2018-2019学年九年级数学上期末模拟试卷（广州市越秀区含答案）.pdf

2018-2019 学年广东省广州市越秀区九年级（上）期末数学模拟 试卷 一．选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分） 1．下列所给的汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2．将抛物线 y＝ x2﹣6x+21 向左平移 2 个单位后，得到新抛物线的解析式为（ ） A．y＝ （x﹣8）2+5 B．y＝ （x﹣4）2+5 C．y＝ （x﹣8）2+3 D．y＝ （x﹣4）2+3 3．下列事件中必然发生的事件是（ ） A．一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等 B．不等式的两边同时乘以一个数，结果仍是不等式 C．200 件产品中有 5 件次品，从中任意抽取 6 件，至少有一件是正品 D．随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数 4．已知 x＝3 是关于 x 的一元二次方程 x2﹣2x﹣m＝0 的根，则该方程的另一个根是（ ） A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1 5．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AC＝4 ，BC 的中点为 D．将△ ABC 绕点 C 顺时针旋转任意一个角度得到△FEC，EF 的中点为 G，连接 DG．在旋转过 程中，DG 的最大值是（ ） A．4 B．6 C．2+2 D．8 6．要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为 5cm，6cm 和 9cm， 另一个三角形的最短边长为 2.5cm，则它的最长边为（ ）A．3cm B．4cm C．4.5cm D．5cm 7．下列关于抛物线 y＝3（x﹣1）2+1 的说法，正确的是（ ） A．开口向下 B．对称轴是 x＝﹣1 C．顶点坐标是（﹣1，1） D．有最小值 y＝1 8．关于 x 的一元二次方程 kx2+2x﹣1＝0 有两个不相等实数根，则 k 的取值范围是（ ） A．k＞﹣1 B．k≥﹣1 C．k≠0 D．k＞﹣1 且 k≠0 9．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，对正方形 ABCD 及其内部的每个点进行如下操作：把 每个点的横、纵坐标都乘以同一个实数 a，将得到的点先向右平移 m 个单位，再向上平 移 n 个单位（m＞0，n＞0），得到正方形 A'B'C'D'及其内部的点，其中点 A、B 的对应点 分别为 A'，B'．已知正方形 ABCD 内部的一个点 F 经过上述操作后得到的对应点 F'与点 F 重合，则点 F 的坐标是（ ） A．（1，4） B．（1，5） C．（﹣1，4） D．（4，1） 10．已知正六边形的边长为 4，则它的内切圆的半径为（ ） A．1 B． C．2 D．2 二．填空题（共 6 小题，满分 18 分，每小题 3 分） 11．若一平行四边形的 3 个顶点坐标分别为（0，0），（4，0），（2，4），则第 4 个顶点坐标 是 ． 12．在一个不透明的口袋中装有 5 个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过 多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在 0.25 附近，则估计口袋中白球大约有 个． 13．抛物线 y＝2（x+1）2﹣3 的顶点坐标为 ． 14．如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径 CA＝6，圆心角∠ACB＝120°，则此圆锥 高 OC 的长度是 ．15．若矩形 ABCD 的两邻边长分别为一元二次方程 x2﹣6x+4＝0 的两个实数根，则矩形 ABCD 的周长为 ． 16．若△ABC∽△A′B′C′，且△ABC 与△A′B′C′的面积之比为 1：3，则相似比 为 ． 三．解答题（共 9 小题，满分 102 分） 17．解方程：x（x+4）＝﹣3（x+4）．18．在平面直角坐标系中，△ABC 的位置如图所示．（每个小方格都是边长为 1 个单位长度 的正方形） （1）画出△ABC 关于原点对称的△A'B'C'； （2）将△A'B'C'绕点 C'顺时针旋转 90°，画出旋转后得到的△A″B″C″，并直接写出此 过程中线段 C'A'扫过图形的面积．