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2018-2019 学年重庆市合川县九年级（上）期末数学模
拟试卷
一．选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分）
1．tan30°的值为（ ）
A． B． C． D．
2．下列关于 x 的方程中一定没有实数根的是（ ）
A．x2﹣x﹣1＝0 B．4x2﹣6x+9＝0 C．x2＝﹣x D．x2﹣mx﹣2＝0 3．抛物线 y＝（x﹣2）2+3 的顶点坐标是（ ）
A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（2，﹣3） D．（﹣2，﹣3） 4．已知正方形 ABCD 的边长为 5，E 在 BC 边上运动，DE 的中点 G，EG 绕 E 顺时针旋转
90°得 EF，问 CE 为多少时 A、C、F 在一条直线上（ ）
A． B． C． D．
5. 某药品经过两次降价，每瓶零售价由 168 元降为 108 元，已知两次降价的百分率相同， 设每次降价的百分率为 x，根据题意列方程得（ ）
A．168（1﹣x）2＝108 B．168（1﹣x2）＝108
C．168（1﹣2x）＝108 D．168（1+x）2＝108
6. 若关于 x 的一元二次方程 kx2﹣6x+9＝0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围（ ）
A．k＜1 且 k≠0 B．k≠0 C．k＜1 D．k＞1
7. 把抛物线 y＝﹣x2 向左平移 1 个单位，然后向上平移 3 个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ）
A．y＝﹣（x﹣1）2+3 B．y＝﹣（x+1）2+3
C．y＝﹣（x+1）2﹣3 D．y＝﹣（x﹣1）2﹣3
8. 已知 x1、x2 是关于 x 的方程 x2﹣ax﹣2＝0 的两根，下列结论一定正确的是（ ）
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A．x1≠x2 B．x1+x2＞0 C．x1•x2＞0 D．x1＜0，x2＜0
5. 已知二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则以下结论同时成立的是（ ）
A. B．
C． D．
6. 已知函数 y＝﹣（x﹣m）（x﹣n）（其中 m＜n）的图象如图所示，则一次函数 y＝mx+n
与反比例函数 y＝的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
二．填空题（共 4 小题，满分 16 分，每小题 4 分）
7. 若 x＝﹣2 是关于 X 的方程 x2﹣（m﹣3）x﹣2＝0 的一根，则 m＝ ，方程的另一根为 ．
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5. 如图，点 D 为△ABC 外一点，AD 与 BC 边的交点为 E，AE＝3，DE＝5，BE＝4，要使
△BDE∽△ACE，且点 B，D 的对应点为 A，C，那么线段 CE 的长应等于 ．
6. 如图，在 Rt△ABD 中，∠A＝90°，点 C 在 AD 上，∠ACB＝45°，tan∠D＝ ，则
＝ ．
7. 如图，已知等边三角形 OAB 的顶点 O（0，0），A（0，6），将该三角形绕点 O 顺时针旋转，每次旋转 60°，则旋转 2017 次后，顶点 B 的坐标为 ．
三．解答题（共 6 小题，满分 54 分）
8. 计算：
（1）（2）2﹣|﹣4|+3﹣1×6+20．
（2） • ﹣ ．
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5. 小明同学说自己发现了判断一类方程有无实数根的一种简易方法：
若一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）的系数 a、c 异号（即两数为一正一负），那么这个方程一定有两个不相等的实数根．
他的发现正确吗？请你先举实例验证一下是否正确，若你认为他的发现是一般规律，请加以证明．
6. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点坐标分别是 A（1，1），B（4，1）， C（3，3）．
（1） 将△ABC 向下平移 5 个单位后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2） 将△ABC 绕原点 O 逆时针旋转 90°后得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2；
（3） 判断以 O，A1，B 为顶点的三角形的形状．（无须说明理由）
