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2018-2019学年河北省保定市博野县九年级(上)期末数学试卷
一.选择题(共16小题)
1.下列方程是一元二次方程的是( )
A.x2﹣y=1 B.x2+2x﹣3=0 C.x2+=3 D.x﹣5y=6
2.方程x2﹣2x﹣3=0经过配方法化为(x+a)2=b的形式,正确的是( )
A.(x﹣1)2=4 B.(x+1)4 C.(x﹣1)2=16 D.(x+1)2=16
3.有两个事件,事件A:367人中至少有2人生日相同;事件B:抛掷一枚均匀的骰子,朝上的面点数为偶数.下列说法正确的是( )
A.事件A、B都是随机事件
B.事件A、B都是必然事件
C.事件A是随机事件,事件B是必然事件
D.事件A是必然事件,事件B是随机事件
4.如图,有一电路AB是由图示的开关控制,闭合a,b,c,d,e五个开关中的任意两个开关,使电路形成通路,则使电路形成通路的概率是( )
A. B. C. D.
5.下列关系式中,属于二次函数的是(x是自变量)( )
A.y= B.y= C.y= D.y=ax2+bx+c
6.下列关于函数的图象说法:①图象是一条抛物线;②开口向下;③对称轴是y轴;④顶点(0,0),其中正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
7.二次函数图象上部分点的坐标对应值列表如下:
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
…
y
…
﹣3
﹣2
﹣3
﹣6
﹣11
…
则该函数图象的对称轴是( )
A.x=﹣3 B.x=﹣2 C.x=﹣1 D.x=0
8.已知⊙O的直径是10,圆心O到直线l的距离是5,则直线l和⊙O的位置关系是( )
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A.相离 B.相交 C.相切 D.外切
9.如图,已知:AB是⊙O的直径,C、D是上的三等分点,∠AOE=60°,则∠COE是( )
A.40° B.60° C.80° D.120°
10.如图,在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片,使之恰好能围成一个圆锥模型,若圆的半径为r,扇形的圆心角等于120°,则围成的圆锥模型的高为( )
A.r B.2r C. r D.3r
11.已知反比例函数y=﹣,下列结论中不正确的是( )
A.图象必经过点(﹣3,2)
B.图象位于第二、四象限
C.若x<﹣2,则0<y<3
D.在每一个象限内,y随x值的增大而减小
12.如图所示,反比例函数y=(k≠0,x>0)的图象经过矩形OABC的对角线AC的中点D.若矩形OABC的面积为8,则k的值为( )
A.2 B.2 C. D.2
13.已知△ABC∽△DEF,面积比为9:4,则△ABC与△DEF的对应角平分线之比为( )
A.3:4 B.2:3 C.9:16 D.3:2
14.如图,如果正方形ABCD旋转后能与正方形CDEF
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重合,那么图形所在平面内,可作为旋转中心的点个数( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
15.如图所示,长为8cm,宽为6cm的矩形中,截去一个矩形(图中阴影部分),如果剩下矩形与原矩形相似,那么剩下矩形的面积是( )
A.28cm2 B.27cm2 C.21cm2 D.20cm2
16.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,AC=4,BC的中点为D.将△ABC绕点C顺时针旋转任意一个角度得到△FEC,EF的中点为G,连接DG.在旋转过程中,DG的最大值是( )
A.4 B.6 C.2+2 D.8
二.填空题(共3小题)
17.关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0有两个相等的实数根,写出一组满足条件的实数a、b的值:a= ,b= .
18.如图,已知⊙P的半径为2,圆心P在抛物线y=x2﹣1上运动,当⊙P与x轴相切时,圆心P的坐标为 .
19.如图,PA,PB分别切⊙O于A,B,并与⊙O的切线,分别相交于C,D,已知△PCD
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的周长等于8cm,则PA= cm;已知⊙O的直径是6cm,PO= cm.
三.解答题(共7小题)
20.定义新运算:对于任意实数m、n都有m☆n=m2n+n,等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算.例如:﹣3☆2=(﹣3)2×2+2=20.根据以上知识解决问题:若2☆a的值小于0,请判断方程:2x2﹣bx+a=0的根的情况.
