2018-2019学年九年级数学上期末模拟试卷（潮州市湘桥区含答案）.pdf

2018-2019 学年广东省潮州市湘桥区九年级（上）期末数学模拟 试卷 一．选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分） 1．下列所给的汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2．一元二次方程（x+3）（x﹣7）＝0 的两个根是（ ） A．x1＝3，x2＝﹣7 B．x1＝3，x2＝7 C．x1＝﹣3，x2＝7 D．x1＝﹣3，x2＝﹣7 3．抛物线 y＝3（x﹣2）2+5 的顶点坐标是（ ） A．（﹣2，5） B．（﹣2，﹣5） C．（2，5） D．（2，﹣5） 4．用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边同时加上 4 的是（ ） A．x2﹣2x＝5 B．x2+4x＝5 C．2x2﹣4x＝5 D．4x2+4x＝5 5．下列事件是必然事件的是（ ） A．NBA 球员投篮 10 次，投中十次 B．明天会下雪 C．党的十九大于 2017 年 10 月 18 日在北京召开 D．抛出一枚硬币，落地后正面朝上 6．如图，将△ABC 绕点 C 顺时针旋转 90°得到△EDC．若点 A，D，E 在同一条直线上， ∠ACB＝20°，则∠ADC 的度数是（ ） A．55° B．60° C．65° D．70° 7．下列关于 x 的方程中一定没有实数根的是（ ）A．x2﹣x﹣1＝0 B．4x2﹣6x+9＝0 C．x2＝﹣x D．x2﹣mx﹣2＝0 8．半径为 R 的圆内接正三角形的边长为（ ） A．R B． R C． R D．3R 9．在平面直角坐标系中，经过点（4sin45°，2cos30°）的直线，与以原点为圆心，2 为半 径的圆的位置关系是（ ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上三者都有可能 10．如图，△ABC 内接于 ⊙ O，连结 OA，OB，∠ABO＝40°，则∠C 的度数是（ ） A．100° B．80° C．50° D．40° 二．填空题（共 6 小题，满分 24 分，每小题 4 分） 11．若 a 是方程 x2﹣3x+1＝0 的根，计算：a2﹣3a+ ＝ ． 12．若点 P（2a+3b，2）关于原点的对称点为 Q（3，a﹣2b），则（3a+b）2018＝ ． 13．如图，若抛物线 y＝ax2+bx+c 上的 P（4，0），Q 两点关于它的对称轴 x＝1 对称，则关 于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c＝0 的解是 ． 14．如果抛物线 y＝ax2﹣2ax+c 与 x 轴的一个交点为（5，0），那么与 x 轴的另一个交点的 坐标是 ． 15．小明用图中所示的扇形纸片作一个圆锥侧面，已知扇形的半径为 5cm，弧长是 6 π cm， 那么这个圆锥的高是 ．16．如图，P 是半圆外一点，PC，PD 是 ⊙ O 的切线，C、D 为切点，过 C，D 分别作直径 AB 的垂线，垂足为 E，F，若 ＝ ＝ ，直径 AB＝10cm，则图中阴影部分的面积 是 cm2． 三．解答题（共 3 小题，满分 18 分，每小题 6 分） 17．x2﹣2x﹣15＝0．（公式法）18．已知，如图，AB 是 ⊙ O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，G 是 上一点，AG 与 DC 的延 长线交于点 F． （1）如 CD＝8，BE＝2，求 ⊙ O 的半径长； （2）求证：∠FGC＝∠AGD． 19．如图，画出△ABC 关于原点 O 对称的△A1B1C1，并写出点 A1，B1，C1 的坐标．