（结果保留 π ） 19．如图，在一个可以自由转动的转盘中，指针位置固定，三个扇形的面积都相等，且分别 标有数字 1，2，3． （1）小明转动转盘一次，当转盘停止转动时，指针所指扇形中的数字是奇数的概率 为 ； （2）小明先转动转盘一次，当转盘停止转动时，记录下指针所指扇形中的数字；接着再转 动转盘一次，当转盘停止转动时，再次记录下指针所指扇形中的数字，求这两个数字之 和是 3 的倍数的概率（用画树状图或列表等方法求解）．20．如图，AC 是 ▱ ABCD 的对角线，在 AD 边上取一点 F，连接 BF 交 AC 于点 E，并延长 BF 交 CD 的延长线于点 G． （1）若∠ABF＝∠ACF，求证：CE2＝EF•EG； （2）若 DG＝DC，BE＝6，求 EF 的长． 21．某公司今年 1 月份的生产成本是 400 万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3 月份 的生产成本是 361 万元． 假设该公司 2、3、4 月每个月生产成本的下降率都相同． （1）求每个月生产成本的下降率； （2）请你预测 4 月份该公司的生产成本．22．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°． （1）作出经过点 B，圆心 O 在斜边 AB 上且与边 AC 相切于点 E 的 ⊙ O（要求：用尺规作图， 保留作图痕迹，不写作法和证明） （2）设（1）中所作的 ⊙ O 与边 AB 交于异于点 B 的另外一点 D，若 ⊙ O 的直径为 5，BC＝ 4；求 DE 的长．（如果用尺规作图画不出图形，可画出草图完成（2）问） 23．抛物线 y＝ax2+2ax+c（a＞0，c＜0），与 x 轴交于 A、B 两点（A 在 B 左侧），与 y 轴交 于点 C，A 点坐标为（﹣3，0），抛物线顶点为 D，△ACD 的面积为 3． （1）求二次函数解析式； （2）点 P（m，n）是抛物线第三象限内一点，P 关于原点的对称点 Q 在第一象限内，当 QB2 取最小值时，求 m 的值．24．如图，已知二次函数 y＝ax2+bx﹣3a 经过点 A（﹣1，0），C（0，3），与 x 轴交于另一 点 B，抛物线的顶点为 D． （1）求此二次函数解析式； （2）连接 DC、BC、DB，求证：△BCD 是直角三角形； （3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点 P，使得△PDC 为等腰三角形？若存在，求出符 合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．25．已知 AB 是 ⊙ O 的直径，弦 CD⊥AB 于 H，过 CD 延长线上一点 E 作 ⊙ O 的切线交 AB 的延长线于 F，切点为 G，连接 AG 交 CD 于 K． （1）如图 1，求证：KE＝GE； （2）如图 2，连接 CABG，若∠FGB＝ ∠ACH，求证：CA∥FE； （3）如图 3，在（2）的条件下，连接 CG 交 AB 于点 N，若 sinE＝ ，AK＝ ，求 CN 的长．参考答案 一．选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分） 1．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误． 故选：B． 2．【解答】解：y＝ x2﹣6x+21 ＝ （x2﹣12x）+21 ＝ [（x﹣6）2﹣36]+21 ＝ （x﹣6）2+3， 故 y＝ （x﹣6）2+3，向左平移 2 个单位后， 得到新抛物线的解析式为：y＝ （x﹣4）2+3． 故选：D． 3．【解答】解：A、一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等，是不可能事件，故此 选项错误； B、不等式的两边同时乘以一个数，结果仍是不等式，是随机事件，故此选项错误； C、200 件产品中有 5 件次品，从中任意抽取 6 件，至少有一件是正品，是必然事件，故此 选项正确； D、随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数，是随机事件，故此选项错误； 故选：C． 4．【解答】解：设方程的另一个根为 x1， 根据题意得：x1+3＝2， 解得：x1＝﹣1． 故选：D． 5．