21.在围棋盒中有x颗黑色棋子和y颗白色棋子,从盒中随机取出一个棋子,它是黑色棋子的概率是.
(1)试写出y与x的函数解析式;
(2)若往盒子中再放入10颗黑色棋子,则取得黑色棋子的概率变为,求x与y的值.
22.如图,一次函数y=kx+b与反比例函数y=(x<0)的图象相交于点A、点B,与X轴交于点C,其中点A(﹣1,3)和点B(﹣3,n).
(1)填空:m= ,n= .
(2)求一次函数的解析式和△AOB的面积.
(3)根据图象回答:当x为何值时,kx+b≥(请直接写出答案) .
23.如图,△BAD是由△BEC在平面内绕点B旋转60°而得,且AB⊥BC,BE=CE,连接DE.
(1)求证:△BDE≌△BCE;
(2)试判断四边形ABED的形状,并说明理由.
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24.如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,∠AED=∠B,射线AG分别交线段DE,BC于点F,G,且=.
(1)求证:△ADF∽△ACG;
(2)若=,求的值.
25.如图,已知AB是⊙O的直径,点C、D在⊙O上,点E在⊙O外,∠EAC=∠D=60°.
(1)求∠ABC的度数;
(2)求证:AE是⊙O的切线;
(3)当BC=4时,求劣弧AC的长.
26.如图,已知抛物线y=﹣+bx+4与x轴相交于A、B两点,与y轴相交于点C,若已知A点的坐标为A(﹣2,0).
(1)求抛物线的解析式及它的对称轴方程;
(2)求点C的坐标,连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式;
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使△ACQ为等腰三角形?若存在,求出符合条件的Q点坐标;若不存在,请说明理由.
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参考答案与试题解析
一.选择题(共16小题)
1.下列方程是一元二次方程的是( )
A.x2﹣y=1 B.x2+2x﹣3=0 C.x2+=3 D.x﹣5y=6
【分析】利用一元二次方程的定义判断即可.
【解答】解:A、x2﹣y=1是二元二次方程,不合题意;
B、x2+2x﹣3=0是一元二次方程,符合题意;
C、x2+=3不是整式方程,不合题意;
D、x﹣5y=6是二元一次方程,不合题意,
故选:B.
【点评】此题考查了一元二次方程的定义,熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键.
2.方程x2﹣2x﹣3=0经过配方法化为(x+a)2=b的形式,正确的是( )
A.(x﹣1)2=4 B.(x+1)4 C.(x﹣1)2=16 D.(x+1)2=16
【分析】根据配方法即可求出答案.
【解答】解:x2﹣2x+1﹣1﹣3=0,
(x﹣1)2=4,
故选:A.
【点评】本题考查一元二次方程的配方法,解题的关键是熟练运用配方法,本题属于基础题型.
3.有两个事件,事件A:367人中至少有2人生日相同;事件B:抛掷一枚均匀的骰子,朝上的面点数为偶数.下列说法正确的是( )
A.事件A、B都是随机事件
B.事件A、B都是必然事件
C.事件A是随机事件,事件B是必然事件
D.事件A是必然事件,事件B是随机事件
【分析】
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必然事件就是一定发生的事件,即发生的概率是1的事件.首先判断两个事件是必然事件、随机事件,然后找到正确的答案.
【解答】解:事件A、一年最多有366天,所以367人中必有2人的生日相同,是必然事件;
事件B、抛掷一枚均匀的骰子,朝上的面点数为1、2、3、4、5、6共6种情况,点数为偶数是随机事件.
故选:D.
【点评】该题考查的是对必然事件的概念的理解;解决此类问题,要学会关注身边的事物,并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题.用到的知识点为:必然事件指在一定条件下一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下,一定不发生的事件.不确定事件即随机事件是指在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件.
4.如图,有一电路AB是由图示的开关控制,闭合a,b,c,d,e五个开关中的任意两个开关,使电路形成通路,则使电路形成通路的概率是( )
A. B. C. D.
【分析】只有闭合两条线路里的两个才能形成通路.列举出所有情况,看所求的情况占总情况的多少即可.
