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2018-2019 学年广东省汕头市龙湖区九年级（上）期末数学模拟
试卷
一．选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分）
1. 下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2. 掷一枚均匀的骰子，骰子的 6 个面上分别刻有 1、2、3、4、5、6 点，则点数为奇数的概率是（ ）
A． B． C． D．
3. 小明家 2015 年年收入 20 万元，通过合理理财，2017 年年收入达到 25 万元，求这两年小明家年收入的平均增长率，设这两年年收入的平均增长率为 x，根据题意所列方程为
（ ）
A．20x2＝25 B．20（1+x）＝25
C．20（1+x）2＝25 D．20（1+x）+20（1+x）2＝25
4. 如图，在△ABC 中，D 为 AC 边上一点，∠DBC＝∠A，BC＝，AC＝3，则 CD 的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．
5. 如图，在△ABC 中，∠C＝90°，∠BAC＝70°，将△ABC 绕点 A 顺时针旋转 70°，B、
C 旋转后的对应点分别是 B′和 C′，连接 BB′，则∠BB′C′的度数是（ ）
A．35° B．40° C．45° D．50°
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1. 关于 x 的一元二次方程（k+1）x2﹣2x+1＝0 有两个实数根，则 k 的取值范围是（ ）
A．k≥0 B．k≤0 C．k＜0 且 k≠﹣1 D．k≤0 且 k≠﹣1 7．下列命题是真命题的是（ ）
A．如果 a+b＝0，那么 a＝b＝0
B． 的平方根是±4
C．有公共顶点的两个角是对顶角D．等腰三角形两底角相等
8. 如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，连接 OC 交⊙O 于点 D，连接 BD，∠C＝
40°．则∠ABD 的度数是（ ）
A．30° B．25° C．20° D．15°
9. 若一个圆锥的侧面展开图是半径为 18cm，圆心角为 120°的扇形，则这个圆锥的底面半径长是（ ）
A．3cm B．4.5cm C．6cm D．9cm
10. 已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度 h（m）与飞行时间 t（s）满足函数表达式h＝﹣t2+24t+1．则下列说法中正确的是（ ）
A. 点火后 9s 和点火后 13s 的升空高度相同
B. 点火后 24s 火箭落于地面
C. 点火后 10s 的升空高度为 139m D．火箭升空的最大高度为 145m
二．填空题（共 6 小题，满分 24 分，每小题 4 分）
11. 方程 x2﹣5x＝0 的解是 ．
12. 若关于 x 的二次函数 y＝ax2+a2 的最小值为 4，则 a 的值为 ．
13. 在平面直角坐标系中，A（2，﹣3）与点 B 关于原点对称，则点 B 的坐标是 ．
14. 如图，函数 y＝﹣x 与函数 y＝﹣的图象相交于 A，B 两点，过 A，B 两点分别作 y 轴的垂线，垂足分别为点 C，D．则四边形 ACBD 的面积为 ．
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8. 如图，直线 AB 分别交 x 轴，y 轴于点 A（﹣4，0），B（0，3），点 C 为 y 轴上的点，若以点 C 为圆心，CO 长为半径的圆与直线 AB 相切时，则点 C 的坐标为 ．
9. 如图，AB 是⊙O 的直径，点 D、E 是半圆的三等分点，AE、BD 的延长线交于点 C，若CE＝2，则图中阴影部分的面积为 ．
三．解答题（共 3 小题，满分 18 分，每小题 6 分）
17．解方程：x（x+4）＝﹣3（x+4）．
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18. 如图，在△ABC 中，D，E 分别是边 AB，AC 上的点，连接 DE，且∠ADE＝∠ACB．
（1） 求证：△ADE∽△ACB；
（2） 如果 E 是 AC 的中点，AD＝8，AB＝10，求 AE 的长．
19. 不透明的袋中装有 3 个大小相同的小球，其中两个为白色，一个为红色，随机地从袋中摸取一个小球后放回，再随机地摸取一个小球，（用列表或树形图求下列事件的概率）
