专题四 阅读理解问题
1．(改编题)定义新运算：ab＝a(b－1)，若a，b是关于一元二次方程x2－x＋m＝0的两实数根，则bb－aa的值为( B )
A．－1 B．0
C．1 D．2
2．在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上取定一点O为极点；从点O出发引一条射线Ox称为极轴；线段OP的长度称为极径．点P的极坐标就可以用线段OP的长度以及从Ox转动到OP的角度(规定逆时针方向转动角度为正)来确定，即P(3,60°)或P(3，－300°)或P(3,420°)等，则点P关于点O成中心对称的点Q的极坐标表示不正确的是( D )
A．Q(3,240°) B．Q(3，－120°)
C．Q(3,600°) D．Q(3，－500°)
3．定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.8]＝1，[－1.4]＝－2，[－3]＝－3.函数y＝[x]的图象如图所示，则方程[x]＝x2的解为( A )
A．0或 B．0或2
C．1或－ D．或－
4．定义运算：a⊗b＝a(1－b)．下面给出了关于这种运算的几种结论：①2⊗(－2)＝6；②a⊗b＝b⊗a；③若a＋b＝1，则(a⊗a)＝(b⊗b)；④若b⊗a＝0，则a＝0或b＝1.其中结论正确的序号是( D )
A．②④ B．②③
C．①④ D．①③
5．(2018·湘潭)阅读材料：若ab＝n，则b＝log，称b为以a为底N的对数．例如23＝8，则log＝log232＝3.根据材料填空：log＝__2__.
6．(原创题)定义为二阶行列式，规定它的运算法则为＝ad－bc，那么当x
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＝1时，二阶行列式的值为__0__.
7．(改编题)定义：在平面直角坐标系xOy中，任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)之间的“直角距离”为d(A，B)＝|x1－x2|＋|y1－y2|；已知点A(1,1)，那么d(A，O)＝__2__.
8．已知以点C(a，b)为圆心，半径为r的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.例如：已知以点A(2,3)为圆心，半径为2的圆的标准方程为(x－2)2＋(y－3)2＝4，则以原点为圆心，过点P(1,0)的圆的标准方程为__x2＋y2＝1__.
9．设a，b是任意两个实数，规定a与b之间的一种运算“⊕”为a⊕b＝如1⊕(－3)＝＝－3，(－3)⊕2＝(－3)－2＝－5，(x2＋1)⊕(x－1)＝.(因为x2＋1＞0)
参照上面材料，解答下列问题：
(1)2⊕4＝__2__，(－2)⊕4＝__－6__；
(2)若x＞，且满足(2x－1)⊕(4x2－1)＝(－4)⊕(1－4x)，求x的值．
解：(2)∵x>，∴2x－1＞0，∴(2x－1)⊕(4x2－1)＝＝＝2x＋1，(－4)⊕(1－4x)＝－4－(1－4x)＝－4－1＋4x＝－5＋4x.∴2x＋1＝－5＋4x，解得x＝3.
10．(2018·内江)对于三个数a，b，c用M{a，b，c}表示这三个数的中位数，用max{a，b，c}表示这三个数中最大数，例如：M{－2，－1,0}＝－1，max{－2，－1,0}＝0，max{－2，－1，a}＝
解决问题：
(1)填空：M{sin 45°，cos 60°，tan 60°}＝__sin__45°__，如果max{3,5－3x,2x－6}＝3，则x的取值范围为__≤x≤__；
(2)如果2·M{2，x＋2，x＋4}＝max{2，x＋2，x＋4}，求x的值；
(3)如果M{9，x2,3x－2}＝max{9，x2,3x－2}，求x的值．
解：(2)当x＋4＞x＋2＞2时，M{2，x＋2，x＋4}＝x＋2，max{2，x＋2，x＋4}＝x＋4，∴2·(x＋2)＝x＋4，解得x＝0；当2＞x＋4＞x＋2时，M{2，x＋2，x＋4}＝x＋4，max{2，x＋2，x＋4}＝2，∴2·(x＋4)＝2，解得x＝－3，当x＋4＞2＞x＋2时，M{2，x＋2，x＋4}＝2，max{2，x＋2，x＋4}＝x＋4，∴2·2＝x＋4，解得x＝0；所以综上所述，x的值为0或－3；
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(3)∵将M{9，x2,3x－2}中的三个元素分别用三个函数表示，即y＝9，y＝x2，y＝3x－2，在同一个直角坐标系中表示如下：由几个交点划分区间，分类讨论：当x≤－3时，可知M{9，x2,3x－2}＝9，max{9，x2,3x－2}＝x2，得x2＝9，x＝±3，x＝3(舍)，∴x＝－3；当－3＜x＜1时，可知M{9，x2,3x－2}＝x2，max{9，x2,3x－2}＝9，得x2＝9，∴x＝±3(舍)；当1≤x≤2时，可知M{9，x2,3x－2}＝3x－2，max{9，x2,3x－2}＝9，得3x－2＝9，∴x＝(舍)；当2＜x≤3时，可知M{9，x2,3x－2}＝x2，max{9，x2,3x－2}＝9，得x2＝9，∴x＝±3，x＝－3(舍)，∴x＝3；当3＜x≤时，可知M{9，x2,3x－2}＝9，max{9，x2,3x－2}＝x2，得x2＝9，∴x＝±3(舍)；当x＞时，可知M{9，x2,3x－2}＝3x－2，max{9，x2,3x－2}＝x2，得3x－2＝x2，∴x1＝1(舍)；x2＝2(舍)．综上所述，满足条件的x的值为3或－3.