【解答】解:列表得:
(a,e)
(b,e)
(c,e)
(d,e)
﹣
(a,d)
(b,d)
(c,d)
﹣
(e,d)
(a,c)
(b,c)
﹣
(d,c)
(e,c)
(a,b)
﹣
(c,b)
(d,b)
(e,b)
﹣
(b,a)
(c,a)
(d,a)
(e,a)
∴一共有20种情况,使电路形成通路的有12种情况,
∴使电路形成通路的概率是=,
故选:C.
【点评】本题结合初中物理的“电路”考查了有关概率的知识.列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,适合于两步完成的事件;用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.
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5.下列关系式中,属于二次函数的是(x是自变量)( )
A.y= B.y= C.y= D.y=ax2+bx+c
【分析】根据函数y=ax2+bx+c (a≠0)是二次函数,可得答案.
【解答】解:A、是二次函数,故A正确;
B、不是二次函数的形式,故B错误;
C、是分式,故C错误;
D、a=0是一次函数,故D错误;
故选:A.
【点评】本题考查了二次函数的定义,函数y=ax2+bx+c (a≠0)是二次函数,注意y=ax2+bx+c 是二次函数a不等于零.
6.下列关于函数的图象说法:①图象是一条抛物线;②开口向下;③对称轴是y轴;④顶点(0,0),其中正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【分析】函数是一种最基本的二次函数,画出图象,直接判断.
【解答】解:①二次函数的图象是抛物线,正确;
②因为a=﹣<0,抛物线开口向下,正确;
③因为b=0,对称轴是y轴,正确;
④顶点(0,0)也正确.
故选:D.
【点评】本题考查了抛物线y=ax2的性质:①图象是一条抛物线;②开口方向与a有关;③对称轴是y轴;④顶点(0,0).
7.二次函数图象上部分点的坐标对应值列表如下:
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
…
y
…
﹣3
﹣2
﹣3
﹣6
﹣11
…
则该函数图象的对称轴是( )
A.x=﹣3 B.x=﹣2 C.x=﹣1 D.x=0
【分析】由当x=﹣3与x=﹣1时y值相等,利用二次函数图象的对称性即可求出二次函数图象的对称轴为直线x=﹣2,此题得解.
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【解答】解:∵当x=﹣3与x=﹣1时,y值相等,
∴二次函数图象的对称轴为直线x==﹣2.
故选:B.
【点评】本题考查了二次函数的性质,利用二次函数图象的对称性找出其对称轴是解题的关键.
8.已知⊙O的直径是10,圆心O到直线l的距离是5,则直线l和⊙O的位置关系是( )
A.相离 B.相交 C.相切 D.外切
【分析】求出⊙O的半径,和圆心O到直线l的距离5比较即可.
【解答】解:∵⊙O的直径是10,
∴⊙O的半径r=5,
∵圆心O到直线l的距离d是5,
∴r=d,
∴直线l和⊙O的位置关系是相切,
故选:C.
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系的应用,注意:当圆心到直线的距离等于圆的半径时,直线与圆相切.
9.如图,已知:AB是⊙O的直径,C、D是上的三等分点,∠AOE=60°,则∠COE是( )
A.40° B.60° C.80° D.120°
【分析】先求出∠BOE=120°,再运用“等弧对等角”即可解.
【解答】解:∵∠AOE=60°,
∴∠BOE=180°﹣∠AOE=120°,
∴的度数是120°,
∵C、D是上的三等分点,
∴弧CD与弧ED的度数都是40度,
∴∠COE=80°.
故选:C.
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【点评】本题利用了邻补角的概念和圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.
10.如图,在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片,使之恰好能围成一个圆锥模型,若圆的半径为r,扇形的圆心角等于120°,则围成的圆锥模型的高为( )
A.r B.2r C. r D.3r
【分析】首先求得围成的圆锥的母线长,然后利用勾股定理求得其高即可.
【解答】解:∵圆的半径为r,扇形的弧长等于底面圆的周长得出2πr.
设圆锥的母线长为R,则=2πr,
解得:R=3r.
根据勾股定理得圆锥的高为2r,
故选:B.
【点评】本题主要考查圆锥侧面面积的计算,正确理解圆的周长就是扇形的弧长是解题的关键.
