2018-2019 学年山东省济宁市金乡县九年级（上）期末数学模拟
试卷
一．选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分）
1．在下图的四个立体图形中，从正面看是四边形的立体图形有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
2．如图，△ABC 在边长为 1 个单位的方格纸中，它的顶点在小正方形的顶点位置．如果△
ABC 的面积为 10，且 sinA＝ ，那么点 C 的位置可以在（ ）
A．点 C1 处 B．点 C2 处 C．点 C3 处 D．点 C4 处
3．关于 x 的方程 x2﹣2mx+4＝0 有两个不同的实根，并且有一个根小于 1，另一个根大于 3，
则实数 m 的取值范围为（ ）
A．m＞ B．m＜﹣
C．m＜﹣2 或 m＞2 D．m＞
4．若反比例函数 y＝ （k≠0）的图象经过点 P（2，﹣3），则该函数的图象不经过的点是
（ ）
A．（3，﹣2） B．（1，﹣6） C．（﹣1，6） D．（﹣1，﹣6）
5．如图（1），在正方形铁皮上剪下一个圆形和扇形，使之恰好围成图（2）所示的一个圆锥
模型，则圆的半径 r 与扇形的半径 R 之间的关系为（ ）A．R＝2r B．R＝r C．R＝3r D．R＝4r
6．如图，某轮船在点 O 处测得一个小岛上的电视塔 A 在北偏西 60°的方向，船向西航行
20 海里到达 B 处，测得电视塔 A 在船的西北方向，若要轮船离电视塔最近，则还需向西
航行（ ）
A． 海里 B． 海里
C． 海里 D． 海里
7．如图所示，河堤横断面迎水坡 AB 的坡比是 1： ，堤高 BC＝4m，则坡面 AB 的长度是
（ ）
A． m B．4 m C．2 m D．4 m
8．如图，
⊙
A 经过点 E、B、C、O，且 C（0，8），E（﹣6，0），O（0，0），则 cos∠OBC
的值为（ ）
A． B． C． D．9．如图所示，抛物线 y＝ax2+bx+c 的顶点为 B（﹣1，3），与 x 轴的交点 A 在点（﹣3，0）
和（﹣2，0）之间，以下结论：
①
b2﹣4ac＝0，
②
2a﹣b＝0，
③
a+b+c＜0；
④
c﹣a＝3，
其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，在△ABC 中，BC 的垂直平分线交 AC 于点 E，交 BC 于点 D，且 AD＝AB，连接
BE 交 AD 于点 F，下列结论：（ ）
①
∠EBC＝∠C；
②
△EAF∽△EBA；
③
BF＝3EF；
④
∠DEF＝∠DAE，其中结论正确的个
数有
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
二．填空题（共 5 小题，满分 15 分，每小题 3 分）
11．计算；sin30°•tan30°+cos60°•tan60°＝ ．
12．将抛物线 y＝x2+2x 向左平移 2 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度，得到的抛物线
的表达式为 ；
13．如图，将直角坐标系中的△ABO 绕点 O 旋转 90°得到△CDO，则点 D 的坐标是 ．
14．在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，将 Rt△ABC 绕 A 点逆时针旋转 30°后得
到 Rt△ADE，点 B 经过的路径为 ，则图中阴影部分的面积是 ．15．如图，在反比例函数 y＝﹣ 的图象上有一点 A，连接 AO 并延长交图象的另一支于点
B，在第一象限内有一点 C，满足 AC＝BC，当点 A 运动时，点 C 始终在函数 y＝ 的图
象上运动，若 tan∠CAB＝3，则 k＝ ．
三．解答题（共 7 小题，满分 55 分）
16．解方程
（1）4x2﹣8x+3＝0
（2）x（x+6）＝717．在四张背面完全相同的纸牌 A、B、C、D 中，其中正面分别画有四个不同的几何图形
（如图），小华将这 4 张纸牌背面朝上洗匀后摸出一张（不放回），再从余下的 3 张纸牌
中摸出一张．
（1）用树状图（或列表法）表示两次摸牌所有可能出现的结果（纸牌可用 A、B、C、D 表
示）；
（2）求摸出两张纸牌牌面上所画几何图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的概率．