（1） 两次取的小球都是红球的概率；
（2） 两次取的小球是一红一白的概率．
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四．解答题（共 3 小题，满分 21 分，每小题 7 分）
18. 方格纸中每个小正方形的边长都是单位 1，△OAB 在平面直角坐标系中的位置如图所示．解答问题：
（1） 请按要求对△ABO 作如下变换：
①将△OAB 向下平移 2 个单位，再向左平移 3 个单位得到△O1A1B1；
②以点 O 为位似中心，位似比为 2：1，将△ABC 在位似中心的异侧进行放大得到△OA2B2．
（2） 写出点 A1，A2 的坐标： ， ；
（3） △OA2B2 的面积为 ．
19. 某公司今年 1 月份的生产成本是 400 万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3 月份
的生产成本是 361 万元．
假设该公司 2、3、4 月每个月生产成本的下降率都相同．
（1） 求每个月生产成本的下降率；
（2） 请你预测 4 月份该公司的生产成本．
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18. 赵州桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约 1400 年，历经无数次洪水冲击和 8 次地震却安然无恙．如图，若桥跨度 AB 约为 40 米，主拱高 CD 约 10 米，
（1） 如图 1，尺规作图，找到桥弧所在圆的圆心 O（保留作图痕迹）；
（2） 如图 2，求桥弧 AB 所在圆的半径 R．
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五．解答题（共 3 小题，满分 27 分，每小题 9 分）
18. 如图，已知矩形 OABC 的两边 OA，OC 分别在 x 轴，y 轴的正半轴上，且点 B（4，3），
反比例函数 y＝图象与 BC 交于点 D，与 AB 交于点 E，其中 D（1，3）．
（1） 求反比例函数的解析式及 E 点的坐标；
（2） 求直线 DE 的解析式；
（3） 若矩形 OABC 对角线的交点为 F ，作 FG⊥x 轴交直线 DE 于点 G．
①请判断点 F 是否在此反比例函数 y＝的图象上，并说明理由；
②求 FG 的长度．
19. 如图，⊙O 经过菱形 ABCD 的三个顶点 A、C、D，且与 AB 相切于点 A．
（1） 求证：BC 为⊙O 的切线；
（2） 求∠B 的度数．
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18. 如图，在平面直角坐标系中有一直角三角形 AOB，O 为坐标原点，OA＝1，tan∠BAO
＝3，将此三角形绕原点 O 逆时针旋转 90°，得到△DOC，抛物线 y＝ax2+bx+c 经过点 A、B、C．
（1） 求抛物线的解析式；
（2） 若点 P 是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为 t，设抛物线对称轴 l 与 x 轴交于一点 E，连接 PE，交 CD 于 F，求以 C、E、F 为顶点三角形与△COD 相似时点 P 的坐标．
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参考答案
一．选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分） 1．【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项错误； B、不是中心对称图形，故本选项正确；
C、是中心对称图形，故本选项错误； D、是中心对称图形，故本选项错误； 故选：B．
2. 【解答】解：由题意可得，
点数为奇数的概率是： ， 故选：C．
3. 【解答】解：设这两年年收入的平均增长率为 x，由题意得：
20（1+x）2＝25， 故选：C．
4. 【解答】解：∵∠DBC＝∠A，∠C＝∠C，
∴△CBD∽△CAB，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴CD＝2， 故选：C．
5. 【解答】解：∵AB＝AB'，
∴∠ABB'＝∠AB'B＝ ＝ ＝55°， 在直角△BB'C 中，∠BB'C＝90°﹣55°＝35°．
故选：A．
6．【解答】解：根据题意得 k+1≠0 且△＝（﹣2）2﹣4（k+1）≥0，解得 k≤0 且 k≠﹣1．
故选：D．