11.已知反比例函数y=﹣,下列结论中不正确的是( )
A.图象必经过点(﹣3,2)
B.图象位于第二、四象限
C.若x<﹣2,则0<y<3
D.在每一个象限内,y随x值的增大而减小
【分析】根据反比例函数的性质进行选择即可.
【解答】解:A、图象必经过点(﹣3,2),故A正确;
B、图象位于第二、四象限,故B正确;
C、若x<﹣2,则y<3,故C正确;
D、在每一个象限内,y随x值的增大而增大,故D正确;
故选:D.
【点评】本题考查了反比例函数的选择,掌握反比例函数的性质是解题的关键.
12.如图所示,反比例函数y=(k≠0,x>0)的图象经过矩形OABC的对角线AC的中点D
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.若矩形OABC的面积为8,则k的值为( )
A.2 B.2 C. D.2
【分析】过D作DE⊥OA于E,设D(a,),于是得到OA=2a,OC=,根据矩形的面积列方程即可得到结论.
【解答】解:如图,过D作DE⊥OA于E,
设D(a,),
∴OE=a.DE=,
∵点D是矩形OABC的对角线AC的中点,
∴OA=2a,OC=,
∵矩形OABC的面积为8,
∴OA•OC=2a•=8,
∴k=2,
故选:A.
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义,矩形的性质,根据矩形的面积列出方程是解题的关键.
13.已知△ABC∽△DEF,面积比为9:4,则△ABC与△DEF的对应角平分线之比为( )
A.3:4 B.2:3 C.9:16 D.3:2
【分析】根据相似三角形的性质求出相似比,得到对应角的角平分线之比.
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【解答】解:∵△ABC∽△DEF,△ABC与△DEF的面积比为9:4,
∴△ABC与△DEF的相似比为3:2,
∴△ABC与△DEF对应角的角平分线之比为3:2,
故选:D.
【点评】本题考查的是相似三角形的性质,相似三角形周长的比等于相似比;相似三角形面积的比等于相似比的平方;相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比.
14.如图,如果正方形ABCD旋转后能与正方形CDEF重合,那么图形所在平面内,可作为旋转中心的点个数( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【分析】分别以C,D,CD的中点为旋转中心进行旋转,都可以使正方形ABCD旋转后能与正方形CDEF重合.
【解答】解:以C为旋转中心,把正方形ABCD顺时针旋转90°,可得到正方形CDEF;
以D为旋转中心,把正方形ABCD逆时针旋转90°,可得到正方形CDEF;
以CD的中点为旋转中心,把正方形ABCD旋转180°,可得到正方形CDEF;
故选:C.
【点评】本题考查了旋转的性质:旋转前后的两个图形全等,对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角,对应点到旋转中心的距离相等.
15.如图所示,长为8cm,宽为6cm的矩形中,截去一个矩形(图中阴影部分),如果剩下矩形与原矩形相似,那么剩下矩形的面积是( )
A.28cm2 B.27cm2 C.21cm2 D.20cm2
【分析】根据题意,剩下矩形与原矩形相似,利用相似形的对应边的比相等可得.
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【解答】解:依题意,在矩形ABDC中截取矩形ABFE,
则矩形ABDC∽矩形FDCE,
则,
设DF=xcm,得到:
解得:x=4.5,
则剩下的矩形面积是:4.5×6=27cm2.
故选:B.
【点评】本题就是考查相似形的对应边的比相等,分清矩形的对应边是解决本题的关键.
16.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,AC=4,BC的中点为D.将△ABC绕点C顺时针旋转任意一个角度得到△FEC,EF的中点为G,连接DG.在旋转过程中,DG的最大值是( )
A.4 B.6 C.2+2 D.8
【分析】解直角三角形求出AB、BC,再求出CD,连接CG,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出CG,然后根据三角形的任意两边之和大于第三边判断出D、C、G三点共线时DG有最大值,再代入数据进行计算即可得解.
【解答】解:∵∠ACB=90°,∠A=30°,
∴AB=AC÷cos30°=4÷=8,
BC=AC•tan30°=4×=4,
∵BC的中点为D,
∴CD=BC=×4=2,
连接CG,∵△ABC绕点C顺时针旋转任意一个角度得到△FEC,EF的中点为G,
∴CG=EF=AB=×8=4,
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由三角形的三边关系得,CD+CG>DG,
∴D、C、G三点共线时DG有最大值,
此时DG=CD+CG=2+4=6.
