石家庄市2018-2019学年第一学期期末考试答案
高二数学（理科答案）
一、选择题：
1-5ADCAD 6-10ACCBC 11-12BB
二、填空题
13． 14． 15． 16．
三、解答题
17. 解析：（Ⅰ） 依题意，得10×(2×0.005＋a＋0.03＋0.04)＝1，…………………2分
解得a＝0.02. ……………………4分
（Ⅱ） 这100名学生语文成绩的平均分为
55×0.05＋65×0.4＋75×0.3＋85×0.2＋95×0.05…………………………7分
＝73 ． ……………………10分
18. 解：
（Ⅰ）由题意可设圆心坐标为(a，a)，则圆的标准方程为(x－a)2＋(y－a)2＝r2，
……………………………………2分
∴……………………4分
解得
故圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝5. ……………………………………6分
（Ⅱ）圆心(2,2)到直线的距离d =， ……………………………………9分
直线被圆C截得的弦长为. …………………………………12分
19.解：（Ⅰ）因为＝×9＝1.8，＝×37＝7.4， …………………………………2分
xiyi＝62，x2i＝16.6， …………………………………4分
所以b＝＝＝－11.5， …………………………………6分
a＝－b＝7.4＋11.5×1.8＝28.1，
故y对x的线性回归方程为y＝28.1－11.5x. ……………………………………8分
y＝28.1－11.5×1.9＝6.25(t)．
所以，如果价格定为1.9万元，则需求量大约是6.25 t. …………………………………12分
20.解：（1）证明：，分别为，的中点， …………………2分
又平面，平面，平面
………………………………………………4分
（2）平面，
平面
平面，.
四边形是正方形，.
以为原点,分别以直线为轴,轴, 轴
建立如图所示的空间直角坐标系，设，
,
，，，，，，
，.
，，分别为，，的中点，
，，，
，， ………………………………………………6分
设为平面的一个法向量，则,
即，令，得. ………………………………………………8分
设为平平面PBE的一个法向量,则
即，令，得. ……………………………………10分
所以.
所以平面FGH与平面PBE所成锐二面角的余弦值……………………………………12分
21.解：(1)设P(x，y)，则……………………3分
⇒x2＝4y.
所以E的方程为x2＝4y. ………………………………………5分
(2)证明：易知直线AB的斜率存在，设直线AB：y＝kx＋b，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
将直线AB的方程代入x2＝4y中，得x2－4kx－4b＝0，………………………………………7分
所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b. ………………………………………8分
·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋＝－4b＋b2＝－4⇒b＝2，……………………………………10分
所以直线AB恒过定点(0，2)． ………………………………12分
22.解：(1)设椭圆的焦距为2c，
∵离心率为，∴，……………………2分
∴3a2＝4c2，
又点(，0)是抛物线的焦点，∴c2＝3。
∴椭圆C的方程为＋y2＝1。 ………………………………………………4分
(2)∵＝＋，
∴四边形OANB为平行四边形，
当直线l的斜率不存在时，显然不符合题意；
当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为y＝kx＋3，
l与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
由⇒(1＋4k2)x2＋24kx＋32＝0 ………………………………………………6分
由Δ＝(24k)2－128(1＋4k2)＞0⇒k2＞2。
x1＋x2＝－，x1x2＝ ………………………………………………7分
∵S△OAB＝|OD||x1－x2|＝|x1－x2|，
∴S▱OANB＝2S△OAB＝3|x1－x2|＝
3＝3 ＝
3 ＝24 ， ………………………………………………9分
令k2－2＝t，则k2＝t＋2(由上式知t＞0)，
∴S▱OANB＝24＝24≤
24＝2，
当且仅当t＝，即k2＝时取等号，
∴当k＝±时，平行四边形OANB的面积的最大值为2。 …………………………………………11分
此时直线l的方程为y＝±x＋3。 ………………………………………………12分
附加题答案：
（Ⅰ）当时，.
令，解得
所以，函数的单调递增区间为.
（Ⅱ）方法1：若函数在上单调递增，则在上恒成立.
即，令.
则在上恒成立.
只需，得：
方法2：，令，即，
解得.
所以，的增区间为
又因为在上单调递增，所以
即 ，解得.
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