7. 【解答】解：A、如果 a+b＝0，那么 a＝b＝0，或 a＝﹣b，错误，为假命题； B、的平方根是±2，错误，为假命题；
C、有公共顶点且相等的两个角是对顶角，错误，为假命题；
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D、等腰三角形两底角相等，正确，为真命题； 故选：D．
7. 【解答】解：∵AC 是⊙O 的切线，
∴∠OAC＝90°，
∵∠C＝40°，
∴∠AOC＝50°，
∵OB＝OD，
∴∠ABD＝∠BDO，
∵∠ABD+∠BDO＝∠AOC，
∴∠ABD＝25°， 故选：B．
8. 【解答】解：设这个圆锥的底面半径为 rcm，根据题意得 2πr＝ ，解得 r＝6，
所以这个圆锥的底面半径长为 6cm． 故选：C．
10【解答】解：A、当 t＝9 时，h＝136；当 t＝13 时，h＝144；所以点火后 9s 和点火后 13s
的升空高度不相同，此选项错误；
B、当 t＝24 时 h＝1≠0，所以点火后 24s 火箭离地面的高度为 1m，此选项错误；
C、当 t＝10 时 h＝141m，此选项错误；
D、由 h＝﹣t2+24t+1＝﹣（t﹣12）2+145 知火箭升空的最大高度为 145m，此选项正确； 故选：D．
二．填空题（共 6 小题，满分 24 分，每小题 4 分）
11【解答】解：直接因式分解得 x（x﹣5）＝0，解得 x1＝0，x2＝5．
12【解答】解：∵关于 x 的二次函数 y＝ax2+a2 的最小值为 4，
∴a2＝4，a＞0， 解得，a＝2， 故答案为：2．
13【解答】解：A（2，﹣3）与点 B 关于原点对称，则点 B 的坐标是（﹣2，3），故答案为：（﹣2，3）．
14【解答】解：∵过函数 y＝﹣ 的图象上 A，B 两点分别作 y 轴的垂线，垂足分别为点 C，
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D，
∴S△AOC＝S△ODB＝ |k|＝2， 又∵OC＝OD，AC＝BD，
∴S△AOC＝S△ODA＝S△ODB＝S△OBC＝2，
∴四边形 ABCD 的面积为：S△AOC+S△ODA+S△ODB+S△OBC＝4×2＝8． 故答案为：8．
15【解答】解：设 C（0，t），作 CH⊥AB 于 H，如图，AB＝＝5，
∵以点 C 为圆心，CO 长为半径的圆与直线 AB 相切，
∴CH＝OC，
当 t＞3 时，BC＝t﹣3，CH＝t，
∵∠CBH＝∠ABC，
∴△BHC∽△BOA，
∴CH：OA＝BC：BA，即 t：4＝（t﹣3）：5，解得 t＝﹣12（舍去）当 0＜t＜3 时，BC＝3﹣t，CH＝t，同样证明△BHC∽△BOA，
∴CH：OA＝BC：BA，即 t：4＝（3﹣t）：5，解得
当 t＜0 时，BC＝3﹣t，CH＝﹣t，同样证明△BHC∽△BOA，
∴CH：OA＝BC：BA，即﹣t：4＝（3﹣t）：5，解得 t＝﹣12，
综上所述，C 点坐标为（0，）或（0，﹣12）．故答案为（0，）或（0，﹣12）．
16【解答】解：连接 OE、OD，点 D、E 是半圆的三等分点，
∴∠AOE＝∠EOD＝∠DOB＝60°
∵OA＝OE＝OD＝OB
∴△OAE、△ODE、△OBD、△CDE 都是等边三角形，
∴AB∥DE，S△ODE＝S△BDE；
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∴图中阴影部分的面积＝S 扇形 OAE﹣S△OAE+S 扇形 ODE＝×2﹣ ×22＝ π﹣ ． 故答案为 π﹣ ．
三．解答题（共 3 小题，满分 18 分，每小题 6 分）
17．【解答】解：x（x+4）+3（x+4）＝0，
（x+4）（x+3）＝0，
x+4＝0 或 x+3＝0，
所以 x1＝﹣4，x2＝﹣3．
18【解答】解：（1）∵∠ADE＝∠ACB，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB；
（2）由（1）可知：：△ADE∽△ACB，
∴ ＝ ，
∵点 E 是 AC 的中点，设 AE＝x，
∴AC＝2AE＝2x，
∵AD＝8，AB＝10，
∴ ＝ ，
解得：x＝2 ，
∴AE＝2 ．
19【解答】解：（1）根据题意，有
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两次取的小球都是红球的概率为 ；
（2）由（1）可得，两次取的小球是一红一白的有 4 种；
故其概率为 ．
四．解答题（共 3 小题，满分 21 分，每小题 7 分）
20【解答】解：（1）①如图所示，△O1A1B1 即为所求；
②如图所示，△OA2B2 即为所求；