故选:B.
【点评】本题考查了旋转的性质,解直角三角形,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质,根据三角形的三边关系判断出DG取最大值时是解题的关键.
二.填空题(共3小题)
17.关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0有两个相等的实数根,写出一组满足条件的实数a、b的值:a= 1 ,b= 2 .
【分析】利用一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2﹣4ac有如下关系:①当△>0时,方程有两个不相等的两个实数根;②当△=0时,方程有两个相等的两个实数根;③当△<0时,方程无实数根;进而得出答案.
【解答】解:∵关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0有两个相等的实数根,
∴△=b2﹣4ac=b2﹣4a=0,
符合一组满足条件的实数a、b的值:a=1,b=2等.
故答案为:1,2.
【点评】此题主要考查了根的判别式,正确求出a,b之间的关系是解题关键.
18.如图,已知⊙P的半径为2,圆心P在抛物线y=x2﹣1上运动,当⊙P与x轴相切时,圆心P的坐标为 (,2)或(﹣,2) .
【分析】当⊙P与x轴相切时,点P的纵坐标是2或﹣2,把点P的坐标坐标代入函数解析式,即可求得相应的横坐标.
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【解答】解:依题意,可设P(x,2)或P(x,﹣2).
①当P的坐标是(x,2)时,将其代入y=x2﹣1,得
2=x2﹣1,
解得x=±,
此时P(,2)或(﹣,2);
②当P的坐标是(x,﹣2)时,将其代入y=x2﹣1,得
﹣2=x2﹣1,即﹣1=x2
无解.
综上所述,符合条件的点P的坐标是(,2)或(﹣,2);
故答案是:(,2)或(﹣,2).
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系,二次函数图象上点的坐标特征.解题时,为了防止漏解或错解,一定要分类讨论.
19.如图,PA,PB分别切⊙O于A,B,并与⊙O的切线,分别相交于C,D,已知△PCD的周长等于8cm,则PA= 4 cm;已知⊙O的直径是6cm,PO= 5 cm.
【分析】根据切线长定理可得DA=DE,BC=CE,PA=PB,根据△PCD的周长为PD+PC+DE+CE=PA+PB=8cm,可求PA的长,根据勾股定理可求OP的长.
【解答】解:∵PA,PB,CD是⊙O的切线
∴DA=DE,BC=CE,PA=PB,
∵△PCD的周长等于8cm,
∴PD+PC+CD=8cm
∴PD+PC+DE+CE=PA+PB=8cm
∴PA=4cm
连接OA,
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∵PA=4cm,OA=3cm,
∴OP==5cm
故答案为:4,5
【点评】本题考查了切线的性质,切线长定理,勾股定理,熟练运用切线长定理是本题的关键.
三.解答题(共7小题)
20.定义新运算:对于任意实数m、n都有m☆n=m2n+n,等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算.例如:﹣3☆2=(﹣3)2×2+2=20.根据以上知识解决问题:若2☆a的值小于0,请判断方程:2x2﹣bx+a=0的根的情况.
【分析】根据2☆a的值小于0结合新运算可得出关于a的一元一次不等式,解不等式可得出a的取值范围,再由根的判别式得出△=(﹣b)2﹣8a,结合a的取值范围即可得知△的正负,由此即可得出结论.
【解答】解:∵2☆a的值小于0,
∴22a+a=5a<0,解得:a<0.
在方程2x2﹣bx+a=0中,
△=(﹣b)2﹣8a≥﹣8a>0,
∴方程2x2﹣bx+a=0有两个不相等的实数根.
【点评】本题考查了根的判别式以及新运算,解题的关键是找出△>0.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,根据根的判别式的正负确定根的个数是关键.
21.在围棋盒中有x颗黑色棋子和y颗白色棋子,从盒中随机取出一个棋子,它是黑色棋子的概率是.
(1)试写出y与x的函数解析式;
(2)若往盒子中再放入10颗黑色棋子,则取得黑色棋子的概率变为,求x与y的值.