18．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 y＝ x 与反比例函数 y＝ （k≠0）的图
象交于点 A，且点 A 的横坐标为 1，点 B 是 x 轴正半轴上一点，且 AB⊥OA．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求点 B 的坐标；
（3）先在∠AOB 的内部求作点 P，使点 P 到∠AOB 的两边 OA、OB 的距离相等，且 PA＝
PB；再写出点 P 的坐标．（不写作法，保留作图痕迹，在图上标注清楚点 P）19．在数学实践活动课上，老师带领同学们到附近的湿地公园测量园内雕塑的高度．用测角
仪在 A 处测得雕塑顶端点 C 的仰角为 30°，再往雕塑方向前进 4 米至 B 处，测得仰角为
45°．问：该雕塑有多高？（测角仪高度忽略不计，结果不取近似值．）
20．如图 1，以△ABC 的边 AB 为直径作
⊙
O，交 AC 边于点 E，BD 平分∠ABE 交 AC 于 F，
交
⊙
O 于点 D，且∠BDE＝∠CBE．
（1）求证：BC 是
⊙
O 的切线；
（2）延长 ED 交直线 AB 于点 P，如图 2，若 PA＝AO，DE＝3，DF＝2，求 的值及 AO
的长．21．某大学生创业团队抓住商机，购进一批干果分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋
成本 3 元．试销期间发现每天的销售量 y（袋）与销售单价 x（元）之间满足一次函数关
系，部分数据如表所示，其中 3.5≤x≤5.5，另外每天还需支付其他各项费用 80 元．
销售单价 x（元） 3.5 5.5
销售量 y（袋） 280 120
（1）请直接写出 y 与 x 之间的函数关系式；
（2）如果每天获得 160 元的利润，销售单价为多少元？
（3）设每天的利润为 w 元，当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少
元？22．如图，直线 AB 和抛物线的交点是 A（0，﹣3），B（5，9），已知抛物线的顶点 D 的横
坐标是 2．
（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）在 x 轴上是否存在一点 C，与 A，B 组成等腰三角形？若存在，求出点 C 的坐标，若
不在，请说明理由；
（3）在直线 AB 的下方抛物线上找一点 P，连接 PA，PB 使得△PAB 的面积最大，并求出这
个最大值．参考答案
一．选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分）
1．【解答】解：正方体的正视图是四边形；
球的正视图是圆；
圆锥的正视图是等腰三角形；
圆柱的正视图是四边形；
是四边形的有两个．
故选：B．
2．【解答】解：过点 C 作 CD⊥直线 AB 于点 D，如图所示．
∵AB＝5，△ABC 的面积为 10，
∴CD＝4．
∵sinA＝ ，
∴AC＝4 ，
∴AD＝ ＝8，
∴点 C 在点 C4 处．
故选：D．
3．【解答】解：∵x 的方程 x2﹣2mx+4＝0 有两个不同的实根，
∴△＝4m2﹣16＞0，
∴m＞2 或 m＜﹣2，
∵方程 x2﹣2mx+4＝0 对应的二次函数，f（x）＝x2﹣2mx+4 的开口向上，而方程 x2﹣2mx+4
＝0 有两个不同的实根，并且有一个根小于 1，另一个根大于 3，
∴f（1）＜0，且 f（3）＜0，∴ ，
∴m＞ ，
∵m＞2 或 m＜﹣2，
∴∴m＞ ，
故选：A．
4．【解答】解：∵反比例函数 y＝ （k≠0）的图象经过点 P（2，﹣3），
∴k＝2×（﹣3）＝﹣6
∴解析式 y＝
当 x＝3 时，y＝﹣2
当 x＝1 时，y＝﹣6
当 x＝﹣1 时，y＝6
∴图象不经过点（﹣1，﹣6）
故选：D．
5．【解答】解：∵扇形的弧长＝ ＝ ，
圆的周长为 2
π
r，
∴ ＝2
π
r，
R＝4r，
故选：D．
6．【解答】解：作 AC⊥OB 于 C 点，只要到 C 处，轮船离电视塔最近，求出 BC 长即可，
由已知得：∠AOB＝30°，∠ABC＝45°、OB＝20 海里，
∴BC＝AC，CO＝AC÷tan∠AOB＝AC÷tan30°＝ ，
∵CO﹣CB＝ ﹣AC＝20，
解得：AC＝ 海里，
∴BC＝AC＝10（ +1）海里，
故选：A．7．【解答】解：∵迎水坡 AB 的坡比是 1： ，
∴BC：AC＝1： ，BC＝4m，
∴AC＝4 m，
则 AB＝ ＝4 （m）．
