.其中不等式有( C )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．下列说法正确的是( A )
A．x＝4是不等式2x＞－8的一个解 B．x＝－4是不等式2x＞－8的解集
C．不等式2x＞－8的解集是x＞4 D．2x＞－8的解集是x＜－4
知识点2 不等式的性质
3．下列不等式变形正确的是( D )
A．由a＜b，得ac＜bc B．由x＞y且m≠0，得－＜－
C．由x＞y，得xz2＞yz2 D．由xz2＞yz2，得x＞y
4．(2017·广州期末)若m＜n，则3m－2＜3n－2.
知识点3 一元一次不等式的解法
5．将不等式3x－2＜1的解集表示在数轴上，正确的是( D )
6．(2017·广州海珠区期末)当x＜－4时，式子3x－5的值大于5x＋3的值．
7．不等式2x＋9≥3(x＋2)的正整数解是1，2，3．
8．解不等式x＞x－2，并将其解集表示在数轴上．
解：去分母，得3x＞x－6.
移项，得3x－x＞－6.
合并同类项，得2x＞－6.
系数化为1，得x＞－3.
解集在数轴上表示为：
知识点4 一元一次不等式组的解法
9．一元一次不等式组的解集中，整数解的个数是( C )
A．4 B．5 C．6 D．7
10．(2017·南宁期末)解不等式组并将它的解集在数轴上表示出来．
解：解不等式①，得x≤1.
解不等式②，得x＞－7.
∴不等式组的解集为－7＜x≤1.
解集在数轴上表示为：
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知识点5 不等式的实际应用
11．小诚响应“低碳环保，绿色出行”的号召，一直坚持跑步与步行相结合的上学方式．已知小诚家距离学校2 200米，他步行的平均速度为80米/分，跑步的平均速度为200米/分．若他要在不超过20分钟的时间内从家到达学校，至少需要跑步多少分钟？
解：设他需要跑步x分钟．
由题意可得200x＋80(20－x)≥2 200，
解得x≥5.
答：小诚至少需要跑步5分钟．
易错题集训
12．若不等式3x－m≤0的正整数解是1，2，3，则m的取值范围是9≤m＜12．
13．(2018·黑龙江)若关于x的一元一次不等式组有2个负整数解，则a的取值范围是－3≤a＜－2．
常考题型演练
14．已知a是实数，且x＞y，则下列不等式中，正确的是( D )
A．ax＞ay B．a2x≤a2y C．a2x＞a2y D．a2x≥a2y
15．若不等式ax－2＞0的解集为x＜－2，则关于y的方程ay＋2＝0的解为( D )
A．y＝－1 B．y＝1 C．y＝－2 D．y＝2
16．(2018·乌鲁木齐)不等式组的解集是x≥1．
17．某商场的老板新进一批同型号的电脑，他要按进价提高20%才能出售，但为了获得更多利润，他以高出进价80%的价格标价．若你想买下标价为6 300元的这种电脑，最多降价2__100元商店老板还能出售．
18．对于任意实数m，n，定义一种运算：m※n＝mn－m－n＋3，等式的右边是通常的加减和乘法运算．例如：3※5＝3×5－3－5＋3＝10.请根据上述定义解决问题：若a＜2※x＜7，且解集中有两个整数解，则a的取值范围是4≤a＜5．
19．(2018·黄石)解不等式组，并求出不等式组的整数解之和．
解：不等式(x＋1)≤2，得x≤3，
解不等式≥，得x≥0，
则不等式组的解集为0≤x≤3，
所以不等式组的整数解之和为0＋1＋2＋3＝6.
20．已知关于x，y的方程组
(1)求这个方程组的解(用含m的式子表示)；
(2)当m取何值时，这个方程组的解中，x大于1，y不小于－1.
解：(1)①－②，得3y＝1－m，则y＝.
①＋2×②，得3x＝1＋2m.则x＝.
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∴这个方程组的解为
(2)根据题意，得
解得1＜m≤4.
21．(2018·昆明)水是人类的生命之源．为了鼓励居民节约用水，相关部门实行居民生活用水阶梯式计量水价政策．若居民每户每月用水量不超过10立方米，每立方米按现行居民生活用水水价收费(现行居民生活用水水价＝基本水价＋污水处理费)；若每户每月用水量超过10立方米，则超过部分每立方米在基本水价基础上加价100%，每立方米污水处理费不变．甲用户4月份用水8立方米，缴水费27.6元；乙用户4月份用水12立方米，缴水费46.3元．(注：污水处理的立方数＝实际生活用水的立方数)
(1)求每立方米的基本水价和每立方米的污水处理费各是多少元？
(2)如果某用户7月份生活用水水费计划不超过64元，该用户7月份最多可用水多少立方米？
解：(1)设每立方米的基本水价是x元，每立方米的污水处理费是y元，依题意得
解得
答：每立方米的基本水价是2.45元，每立方米的污水处理费是1元．
(2)设该用户7月份可用水t立方米(t＞10)，则
10×2.45＋(t－10)×4.9＋t≤64，
解得t≤15.
答：如果某用户7月份生活用水消费计划不超过64元，该用户7月份最多可用水15立方米．
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