【分析】(1)根据概率的求法:在围棋盒中有x颗黑色棋子和y颗白色棋子,共x+y颗棋子,如果它是黑色棋子的概率是,有=成立.化简可得y与x的函数关系式;
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(2)若往盒中再放进10颗黑色棋子,在盒中有10+x+y颗棋子,则取得黑色棋子的概率变为,结合(1)的条件,可得,然后求出x,y的值即可.
【解答】解:(1)由题意得=,
解得:y=x,
答:y与x的函数解析式是y=x;
(2)根据题意,可得,
解方程组可求得:,
则x的值是15,y的值是25.
【点评】此题考查概率的求法:如果一个事件有n种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件A出现m种结果,那么事件A的概率P(A)=.
22.如图,一次函数y=kx+b与反比例函数y=(x<0)的图象相交于点A、点B,与X轴交于点C,其中点A(﹣1,3)和点B(﹣3,n).
(1)填空:m= ﹣3 ,n= 1 .
(2)求一次函数的解析式和△AOB的面积.
(3)根据图象回答:当x为何值时,kx+b≥(请直接写出答案) ﹣3≤x≤﹣1 .
【分析】(1)将A点坐标,B点坐标代入解析式可求m,n的值
(2)用待定系数法可求一次函数解析式,根据S△AOB=S△AOC﹣S△BOC可求△AOB的面积.
(3)由图象直接可得
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【解答】解:(1)∵反比例函数y=过点A(﹣1,3),B(﹣3,n)
∴m=3×(﹣1)=﹣3,m=﹣3n
∴n=1
故答案为﹣3,1
(2)设一次函数解析式y=kx+b,且过(﹣1,3),B(﹣3,1)
∴
解得:
∴解析式y=x+4
∵一次函数图象与x轴交点为C
∴0=x+4
∴x=﹣4
∴C(﹣4,0)
∵S△AOB=S△AOC﹣S△BOC
∴S△AOB=×4×3﹣×4×1=4
(3)∵kx+b≥
∴一次函数图象在反比例函数图象上方
∴﹣3≤x≤﹣1
故答案为﹣3≤x≤﹣1
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题,待定系数法,利用函数图象上的点满足函数关系式解决问题是本题关键.
23.如图,△BAD是由△BEC在平面内绕点B旋转60°而得,且AB⊥BC,BE=CE,连接DE.
(1)求证:△BDE≌△BCE;
(2)试判断四边形ABED的形状,并说明理由.
【分析】(1)根据旋转的性质可得DB=CB,∠ABD=∠EBC,∠ABE=60°
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,然后根据垂直可得出∠DBE=∠CBE=30°,继而可根据SAS证明△BDE≌△BCE;
(2)根据(1)以及旋转的性质可得,△BDE≌△BCE≌△BDA,继而得出四条棱相等,证得四边形ABED为菱形.
【解答】(1)证明:∵△BAD是由△BEC在平面内绕点B旋转60°而得,
∴DB=CB,∠ABD=∠EBC,∠ABE=60°,
∵AB⊥BC,
∴∠ABC=90°,
∴∠DBE=∠CBE=30°,
在△BDE和△BCE中,
∵,
∴△BDE≌△BCE(SAS);
(2)四边形ABED为菱形;
由(1)得△BDE≌△BCE,
∵△BAD是由△BEC旋转而得,
∴△BAD≌△BEC,
∴BA=BE,AD=EC=ED,
又∵BE=CE,
∴四边形ABED为菱形.
【点评】本题考查了旋转的性质,解答本题的关键是掌握全等三角形的判定和性质以及菱形的判定,涉及知识点较多,难度较大.
24.如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,∠AED=∠B,射线AG分别交线段DE,BC于点F,G,且=.
(1)求证:△ADF∽△ACG;
(2)若=,求的值.
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【分析】(1)由∠AED=∠B、∠DAE=∠CAB利用三角形内角和定理可得出∠ADF=∠C,结合=,即可证出△ADF∽△ACG;
(2)根据相似三角形的性质可得出=,由=可得出=,再结合FG=AG﹣AF即可求出的值.