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴AB＝AC÷cos30°＝4 ÷ ＝8， BC＝AC•tan30°＝4 × ＝4， ∵BC 的中点为 D， ∴CD＝ BC＝ ×4＝2， 连接 CG，∵△ABC 绕点 C 顺时针旋转任意一个角度得到△FEC，EF 的中点为 G， ∴CG＝ EF＝ AB＝ ×8＝4， 由三角形的三边关系得，CD+CG＞DG， ∴D、C、G 三点共线时 DG 有最大值， 此时 DG＝CD+CG＝2+4＝6． 故选：B． 6．【解答】解：设另一个三角形的最长边长为 xcm， 根据题意，得： ＝ ， 解得：x＝4.5， 即另一个三角形的最长边长为 4.5cm， 故选：C． 7．【解答】解：抛物线 y＝3（x﹣1）2+1 中 a＝3＞0，开口向上；对称轴为直线 x＝1；顶点 坐标为（1，1）；当 x＝1 时取得最小值 y＝1； 故选：D． 8．【解答】解：根据题意得 k≠0 且△＝22﹣4k×（﹣1）＞0， 所以 k＞﹣1 且 k≠0． 故选：D． 9．【解答】解：由点 A 到 A′，可得方程组 ； 由 B 到 B′，可得方程组 ，解得 ， 设 F 点的坐标为（x，y），点 F′点 F 重合得到方程组 ， 解得 ， 即 F（1，4）． 故选：A． 10．【解答】解：如图，连接 OA、OB，OG； ∵六边形 ABCDEF 是边长为 4 的正六边形， ∴△OAB 是等边三角形， ∴OA＝AB＝4， ∴OG＝OA•sin60°＝4× ＝2 ， ∴边长为 4 的正六边形的内切圆的半径为：2 ． 故选：D． 二．填空题（共 6 小题，满分 18 分，每小题 3 分） 11．【解答】解：如图，第 4 个顶点坐标是（6，4）或（﹣2，4）或（2，﹣4）． 故答案为：（6，4）或（﹣2，4）或（2，﹣4）．12．【解答】解：设白球个数为：x 个， ∵摸到红色球的频率稳定在 0.25 左右， ∴口袋中得到红色球的概率为 0.25， ∴ ＝ ， 解得：x＝15， 即白球的个数为 15 个， 故答案为：15． 13．【解答】解：顶点坐标是（﹣1，﹣3）． 故答案为：（﹣1，﹣3）． 14．【解答】解：设圆锥底面圆的半径为 r， ∵AC＝6，∠ACB＝120°， ∴ ＝ ＝2 π r， ∴r＝2，即：OA＝2， 在 Rt△AOC 中，OA＝2，AC＝6，根据勾股定理得，OC＝ ＝4 ， 故答案为：4 ． 15．【解答】解：∵设矩形 ABCD 的两邻边长分别为 α 、 β 是一元二次方程 x2﹣6x+4＝0 的两 个实数根， ∴ α + β ＝6， ∴矩形 ABCD 的周长为 6×2＝12． 故答案为：12． 16．【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，△ABC 与△A′B′C′的面积之比为 1：3，∴△ABC 与△A′B′C′的相似比为 1： ． 故答案为：1： ． 三．解答题（共 9 小题，满分 102 分） 17．【解答】解：x（x+4）+3（x+4）＝0， （x+4）（x+3）＝0， x+4＝0 或 x+3＝0， 所以 x1＝﹣4，x2＝﹣3． 18．【解答】解：（1）如图所示，△A'B'C'即为所求． （2）如图所示，△A″B″C″即为所求， ∵A′C′＝ ＝3 ，∠A′C′A″＝90°， ∴线段 C'A'扫过图形的面积 ＝ π ． 19．【解答】解：（1）∵在标有数字 1、2、3 的 3 个转盘中，奇数的有 1、3 这 2 个， ∴指针所指扇形中的数字是奇数的概率为 ， 故答案为： ； （2）列表如下： 1 2 3 1 （1，1） （2，1） （3，1）2 （1，2） （2，2） （3，2） 3 （1，3） （2，3） （3，3） 由表可知，所有等可能的情况数为 9 种，其中这两个数字之和是 3 的倍数的有 3 种， 所以这两个数字之和是 3 的倍数的概率为 ＝ ． 20．【解答】解：（1）∵AB∥CG， ∴∠ABF＝∠G， 又∵∠ABF＝∠ACF， ∴∠ECF＝∠G， 又∵∠CEF＝∠CEG， ∴△ECF∽△EGC， ∴ ，即 CE2＝EF•EG； （2）∵平行四边形 ABCD 中，AB＝CD， 又∵DG＝DC， ∴AB＝CD＝DG， ∴AB：CG＝1：2， ∵AB∥CG， ∴ ， 即 ， ∴EG＝12，BG＝18， ∵AB∥DG， ∴ ， ∴BF＝ BG＝9， ∴EF＝BF﹣BE＝9﹣6＝3．21．【解答】解：（1）设每个月生产成本的下降率为 x， 根据题意得：400（1﹣x）2＝361， 解得：x1＝0.05＝5%，x2＝1.95（不合题意，舍去）． 答：每个月生产成本的下降率为 5%． （2）361×（1﹣5%）＝342.95（万元）． 答：预测 4 月份该公司的生产成本为 342.95 万元． 