（2）由图可得，点 A1，A2 的坐标分别为（0，﹣1），（﹣6，﹣2）；故答案为：（0，﹣1），（﹣6，﹣2）；
（3）若以 x 轴为分割线，则△OA2B2 的面积为：
故答案为：10．
21【解答】解：（1）设每个月生产成本的下降率为 x，根据题意得：400（1﹣x）2＝361，
解得：x1＝0.05＝5%，x2＝1.95（不合题意，舍去）．答：每个月生产成本的下降率为 5%．
（2）361×（1﹣5%）＝342.95（万元）．
答：预测 4 月份该公司的生产成本为 342.95 万元．
22【解答】解：（1）如图 1 所示；
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（2）连接 OA．如图 2．
由（1）中的作图可知：△AOD 为直角三角形，D 是 AB 的中点，CD＝10，
∴AD＝ AB＝20．
∵CD＝10，
∴OD＝R﹣10．
在 Rt△AOD 中，由勾股定理得，OA2＝AD2+OD2，
∴R2＝202+（R﹣10）2． 解得：R＝25．
即桥弧 AB 所在圆的半径 R 为 25 米．
五．解答题（共 3 小题，满分 27 分，每小题 9 分）
23【解答】解：（1）∵D （1，3）在反比例函数 y＝ 的图象上，
∴3＝ ， 解得 k＝3
∴反比例函数的解析式为：y＝ ，
∵B（4，3），
∴当 x＝4 时，y＝，
∴E（4，）；
（2） 设直线 DE 的解析式为 y＝kx+b（k≠0），
∵D（1，3），E（4，），
∴ ，
解得 ，
∴直线 DE 的解析式为：y＝﹣ x+ ；
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（2） ①点 F 在反比例函数的图象上． 理由如下：
∵当 x＝2 时，y＝＝
∴点 F 在反比例函数 y＝的图象上．
②∵x＝2 时，y＝﹣x+ ＝ ，
∴G 点坐标为（2，）
∴FG＝ ﹣ ＝ ．
24【解答】（1）证明：连结 OA、OB、OC，如图，
∵AB 与⊙O 切于 A 点，
∴OA⊥AB，即∠OAB＝90°，
∵四边形 ABCD 为菱形，
∴BA＝BC，
在△ABO 和△CBO 中
，
∴△ABO≌△CBO（SSS），
∴∠BCO＝∠BAO＝90°，
∴OC⊥BC，
∴BC 为⊙O 的切线；
（2）解：连接 BD，
∵△ABO≌△CBO，
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∴∠ABO＝∠CBO，
∵四边形 ABCD 为菱形，
∴BD 平分∠ABC，DA＝DC，
∴点 O 在 BD 上，
∵∠BOC＝2∠ODC， 而 CB＝CD，
∴∠OBC＝∠ODC，
∴∠BOC＝2∠OBC，
∵∠BOC+∠OBC＝90°，
∴∠OBC＝30°，
∴∠ABC＝2∠OBC＝60°．
25【解答】解：（1）在 Rt△AOB 中，OA＝1，tan∠BAO＝＝3，
∴OB＝3OA＝3
∵△DOC 是由△AOB 绕点 O 逆时针旋转 90°而得到的，
∴△DOC≌△AOB，
∴OC＝OB＝3，OD＝OA＝1．
∴A，B，C 的坐标分别为（1，0），（0，3），（﹣3，0），代入解析式为
解得
，
，
抛物线的解析式为 y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）∵抛物线的解析式为 y＝﹣x2﹣2x+3，
∴对称轴为 l＝﹣ ＝﹣1，
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∴E 点坐标为（﹣1，0），如图 ，
①当∠CEF＝90°时，△CEF∽△COD，
此时点 P 在对称轴上，即点 P 为抛物线的顶点，P（﹣1，4）；
②当∠CFE＝90°时，△CFE∽△COD，过点 P 作 PM⊥x 轴于 M 点，△EFC∽△EMP，
∴ ＝ ＝ ＝
∴MP＝3ME，
∵点 P 的横坐标为 t，
∴P（t，﹣t2﹣2t+3），
∵P 在第二象限，
∴PM＝﹣t2﹣2t+3，ME＝﹣1﹣t，
∴﹣t2﹣2t+3＝3（﹣1﹣t），
解得 t1＝﹣2，t2＝3，（与 P 在二象限，横坐标小于 0 矛盾，舍去），当 t＝﹣2 时，y＝﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3＝3
∴P（﹣2，3），
∴当△CEF 与△COD 相似时，P 点的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3）．
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