【解答】(1)证明:∵∠AED=∠B,∠DAE=∠CAB,
∴∠ADF=∠C.
又∵=,
∴△ADF∽△ACG.
(2)∵△ADF∽△ACG,
∴=.
∵=,
∴=,
∴==1.
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形内角和定理,熟记相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键.
25.如图,已知AB是⊙O的直径,点C、D在⊙O上,点E在⊙O外,∠EAC=∠D=60°.
(1)求∠ABC的度数;
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(2)求证:AE是⊙O的切线;
(3)当BC=4时,求劣弧AC的长.
【分析】(1)由圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,即可求得∠ABC的度数;
(2)由AB是⊙O的直径,根据半圆(或直径)所对的圆周角是直角,即可得∠ACB=90°,又由∠BAC=30°,易求得∠BAE=90°,则可得AE是⊙O的切线;
(3)首先连接OC,易得△OBC是等边三角形,则可得∠AOC=120°,由弧长公式,即可求得劣弧AC的长.
【解答】解:(1)∵∠ABC与∠D都是弧AC所对的圆周角,
∴∠ABC=∠D=60°;
(2)∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°.
∴∠BAC=30°,
∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°,
即BA⊥AE,
∴AE是⊙O的切线;
(3)如图,连接OC,
∵∠ABC=60°,
∴∠AOC=120°,
∴劣弧AC的长为.
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【点评】此题考查了切线的判定、圆周角定理以及弧长公式等知识.此题难度适中,注意数形结合思想的应用,注意辅助线的作法.
26.如图,已知抛物线y=﹣+bx+4与x轴相交于A、B两点,与y轴相交于点C,若已知A点的坐标为A(﹣2,0).
(1)求抛物线的解析式及它的对称轴方程;
(2)求点C的坐标,连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式;
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使△ACQ为等腰三角形?若存在,求出符合条件的Q点坐标;若不存在,请说明理由.
【分析】(1)利用待定系数法求出抛物线解析式,利用配方法或利用公式x=﹣求出对称轴方程;
(2)在抛物线解析式中,令x=0,可求出点C坐标;令y=0,可求出点B坐标.再利用待定系数法求出直线BD的解析式;
(3)本问为存在型问题.若△ACQ为等腰三角形,则有三种可能的情形,需要分类讨论,逐一计算,避免漏解.
【解答】解:(1)∵抛物线y=﹣x2+bx+4的图象经过点A(﹣2,0),
∴﹣×(﹣2)2+b×(﹣2)+4=0,
解得:b=,
∴抛物线解析式为 y=﹣x2+x+4,
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又∵y=﹣x2+x+4=﹣(x﹣3)2+,
∴对称轴方程为:x=3.
(2)在y=﹣x2+x+4中,令x=0,得y=4,
∴C(0,4);
令y=0,即﹣x2+x+4=0,整理得x2﹣6x﹣16=0,
解得:x=8或x=﹣2,
∴A(﹣2,0),B(8,0).
设直线BC的解析式为y=kx+b,
把B(8,0),C(0,4)的坐标分别代入解析式,得:
,
解得:,
∴直线BC的解析式为:y=﹣x+4.
(3)存在,
理由:∵抛物线的对称轴方程为:x=3,
可设点Q(3,t),∵A(﹣2,0),C(0,4),
∴AC=2,AQ=,CQ=.
①当AQ=CQ时,
有=,
25+t2=t2﹣8t+16+9,
解得t=0,
∴Q1(3,0);
②当AC=AQ时,
有2=,
∴t2=﹣5,此方程无实数根,
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∴此时△ACQ不能构成等腰三角形;
③当AC=CQ时,
有2=,
整理得:t2﹣8t+5=0,
解得:t=4±,
∴点Q坐标为:Q2(3,4+),Q3(3,4﹣).
综上所述,存在点Q,使△ACQ为等腰三角形,点Q的坐标为:Q1(3,0),Q2(3,4+),Q3(3,4﹣).
【点评】此题是二次函数综合题,主要考查了二次函数与一次函数的图象与性质、待定系数法、勾股定理、等腰三角形的判定等知识点.难点在于第(3)问,符合条件的等腰三角形△ACQ可能有多种情形,需要分类讨论.
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