四．解答题（共 3 小题，满分 21 分，每小题 7 分） 20．受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，某市汽车零 部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2015 年利润为 2 亿元，2017 年利润为 2.88 亿元． （1）求该企业从 2015 年到 2017 年利润的年平均增长率； （2）若 2018 年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业 2018 年的利润能否超过 3.5 亿元？ 21．在体育活动课中，体育老师随机抽取了九年级甲、乙两班部分学生进行某体育项目的测 试，并对成绩进行统计分析，绘制了频数分布表，请你根据表中的信息完成下列问题： （1）频数分布表中 a＝ ，b＝ ； （2）如果该校九年级共有学生 900 人，估计该校该体育项目的成绩为良和优的学生有多少 人？ （3）已知第一组中有两个甲班学生，第二组中只有一个乙班学生，老师随机从这两个组中 各选一名学生对体育活动课提出建议，则所选两人正好是甲班和乙班各一人的概率是多 少？ 分 组 频数 频率 第一组（不及格） 3 0.15 第二组（中） b 0.20 第三组（良） 7 0.35 第四组（优） 6 a22．如图 ① ，两个全等的等腰直角△ABC 和△EDC 中，∠ACB＝∠ECD＝90°，点 A 与点 E 重合，点 D 与点 B 重合．现△ABC 不动，把△EDC 绕点 C 按顺时针方向旋转，旋转角 为 α （ 0 ° ＜ α ＜ 90°）． （1）如图 ② ，AB 与 CE 交于 F，ED 与 AB、BC 分别交于 M、H．求证：CF＝CH； （2）如图 ③ ，当 α ＝45°时，试判断四边形 ACDM 是什么四边形，并说明理由； （3）如图 ② ，在△EDC 绕点 C 旋转的过程中，连接 BD，当旋转角 α 的度数为 时， △BDH 是等腰三角形． 五．解答题（共 3 小题，满分 27 分，每小题 9 分） 23．某大学生创业团队抓住商机，购进一批干果分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋 成本 3 元．试销期间发现每天的销售量 y（袋）与销售单价 x（元）之间满足一次函数关 系，部分数据如表所示，其中 3.5≤x≤5.5，另外每天还需支付其他各项费用 80 元． 销售单价 x（元） 3.5 5.5 销售量 y（袋） 280 120 （1）请直接写出 y 与 x 之间的函数关系式； （2）如果每天获得 160 元的利润，销售单价为多少元？ （3）设每天的利润为 w 元，当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少 元？24．如图，C、D 是以 AB 为直径的 ⊙ O 上的点， ＝ ，弦 CD 交 AB 于点 E． （1）当 PB 是 ⊙ O 的切线时，求证：∠PBD＝∠DAB； （2）求证：BC2﹣CE2＝CE•DE； （3）已知 OA＝4，E 是半径 OA 的中点，求线段 DE 的长． 25．如图，已知二次函数 y＝ax2+bx﹣3a 经过点 A（﹣1，0），C（0，3），与 x 轴交于另一 点 B，抛物线的顶点为 D． （1）求此二次函数解析式； （2）连接 DC、BC、DB，求证：△BCD 是直角三角形； （3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点 P，使得△PDC 为等腰三角形？若存在，求出符 合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案 一．