故选：D．
8．【解答】解：连接 EC，∵∠COE＝90°，
∴EC 是
⊙
A 的直径，
∵C（0，8），E（﹣6，0），O（0，0），
∴OC＝8，OE＝6，
由勾股定理得：EC＝10，
∵∠OBC＝∠OEC，
∴cos∠OBC＝cos∠OEC＝ ＝ ．
故选：A．
9．【解答】解：抛物线与 x 轴有两个交点，
∴△＞0，
∴b2﹣4ac＞0，故
①
错误；
由于对称轴为 x＝﹣1，
∴x＝﹣3 与 x＝1 关于 x＝﹣1 对称，
∵x＝﹣3 时，y＜0，∴x＝1 时，y＝a+b+c＜0，故
③
正确；
∵对称轴为 x＝﹣ ＝﹣1，
∴2a﹣b＝0，故
②
正确；
∵顶点为 B（﹣1，3），
∴y＝a﹣b+c＝3，
∴y＝a﹣2a+c＝3，
即 c﹣a＝3，故
④
正确；
故选：C．
10．【解答】解：∵BC 的垂直平分线交 AC 于点 E，交 BC 于点 D，
∴CE＝BE，
∴∠EBC＝∠C，故
①
正确；
∵AD＝AB，
∴∠8＝∠ABC＝∠6+∠7，
∵∠8＝∠C+∠4，
∴∠C+∠4＝∠6+∠7，
∴∠4＝∠6，
∵∠AEF＝∠AEB，
∴△EAF∽△EBA，故
②
正确；
作 AG⊥BD 于点 G，交 BE 于点 H，
∵AD＝AB，DE⊥BC，
∴∠2＝∠3，DG＝BG＝ BD，DE∥AG，
∴△CDE∽△CGA，△BGH∽△BDE，DE＝AH，∠EDA＝∠3，∠5＝∠1，
∴在△DEF 与△AHF 中，，
∴△DEF≌△AHF（AAS），
∴AF＝DF，EF＝HF＝ EH，且 EH＝BH，
∴EF：BF＝1：3，故
③
正确；
∵∠1＝∠2+∠6，且∠4＝∠6，∠2＝∠3，
∴∠5＝∠3+∠4，
∴∠5≠∠4，故
④
错误，
综上所述：正确的答案有 3 个，
故选：C．
二．填空题（共 5 小题，满分 15 分，每小题 3 分）
11．【解答】解：sin30°•tan30°+cos60°•tan60°
＝ × + ×
＝ ．
故答案为： ．
12．【解答】解：y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，此抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣1），
把点（﹣1，﹣1）向左平移 2 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度后所得对应点的坐标为
（﹣3，﹣4），所以平移后得到的抛物线的解析式为 y＝（x+3）2﹣4．
故答案为：y＝（x+3）2﹣4．
13．【解答】解：由图易知 DC＝AB＝2，CO＝AO＝3，∠OCD＝∠OAB＝90°，
∵点 A 在第二象限，
∴点 D 的坐标是（﹣2，3）．
14．【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，
∴AB＝ ＝ ，
∴点 B 经过的路径长＝ ＝ ；
由图可知，S 阴影＝S△ADE+S 扇形 ABD﹣S△ABC，
由旋转的性质得，S△ADE＝S△ABC，∴S 阴影＝S 扇形 ABD＝ ＝ ．
故答案为： ； ．
15．【解答】解：连接 OC，过点 A 作 AE⊥y 轴于点 E，过点 C 作 CF⊥x 轴于点 F，如图所
示．
由直线 AB 与反比例函数 y＝﹣ 的对称性可知 A、B 点关于 O 点对称，
∴AO＝BO．
又∵AC＝BC，
∴CO⊥AB．
∵∠AOE+∠EOC＝90°，∠EOC+∠COF＝90°，
∴∠AOE＝∠COF，
又∵∠AEO＝90°，∠CFO＝90°，
∴△AOE∽△COF，
∴ ＝ ＝ ，
∵tan∠CAB＝ ＝3，
∴CF＝3AE，OF＝3OE．
又∵AE•OE＝|﹣2|＝2，CF•OF＝|k|，
∴k＝±18．
∵点 C 在第一象限，
∴k＝18．
故答案为：18．三．解答题（共 7 小题，满分 55 分）
16．【解答】解：（1）因式分解得
（2x﹣1）（2x﹣3）＝0
于是，得
2x﹣1＝0 或 2x﹣3＝0，
解得 x1＝ ，x2＝ ；
（2）方程整理，得
x2+6x﹣7＝0
因式分解，得
（x+7）（x﹣1）＝0
于是，得
x+7＝0 或 x﹣1＝0，
解得 x1＝﹣7，x2＝1．
17．【解答】解：（1）画树状图得：
则共有 12 种等可能的结果；
（2）∵既是轴对称图形又是中心对称图形的只有 B、C，
∴既是轴对称图形又是中心对称图形的有 2 种情况，
∴既是轴对称图形又是中心对称图形的概率为 ＝ ．