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5. 小明和小亮玩一个游戏：取三张大小、质地都相同的卡片，上面分别标有数字 2、3、4
（背面完全相同），现将标有数字的一面朝下．小明从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后小亮从中任意抽取一张，计算小明和小亮抽得的两个数字之和．
（1） 请你用画树状图或列表的方法，求出这两数和为 6 的概率．
（2） 如果和为奇数，则小明胜；若和为偶数，则小亮胜．你认为这个游戏规则对双方公平吗？做出判断，并说明理由．
6. 在平面直角坐标系中，一次函数 y＝﹣x+b 的图象与反比例函数 y＝（k≠0）图象交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于点 D，其中 A 点坐标为（﹣2，3）．
（1） 求一次函数和反比例函数解析式．
（2） 若将点 C 沿 y 轴向下平移 4 个单位长度至点 F，连接 AF、BF，求△ABF 的面积．
（3） 根据图象，直接写出不等式﹣ x+b＞ 的解集．
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5. 如图，点 A，B，C 都在抛物线 y＝ax2﹣2amx+am2+2m﹣5（﹣＜a＜0）上，AB∥x 轴，
∠ABC＝135°，且 AB＝4．
（1） 填空：抛物线的顶点坐标为 ；（用含 m 的代数式表示）；
（2） 求△ABC 的面积（用含 a 的代数式表示）；
（3） 若△ABC 的面积为 2，当 2m﹣5≤x≤2m﹣2 时，y 的最大值为 2，求 m 的值．
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参考答案
一．选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分）
1. 【解答】解：tan30°＝ ，故选：B．
2. 【解答】解：A、△＝5＞0，方程有两个不相等的实数根；
B、△＝﹣108＜0，方程没有实数根；
C、△＝1＝0，方程有两个相等的实数根；
D、△＝m2+8＞0，方程有两个不相等的实数根． 故选：B．
3. 【解答】解：y＝（x﹣2）2+3 是抛物线的顶点式方程，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，3）．
故选：A．
4. 【解答】解：过 F 作 BC 的垂线，交 BC 延长线于 N 点，
∵∠DCE＝∠ENF＝90°，∠DEC+∠NEF＝90°，∠NEF+∠EFN＝90°，
∴∠DEC＝∠EFN，
∴Rt△FNE∽Rt△ECD，
∵DE 的中点 G，EG 绕 E 顺时针旋转 90°得 EF，
∴两三角形相似比为 1：2，
∴可以得到 CE＝2NF，NE＝CD＝2.5．
∵AC 平分正方形直角，
∴∠NFC＝45°，
∴△CNF 是等腰直角三角形，
∴CN＝NF，
∴CE＝ NE＝ × ＝ ， 故选：C．
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1. 【解答】解：设每次降价的百分率为 x，根据题意得：
168（1﹣x）2＝108． 故选：A．
2. 【解答】解：∵关于 x 的一元二次方程 kx2﹣6x+9＝0 有两个不相等的实数根，
∴△＞0，
即（﹣6）2﹣4×9k＞0， 解得，k＜1，
∵为一元二次方程，
∴k≠0，
∴k＜1 且 k≠0． 故选：A．
3. 【解答】解：抛物线 y＝﹣x2 向左平移 1 个单位，然后向上平移 3 个单位，则平移后抛物线的解析式为：y＝﹣（x+1）2+3．
故选：B．
8．【解答】解：A∵△＝（﹣a）2﹣4×1×（﹣2）＝a2+8＞0，
∴x1≠x2，结论 A 正确；
B、∵x1、x2 是关于 x 的方程 x2﹣ax﹣2＝0 的两根，
∴x1+x2＝a，
∵a 的值不确定，
∴B 结论不一定正确；
C、∵x1、x2 是关于 x 的方程 x2﹣ax﹣2＝0 的两根，
∴x1•x2＝﹣2，结论 C 错误；
D、∵x1•x2＝﹣2，
∴x1、x2 异号，结论 D 错误．
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故选：A．
9. 【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴在直线 x＝1 的右侧，
∴x＝﹣ ＞1，
∴b＜0，b＜﹣2a，即 b+2a＜0，
∵抛物线与 y 轴交点在 x 轴下方，
∴c＜0，
∴abc＞0，
∵抛物线与 x 轴有 2 个交点，
∴△＝b2﹣4ac＞0，
∵x＝1 时，y＜0，
∴a+b+c＜0． 故选：C．
10【解答】解：由图可知，m＜﹣1，n＝1，所以，m+n＜0，