选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分） 1．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误． 故选：B． 2．【解答】解： ∵（x+3）（x﹣7）＝0， ∴x+3＝0 或 x﹣7＝0， ∴x1＝﹣3，x2＝7， 故选：C． 3．【解答】解：抛物线 y＝3（x﹣2）2+5 的顶点坐标为（2，5）， 故选：C． 4．【解答】解：用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边同时加上 4 的是 x2+4x＝5， 故选：B． 5．【解答】解：A、NBA 球员投篮 10 次，投中十次是随机事件，错误； B、明天会下雪是随机事件，错误； C、党的十九大于 2017 年 10 月 18 日在北京召开是必然事件，正确； D、抛出一枚硬币，落地后正面朝上是随机事件，错误； 故选：C． 6．【解答】解：∵将△ABC 绕点 C 顺时针旋转 90°得到△EDC． ∴∠DCE＝∠ACB＝20°，∠BCD＝∠ACE＝90°，AC＝CE， ∴∠ACD＝90°﹣20°＝70°， ∵点 A，D，E 在同一条直线上， ∴∠ADC+∠EDC＝180°， ∵∠EDC+∠E+∠DCE＝180°， ∴∠ADC＝∠E+20°，∵∠ACE＝90°，AC＝CE ∴∠DAC+∠E＝90°，∠E＝∠DAC＝45° 在△ADC 中，∠ADC+∠DAC+∠DCA＝180°， 即 45°+70°+∠ADC＝180°， 解得：∠ADC＝65°， 故选：C． 7．【解答】解：A、△＝5＞0，方程有两个不相等的实数根； B、△＝﹣108＜0，方程没有实数根； C、△＝1＝0，方程有两个相等的实数根； D、△＝m2+8＞0，方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 8．【解答】解：如图所示，OB＝OA＝R； ∵△ABC 是正三角形， 由于正三角形的中心就是圆的圆心， 且正三角形三线合一， 所以 BO 是∠ABC 的平分线； ∠OBD＝60°× ＝30°， BD＝R•cos30°＝R• ； 根据垂径定理，BC＝2× R＝ R． 故选：C． 9．【解答】解：设直线经过的点为 A， ∵点 A 的坐标为（4sin45°，2cos30°）， ∴OA＝ ， ∵圆的半径为 2，∴OA＞2， ∴点 A 在圆外， ∴直线和圆相交，相切、相离都有可能， 故选：D． 10．【解答】解：∵OA＝OB，∠ABO＝40°， ∴∠AOB＝100°， ∴∠C＝ ∠AOB＝50°， 故选：C． 二．填空题（共 6 小题，满分 24 分，每小题 4 分） 11．【解答】解：∵a 是方程 x2﹣3x+1＝0 的根， ∴a2﹣3a+1＝0， 则 a2﹣3a＝﹣1，a2+1＝3a， 所以原式＝﹣1+1＝0， 故答案为：0． 12．【解答】解：∵点 P（2a+3b，2）关于原点的对称点为 Q（3，a﹣2b）， ∴ ， 解得 ， 所以，（3a+b）2018＝[3×（﹣ ）+ ]2018＝52018． 故答案为：52018． 13．【解答】解：∵抛物线 y＝ax2+bx+c 上的 P（4，0），Q 两点关于它的对称轴 x＝1 对称， ∴P，Q 两点到对称轴 x＝1 的距离相等， ∴Q 点的坐标为：（﹣2，0）． ∴关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c＝0 的解是 x1＝﹣2、x2＝4， 故答案为：x1＝﹣2、x2＝4． 14．【解答】解：∵抛物线 y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）的对称轴为直线 x＝1，且抛物线与 x 轴 的一个交点为（5，0）， ∴抛物线与 x 轴的另一交点坐标为（1×2﹣5，0），即（﹣3，0）．