11．(2018·德州)【阅读教材】
宽与长的比是(约为0.618)的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．(提示：MN＝2)
第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平．
第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平．
第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图③中所示的AD处．
第四步，展平纸片，按照所得的点D折出DE，使DE⊥ND，则图④中就会出现黄金矩形．
【问题解决】
(1)图③中AB＝____(保留根号)；
(2)如图③，判断四边形BADQ的形状，并说明理由；
(3)请写出图④中所有的黄金矩形，并选择其中一个说明理由．
【实际操作】
(4)结合图④.请在矩形BCDE中添加一条线段，设计一个新的黄金矩形，用字母表示出来，并写出它的长和宽．
解：(2)四边形BADQ是菱形．
理由如下：∵四边形ACBF是矩形，∴BQ∥AD，∴∠BQA＝∠QAD，由折叠得：∠BAQ＝
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∠DQA，AB＝AD，∴∠BQA＝∠BAQ，∴BQ＝AB，∴BQ＝AD，∵BQ∥AD，∴四边形BADQ是平行四边形．∵AB＝AD，∴四边形BADQ是菱形；
(3)图④中的黄金矩形有矩形BCDE、矩形MNDE，以黄金矩形BCDE为例，理由如下：∵AD＝，AN＝AC＝1，∴CD＝AD－AC＝－1，又∵BC＝2，∴＝，故矩形BCDE是黄金矩形；
(4)如图，在矩形BCDE上添加线段GH，使四边形GCDH为正方形，此时四边形BGHE为所要作的黄金矩形长GH＝－1，宽BG＝3－，＝＝.
12．我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”，例如图1，图2，图3中，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”，设BC＝a，AC＝b，AB＝c.
【特例探索】
(1)如图1，当∠ABE＝45°，c＝2时，a＝__2__，b＝__2__；如图2，当∠ABE＝30°，c＝4时，a＝__2__，b＝__2__；
【归纳证明】
(2)请你观察(1)中的计算结果，猜想a2，b2，c2三者之间的关系，用等式表示出来，请利用图3证明你发现的关系式；
【拓展应用】
(3)如图4，在▱ABCD中，点E，F，G分别是AD，BC，CD的中点，BE⊥EG，AD＝2，AB＝3.求AF的长．
解：(2)猜想：a2，b2，c2三者之间的关系是：a2＋b2＝5c2，证明：如图3，连接EF，∵AF，BE是△ABC的中线，∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥AB，且EF＝AB＝c，∴＝＝，设PF＝m，PE＝n则AP＝2m，PB＝2n，在Rt△APB中，(2m)2＋(2n)2＝c2①，在Rt△APE中，(2m)2＋n2＝2②，在Rt△BPF中，m2＋(2n)2＝2③，由①得：m2＋n2＝，由②＋③得：5(
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m2＋n2)＝，∴a2＋b2＝5c2；
(3)如图4，连接AC，EF交于H，AC与BE交于点Q，设BE与AF的交点为P，∵点E，G分别是AD，CD的中点，∴EG∥AC，∵BE⊥EG，∴BE⊥AC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC＝2，∴∠EAH＝∠FCH，∵E，F分别是AD，BC的中点，∴AE＝AD，BF＝BC，∴AE＝BF＝CF＝AD＝，∵AE∥BF，∴四边形ABFE是平行四边形，∴EF＝AB＝3，AP＝PF，在△AEH和△CFH中，∴△AEH≌△CFH，∴EH＝FH，∴EP，AH是△AFE的中线，由(2)的结论得：AF2＋EF2＝5AE2，∴AF2＝5()2－EF2＝16，∴AF＝4.
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