所以，一次函数 y＝mx+n 经过第二四象限，且与 y 轴相交于点（0，1），
反比例函数 y＝的图象位于第二四象限， 纵观各选项，只有 C 选项图形符合．故选 C．
二．填空题（共 4 小题，满分 16 分，每小题 4 分）
11【解答】解：把﹣2 代入方程有：
4+2（m﹣3）﹣2＝0， 解得：m＝2．
设方程的另一个根是 x2，则有：
﹣2x2＝﹣2
∴x2＝1．
故答案分别是：2，1．
12【解答】解：∵∠AEC＝∠BED，
∴当 ＝ 时，△BDE∽△ACE，
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即 ＝ ，
∴CE＝ ．
故答案为 ．
13【解答】解：在 Rt△ABD 中，∵tan∠D＝＝ ，
∴设 AB＝2x，AD＝3x，
∵∠ACB＝45°，
∴AC＝AB＝2x，
则 CD＝AD﹣AC＝3x﹣2x＝x，
∴ ＝ ＝ ， 故答案为： ．
14．【解答】解：∵2017＝336×6+1，
∴△ABC 旋转 2017 次后到△OA′B′的位置，如图，
A′B′交 x 轴于 C，
∵△ABC 和△OA′B′为等边三角形，
∴∠AOB＝∠A′OB′＝60°，
∴∠A′OC＝∠B′OC＝30°，
∴A′B′⊥x 轴，A′C＝B′C＝3，
在 Rt△B′OC 中，OC＝B′C＝3 ，
∴B′（3，﹣3），
即旋转 2017 次后，顶点 B 的坐标为（3，﹣3）．故答案为（3，﹣3）．
三．解答题（共 6 小题，满分 54 分）
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15．【解答】解：（1）原式＝8﹣4+×6+1
＝8﹣4+2+1
＝7．
（2）原式＝
＝
＝ ．
16【解答】解：小明的发现正确，如x2+x﹣2＝0，a＝1，c＝﹣2，解方程得：x1＝2，x2＝﹣1，
若 a，c 异号，则△＝b2﹣4ac＞0，故这个方程一定有两个不相等的实数根．
17【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1 即为所求：
（2） 如图所示，△A2B2C2 即为所求：
（3） 三角形的形状为等腰直角三角形，OB＝OA1＝ ，A1B＝ ， 即 ，
所以三角形的形状为等腰直角三角形．
18【解答】解：（1）列表如下：
2
3
4
2
2+2＝4
2+3＝5
2+4＝6
3
3+2＝5
3+3＝6
3+4＝7
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4
4+2＝6
4+3＝7
4+4＝8
由表可知，总共有 9 种结果，其中和为 6 的有 3 种， 则这两数和为 6 的概率＝ ；
（2）这个游戏规则对双方不公平．
理由：因为 P（和为奇数）＝，P（和为偶数）＝ ，而 ≠ ， 所以这个游戏规则对双方是不公平的．
19【解答】解：（1）∵一次函数 y＝﹣x+b 的图象与反比例函数 y＝（k≠0）图象交于
A（﹣3，2）、B 两点，
∴3＝﹣ ×（﹣2）+b，k＝﹣2×3＝﹣6
∴b＝ ，k＝﹣6
∴一次函数解析式 y＝﹣x+ ，反比例函数解析式 y＝
（2） 根据题意得：
解得： ，
∴S△ABF＝ ×4×（4+2）＝12
（3） 由图象可得：x＜﹣2 或 0＜x＜4
20．【解答】解：（1）∵y＝ax2﹣2amx+am2+2m﹣5＝a（x﹣m）2+2m﹣5，
∴抛物线的顶点坐标为（m，2m﹣5）．故答案为：（m，2m﹣5）．
（2） 过点 C 作直线 AB 的垂线，交线段 AB 的延长线于点 D，如图所示．
∵AB∥x 轴，且 AB＝4，
∴点 B 的坐标为（m+2，4a+2m﹣5）．
∵∠ABC＝135°，
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∴设 BD＝t，则 CD＝t，
∴点 C 的坐标为（m+2+t，4a+2m﹣5﹣t）．
∵点 C 在抛物线 y＝a（x﹣m）2+2m﹣5 上，
∴4a+2m﹣5﹣t＝a（2+t）2+2m﹣5， 整理，得：at2+（4a+1）t＝0，
解得：t1＝0（舍去），
∴S△ABC＝ AB•CD＝﹣ ．
（2） ∵△ABC 的面积为 2，
∴﹣ ＝2， 解得：a＝﹣ ，
∴抛物线的解析式为 y＝﹣（x﹣m）2+2m﹣5． 分三种情况考虑：
①当 m＞2m﹣2，即 m＜2 时，有﹣（2m﹣2﹣m）2+2m﹣5＝2， 整理，得：m2﹣14m+39＝0，
解得：m1＝7﹣（舍去），m2＝7+（舍去）；
②当 2m﹣5≤m≤2m﹣2，即 2≤m≤5 时，有 2m﹣5＝2，
解得：m＝ ；
③当 m＜2m﹣5，即 m＞5 时，有﹣（2m﹣5﹣m）2+2m﹣5＝2， 整理，得：m2﹣20m+60＝0，
解得：m3＝10﹣2 （舍去），m4＝10+2 ． 综上所述：m 的值为 或 10+2 ．
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