故答案为：（﹣3，0）． 15．【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为 r， 根据题意得 2 π r＝6 π ，解得 r＝3， 所以圆锥的高＝ ＝4（cm）． 故答案为 4cm． 16．【解答】解：连接 OD、OC， ∵PC，PD 是 ⊙ O 的切线， ∴∠PDO＝∠PCO＝90°，PC＝PD， ∵ ＝ ＝ ，P 是半圆外一点， ∴∠DOC＝90°，∠DOF＝∠COE＝45°， ∴四边形 PDOC 是正方形， ∵DF⊥AB，CE⊥AB， ∴△DFO 和△CEO 是等腰直角三角形， ∵直径 AB＝10， ∴OD＝OC＝5， ∴OE＝OF＝ ， ∴图中阴影部分的面积＝S 正方形 PDOC﹣S 扇形 ODC+2（S 扇形 ODA﹣S△ODF）＝5×5﹣ +2 （ ﹣ ）＝25﹣ + ﹣ ＝12.5cm2． 故答案为：12.5． 三．解答题（共 3 小题，满分 18 分，每小题 6 分） 17．【解答】解：∵x2﹣2x﹣15＝0． ∴a＝1，b＝﹣2，c＝﹣15， ∴b2﹣4ac＝4+60＝64＞0，∴x＝ ， ∴x＝5 或﹣3． 18．【解答】（1）解：连接 OC．设 ⊙ O 的半径为 R． ∵CD⊥AB， ∴DE＝EC＝4， 在 Rt△OEC 中，∵OC2＝OE2+EC2， ∴R2＝（R﹣2）2+42， 解得 R＝5． （2）证明：连接 AD， ∵弦 CD⊥AB ∴ ＝ ， ∴∠ADC＝∠AGD， ∵四边形 ADCG 是圆内接四边形， ∴∠ADC＝∠FGC， ∴∠FGC＝∠AGD． 19．【解答】解：如图所示，△A1B1C1 即为所求， A1（3，﹣2），B1（2，1），C1（﹣2，﹣3）．四．解答题（共 3 小题，满分 21 分，每小题 7 分） 20．【解答】解：（1）设这两年该企业年利润平均增长率为 x．根据题意得 2（1+x）2＝2.88， 解得 x1 ＝0.2＝20%，x2 ＝﹣2.2 （不合题意，舍去）． 答：这两年该企业年利润平均增长率为 20%； （2）如果 2018 年仍保持相同的年平均增长率，那么 2018 年该企业年利润为： 2.88（1+20%）＝3.456， 3.456＜3.5 答：该企业 2018 年的利润不能超过 3.5 亿元． 21．【解答】解：（1）a＝1﹣（0.15+0.20+0.35）＝0.3， ∵总人数为：3÷0.15＝20（人）， ∴b＝20×0.20＝4（人）； 故答案为：0.3，4； （2）900×（0.35+0.3）＝585（人）， 答：估计该校该体育项目的成绩为良和优的学生有 585 人； （3）画树状图如下： 由树状图可知共有 12 种等可能结果，其中所选两人正好是甲班和乙班各一人的有 5 种， 所以所选两人正好是甲班和乙班各一人的概率为 ． 22．【解答】（1）证明：∵△ABC 和△EDC 是全等的等腰直角三角形， ∴∠A＝∠B＝∠E＝∠D＝45°，CA＝CB＝CE＝CD， ∵△ABC 不动，把△EDC 绕点 C 按顺时针方向旋转，旋转角为 α ， ∴CA＝CD，∠A＝∠D，∠ACE＝∠BCD＝ α ，在△CAF 和△CDH 中 ， ∴△CAF≌△CDH， ∴CF＝CH； （2）解：四边形 ACDM 是菱形．理由如下： ∵∠ACE＝∠BCD＝45°， 而∠A＝45°， ∴∠AFC＝90°， 而∠FCD＝90°， ∴AB∥CD， 同理可得 AC∥DE， ∴四边形 ACDM 是平行四边形， 而 CA＝CD， ∴四边形 ACDM 是菱形； （3）解：∵CB＝CD，∠BCD＝ α ， ∴∠CBD＝∠CDB＝ （180°﹣ α ）， ∴∠HBD＞∠BDH， ∴当 DB＝DH 或 BH＝BD 时，△BDH 是等腰三角形， ∵∠BHD＝∠HCD+∠HDC＝ α +45°， 当 DB＝DH，则∠HBD＝∠BHD，即 （180°﹣ α ）＝ α +45°，解得 α ＝30°； 当 BH＝BD，则∠BHD＝∠BDH，即 α +45°＝ （180°﹣ α ）﹣45°，解得 α ＝0（舍去）， ∴ α ＝30°， 即当旋转角 α 的度数为 30°时，△BDH 是等腰三角形． 