22．【解答】解：（1） ⊙ O 如图所示； （2）作 OH⊥BC 于 H． ∵AC 是 ⊙ O 的切线， ∴OE⊥AC， ∴∠C＝∠CEO＝∠OHC＝90°， ∴四边形 ECHO 是矩形， ∴OE＝CH＝ ，BH＝BC﹣CH＝ ， 在 Rt△OBH 中，OH＝ ＝2， ∴EC＝OH＝2，BE＝ ＝2 ， ∵∠EBC＝∠EBD，∠BED＝∠C＝90°， ∴△BCE∽△BED，∴ ＝ ， ∴ ＝ ， ∴DE＝ ． 23．【解答】解：（1）把 A（﹣3，0）代入 y＝ax2+2ax+c 得到 c＝﹣3a， ∴抛物线的解析式为 y＝ax2+2ax﹣3a＝a（x+1）2﹣4a， ∴D（﹣1，﹣4a），C（0，﹣3a）， ∵S△ACD＝S△AOD+S△OCD﹣S△AOC， ∴ ×3×4a+ ×3a×1﹣ ×3×3a＝15， 解得 a＝1， ∴抛物线的解析式为 y＝x2+2x﹣3． （2）由题意 Q（﹣m，﹣n），B（1，0）， ∴QB2＝（m+1）2+n2， ∵n＝（m+1）2﹣4， ∴（m+1）2＝n+4， ∴QB2＝n+4+n2＝（n+ ）2+ ， ∴n＝﹣ 时，QB2 有最小值， 此时﹣ ＝（m+1）2﹣4， 解得 m＝﹣1﹣ 或﹣1+ （舍弃）． ∴当 QB2 取最小值时，m 的值为﹣1﹣ ． 24．【解答】解：（1）∵二次函数 y＝ax2+bx﹣3a 经过点 A（﹣1，0）、C（0，3），∴根据题意，得 ， 解得 ， ∴抛物线的解析式为 y＝﹣x2+2x+3． （2）由 y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4 得，D 点坐标为（1，4）， ∴CD＝ ＝ ， BC＝ ＝3 ， BD＝ ＝2 ， ∵CD2+BC2＝（ ）2+（3 ）2＝20，BD2＝（2 ）2＝20， ∴CD2+BC2＝BD2， ∴△BCD 是直角三角形； （3）存在． y＝﹣x2+2x+3 对称轴为直线 x＝1． ① 若以 CD 为底边，则 P1D＝P1C， 设 P1 点坐标为（x，y），根据勾股定理可得 P1C2＝x2+（3﹣y）2，P1D2＝（x﹣1）2+（4﹣y） 2， 因此 x2+（3﹣y）2＝（x﹣1）2+（4﹣y）2， 即 y＝4﹣x． 又 P1 点（x，y）在抛物线上， ∴4﹣x＝﹣x2+2x+3， 即 x2﹣3x+1＝0， 解得 x1＝ ，x2＝ ＜1，应舍去， ∴x＝ ， ∴y＝4﹣x＝ ， 即点 P1 坐标为（ ， ）． ② 若以 CD 为一腰，∵点 P2 在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点 P2 与点 C 关于直线 x＝1 对称， 此时点 P2 坐标为（2，3）． ∴符合条件的点 P 坐标为（ ， ）或（2，3）． 25．【解答】（1）证明：连接 OG． ∵EF 切 ⊙ O 于 G， ∴OG⊥EF， ∴∠AGO+∠AGE＝90°， ∵CD⊥AB 于 H， ∴∠AHD＝90°， ∴∠OAG＝∠AKH＝90°， ∵OA＝OG， ∴∠AGO＝∠OAG， ∴∠AGE＝∠AKH， ∵∠EKG＝∠AKH， ∴∠EKG＝∠AGE， ∴KE＝GE． （2）设∠FGB＝ α ， ∵AB 是直径， ∴∠AGB＝90°， ∴∠AGE＝∠EKG＝90°﹣ α ， ∴∠E＝180°﹣∠AGE﹣∠EKG＝2 α ， ∵∠FGB＝ ∠ACH， ∴∠ACH＝2 α ，∴∠ACH＝∠E， ∴CA∥FE． （3）作 NP⊥AC 于 P． ∵∠ACH＝∠E， ∴sin∠E＝sin∠ACH＝ ＝ ，设 AH＝3a，AC＝5a， 则 CH＝ ＝4a，tan∠CAH＝ ＝ ， ∵CA∥FE， ∴∠CAK＝∠AGE， ∵∠AGE＝∠AKH， ∴∠CAK＝∠AKH， ∴AC＝CK＝5a，HK＝CK﹣CH＝a，tan∠AKH＝ ＝3，AK＝ ＝ a， ∵AK＝ ， ∴ a＝ ， ∴a＝1．AC＝5， ∵∠BHD＝∠AGB＝90°， ∴∠BHD+∠AGB＝180°， 在四边形 BGKH 中，∠BHD+∠HKG+∠AGB+∠ABG＝360°， ∴∠ABG+∠HKG＝180°，∵∠AKH+∠HKG＝180°， ∴∠AKH＝∠ABG， ∵∠ACN＝∠ABG， ∴∠AKH＝∠ACN， ∴tan∠AKH＝tan∠ACN＝3， ∵NP⊥AC 于 P， ∴∠APN＝∠CPN＝90°， 在 Rt△APN 中，tan∠CAH＝ ＝ ，设 PN＝12b，则 AP＝9b， 在 Rt△CPN 中，tan∠ACN＝ ＝3， ∴CP＝4b，∴AC＝AP+CP＝13b， ∵AC＝5， ∴13b＝5， ∴b＝ ， ∴CN＝ ＝4 b＝ ．