18．【解答】解：（1）由题意，设点 A 的坐标为（1，m），
∵点 A 在正比例函数 y＝ x 的图象上，
∴m＝ ．∴点 A 的坐标（1， ），
∵点 A 在反比例函数 y＝ 的图象上，
∴ ＝ ，解得 k＝ ，∴反比例函数的解析式为 y＝ ．
（2）过点 A 作 AC⊥OB⊥，垂足为点 C，
可得 OC＝1，AC＝ ．
∵AC⊥OB，
∴∠ACO＝90°．
由勾股定理，得 AO＝2，
∴OC＝ AO，
∴∠OAC＝30°，
∴∠ACO＝60°，
∵AB⊥OA，
∴∠OAB＝90°，
∴∠ABO＝30°，
∴OB＝2OA，
∴OB＝4，
∴点 B 的坐标是（4，0）．
（3）如图作∠AOB 的平分线 OM，AB 的垂直平分线 EF，OM 与 EF 的交点就是所求的点 P，
∵∠POB＝30°，
∴可以设点 P 坐标（m， m），
∵PA2＝PB2，
∴（m﹣1）2+（ m﹣ ）2＝（m﹣4）2+（ m）2，
解得 m＝3，
∴点 P 的坐标是（3， ）．19．【解答】解：如图，过点 C 作 CD⊥AB，交 AB 延长线于点 D，
设 CD＝x 米，
∵∠CBD＝45°，∠BDC＝90°，
∴BD＝CD＝x 米，
∵∠A＝30°，AD＝AB+BD＝4+x，
∴tanA＝ ，即 ＝ ，
解得：x＝2+2 ，
答：该雕塑的高度为（2+2 ）米．
20．【解答】解：（1）∵AB 是直径，
∴∠BAE+∠EBA＝90°，
∵∠BAE＝∠BDE，∠BDE＝∠CBE，
∴∠EBA+∠EBC＝90°，
∴BC 是
⊙
O 的切线，
（2）连接 OD，AD
∵BD 平分∠ABE，
∴∠OBD＝∠EBD，
∵∠ODB＝∠OBD，
∴∠ODB＝∠DBE，
∴OD∥BE，
∵PA＝AO
∴ ，
∵∠DEF＝∠DBA，
∴∠DEF＝∠EBD，∵∠EDF＝∠EDB，
∴△EDF∽△BDE，
∴ ，
∴DE2＝DF•DB，
∴DB＝ ，
∴由勾股定理可知：AB2＝AD2+BD2，
∴AB＝ ，
∴AO＝
21．【解答】解：（1）设 y＝kx+b，
将 x＝3.5，y＝280；x＝5.5，y＝120 代入，
得 ，解得 ，
则 y 与 x 之间的函数关系式为 y＝﹣80x+560；
（2）由题意，得（x﹣3）（﹣80x+560）﹣80＝160，
整理，得 x2﹣10x+24＝0，
解得 x1＝4，x2＝6．
∵3.5≤x≤5.5，
∴x＝4．
答：如果每天获得 160 元的利润，销售单价为 4 元；
（3）由题意得：w＝（x﹣3）（﹣80x+560）﹣80＝﹣80x2+800x﹣1760
＝﹣80（x﹣5）2+240，
∵3.5≤x≤5.5，
∴当 x＝5 时，w 有最大值为 240．
故当销售单价定为 5 元时，每天的利润最大，最大利润是 240 元．
22．【解答】解：（1）抛物线的顶点 D 的横坐标是 2，则 x＝﹣ ＝2…
①
，
抛物线过是 A（0，﹣3），则：函数的表达式为：y＝ax2+bx﹣3，
把 B 点坐标代入上式得：9＝25a+5b﹣3…
②
，
联立
①
、
②
解得：a＝ ，b＝﹣ ，c＝﹣3，
∴抛物线的解析式为：y＝ x2﹣ x﹣3，
当 x＝2 时，y＝﹣ ，即顶点 D 的坐标为（2，﹣ ）；
（2）A（0，﹣3），B（5，9），则 AB＝13，
①
当 AB＝AC 时，设点 C 坐标（m，0），
则：（m）2+（﹣3）2＝132，解得：m＝±4 ，
即点 C 坐标为：（4 ，0）或（﹣4 ，0）；
②
当 AB＝BC 时，设点 C 坐标（m，0），
则：（5﹣m）2+92＝132，解得：m＝5 ，
即：点 C 坐标为（5 ，0）或（5﹣2 ，0），
③
当 AC＝BC 时，设点 C 坐标（m，0），
则：点 C 为 AB 的垂直平分线于 x 轴的交点，
则点 C 坐标为（ ，0），
故：存在，
点 C 的坐标为：（4 ，0）或（﹣4 ，0）或（5 ，0）或（5﹣2 ，0）或（ ，
0）；
（3）过点 P 作 y 轴的平行线交 AB 于点 H，设：AB 所在的直线过点 A（0，﹣3），则设直线 AB 的表达式为 y＝kx﹣3，
把点 B 坐标代入上式，9＝5k﹣3，则 k＝ ，
故函数的表达式为：y＝ x﹣3，
设：点 P 坐标为（m， m2﹣ m﹣3），则点 H 坐标为（m， m﹣3），
S△PAB＝ •PH•xB＝ （﹣ m2+12m），
当 m＝2.5 时，S△PAB 取得最大值为： ，
答：△PAB 的面积最大值为 ．
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