故答案为 30°．五．解答题（共 3 小题，满分 27 分，每小题 9 分） 23．【解答】解：（1）设 y＝kx+b， 将 x＝3.5，y＝280；x＝5.5，y＝120 代入， 得 ，解得 ， 则 y 与 x 之间的函数关系式为 y＝﹣80x+560； （2）由题意，得（x﹣3）（﹣80x+560）﹣80＝160， 整理，得 x2﹣10x+24＝0， 解得 x1＝4，x2＝6． ∵3.5≤x≤5.5， ∴x＝4． 答：如果每天获得 160 元的利润，销售单价为 4 元； （3）由题意得：w＝（x﹣3）（﹣80x+560）﹣80 ＝﹣80x2+800x﹣1760 ＝﹣80（x﹣5）2+240， ∵3.5≤x≤5.5， ∴当 x＝5 时，w 有最大值为 240． 故当销售单价定为 5 元时，每天的利润最大，最大利润是 240 元． 24．【解答】解：（1）∵AB 是 ⊙ O 的直径， ∴∠ADB＝90°，即∠BAD+∠ABD＝90°， ∵PB 是 ⊙ O 的切线， ∴∠ABP＝90°，即∠PBD+∠ABD＝90°， ∴∠BAD＝∠PBD；（2）∵∠A＝∠C、∠AED＝∠CEB， ∴△ADE∽△CBE， ∴ ＝ ，即 DE•CE＝AE•BE， 如图，连接 OC， 设圆的半径为 r，则 OA＝OB＝OC＝r， 则 DE•CE＝AE•BE＝（OA﹣OE）（OB+OE）＝r2﹣OE2， ∵ ＝ ， ∴∠AOC＝∠BOC＝90°， ∴CE2＝OE2+OC2＝OE2+r2，BC2＝BO2+CO2＝2r2， 则 BC2﹣CE2＝2r2﹣（OE2+r2）＝r2﹣OE2， ∴BC2﹣CE2＝DE•CE； （3）∵OA＝4， ∴OB＝OC＝OA＝4， ∴BC＝ ＝4 ， 又∵E 是半径 OA 的中点， ∴AE＝OE＝2， 则 CE＝ ＝ ＝2 ， ∵BC2﹣CE2＝DE•CE， ∴（4 ）2﹣（2 ）2＝DE•2 ， 解得：DE＝ ． 25．【解答】解：（1）∵二次函数 y＝ax2+bx﹣3a 经过点 A（﹣1，0）、C（0，3），∴根据题意，得 ， 解得 ， ∴抛物线的解析式为 y＝﹣x2+2x+3． （2）由 y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4 得，D 点坐标为（1，4）， ∴CD＝ ＝ ， BC＝ ＝3 ， BD＝ ＝2 ， ∵CD2+BC2＝（ ）2+（3 ）2＝20，BD2＝（2 ）2＝20， ∴CD2+BC2＝BD2， ∴△BCD 是直角三角形； （3）存在． y＝﹣x2+2x+3 对称轴为直线 x＝1． ① 若以 CD 为底边，则 P1D＝P1C， 设 P1 点坐标为（x，y），根据勾股定理可得 P1C2＝x2+（3﹣y）2，P1D2＝（x﹣1）2+（4﹣y） 2， 因此 x2+（3﹣y）2＝（x﹣1）2+（4﹣y）2， 即 y＝4﹣x． 又 P1 点（x，y）在抛物线上， ∴4﹣x＝﹣x2+2x+3， 即 x2﹣3x+1＝0， 解得 x1＝ ，x2＝ ＜1，应舍去， ∴x＝ ， ∴y＝4﹣x＝ ， 即点 P1 坐标为（ ， ）． ② 若以 CD 为一腰，∵点 P2 在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点 P2 与点 C 关于直线 x＝1 对称， 此时点 P2 坐标为（2，3）． ∴符合条件的点 P 坐标为（ ， ）或（2，3）．