2018-2019 学年天津市河东区九年级（上）期末数学模拟试卷
一．选择题（共 12 小题，满分 36 分，每小题 3 分）
1．方程 x2＝4x 的根是（ ）
A．x＝4 B．x＝0 C．x1＝0，x2＝4 D．x1＝0，x2＝﹣4
2．抛物线 y＝2（x﹣1）2+2 顶点坐标是（ ）
A．（1，2） B．（﹣1，2） C．（1，﹣2） D．（﹣1，﹣2）
3．下列所给的汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．抛物线 y＝3（x﹣2）2+5 的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，5） B．（﹣2，﹣5） C．（2，5） D．（2，﹣5）
5．在一个不透明的盒子里有 2 个红球和 n 个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后
随机摸出一个，摸到红球的概率是 ，则 n 的值为（ ）
A．10 B．8 C．5 D．3
6．下列关于 x 的方程中一定没有实数根的是（ ）
A．x2﹣x﹣1＝0 B．4x2﹣6x+9＝0 C．x2＝﹣x D．x2﹣mx﹣2＝0
7．如图，
⊙
O 的半径为 6，直径 CD 过弦 EF 的中点 G，若∠EOD＝60°，则弦 CF 的长等
于（ ）
A．6 B．6 C．3 D．9
8．在下图中，反比例函数 的图象大致是（ ）A． B．
C． D．
9．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AC＝4 ，BC 的中点为 D．将△
ABC 绕点 C 顺时针旋转任意一个角度得到△FEC，EF 的中点为 G，连接 DG．在旋转过
程中，DG 的最大值是（ ）
A．4 B．6 C．2+2 D．8
10．如图，
⊙
O 中，弦 AB、CD 相交于点 P，若∠A＝30°，∠APD＝70°，则∠B 等于
（ ）
A．30° B．35° C．40° D．50°
11．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，∠BAC＝70°，将△ABC 绕点 A 顺时针旋转 70°，B、
C 旋转后的对应点分别是 B′和 C′，连接 BB′，则∠BB′C′的度数是（ ）
A．35° B．40° C．45° D．50°12．点 P 反比例函数 y＝﹣ 的图象上，过点 P 分别作坐标轴的垂线段 PM、PN，则四
边形 OMPN 的面积＝（ ）
A． B．2 C．2 D．1
二．填空题（共 6 小题，满分 18 分，每小题 3 分）
13．若二次函数 y＝2（x+1）2+3 的图象上有三个不同的点 A（x1，4）、B（x1+x2，n）、C（x2，
4），则 n 的值为 ．
14．已知反比例函数 y＝ ，x＞0 时，y 0，这部分图象在第 象限，y 随着 x
值的增大而 ．
15．小明掷一枚均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有 1，2，3，4，5，6 点，得到的点数
为奇数的概率是 ．
16．如图，直线 l 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B，且 OB＝4，∠ABO＝30°，一个半径为 1
的
⊙
C，圆心 C 从点（0，1）开始沿 y 轴向下运动，当
⊙
C 与直线 l 相切时，
⊙
C 运动的
距离是
17．如图，正六边形 ABCDEF 内接于
⊙
O．若直线 PA 与
⊙
O 相切于点 A，则∠PAB＝ ．
18．已知二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，有下列 6 个结论：
①
abc＜0；
②
b＜a﹣c；
③
4a+2b+c＞0；④
2c＜3b；
⑤
a+b＜m（am+b），（m≠1 的实数）
⑥
2a+b+c＞0，其中正确的结论的有 ．
三．解答题（共 7 小题，满分 66 分）
19．用适当的方法解下列方程：
（1）x2﹣3x＝0
（2）x2﹣4x+2＝0
（3）x2﹣x﹣6＝0
（4）（x+1）（x﹣2）＝4﹣2x20．已知 A＝ （ab≠0 且 a≠b）
（1）化简 A；
（2）若点 P（a，b）在反比例函数 y＝﹣ 的图象上，求 A 的值．
21．已知一个不透明的袋子中装有 7 个只有颜色不同的球，其中 2 个白球，5 个红球．
（1）求从袋中随机摸出一个球是红球的概率．
（2）从袋中随机摸出一个球，记录颜色后放回，摇匀，再随机摸出一个球，求两次摸出的
球恰好颜色不同的概率．
（3）若从袋中取出若干个红球，换成相同数量的黄球．搅拌均匀后，使得随机从袋中摸出
两个球，颜色是一白一黄的概率为 ，求袋中有几个红球被换成了黄球．22．如图，AB 是
⊙
O 的直径，PA 切
⊙
O 于 A，OP 交
⊙
O 于 C，连 BC．若∠P＝30°，求
∠B 的度数．
23．某企业设计了一款工艺品，每件的成本是 50 元，为了合理定价，投放市场进行试销．据
市场调查，销售单价是 100 元时，每天的销售量是 50 件，而销售单价每降低 1 元，每天
就可多售出 5 件，但要求销售单价不得低于成本．
（1）求出每天的销售利润 y（元）与销售单价 x（元）之间的函数关系式；
（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于 4000 元，那么销售单价应控制在什么范围内？24．如图，△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝45°，△AEF 是由△ABC 绕点 A 按顺时针方向旋
转得到的，连接 BE、CF 相交于点 D
（1）求证：BE＝CF；
（2）当四边形 ACDE 为平行四边形时，求证：△ABE 为等腰直角三角形．25．如图，直线 AB 和抛物线的交点是 A（0，﹣3），B（5，9），已知抛物线的顶点 D 的横
坐标是 2．
（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）在 x 轴上是否存在一点 C，与 A，B 组成等腰三角形？若存在，求出点 C 的坐标，若
不在，请说明理由；
（3）在直线 AB 的下方抛物线上找一点 P，连接 PA，PB 使得△PAB 的面积最大，并求出这
个最大值．参考答案
一．选择题（共 12 小题，满分 36 分，每小题 3 分）
1．【解答】解：方程整理得：x（x﹣4）＝0，
可得 x＝0 或 x﹣4＝0，
解得：x1＝0，x2＝4，
故选：C．
2．【解答】解：∵抛物线解析式为 y＝2（x﹣1）2+2，
∴抛物线的顶点坐标为（1，2）．
故选：A．
3．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．
故选：B．
4．【解答】解：抛物线 y＝3（x﹣2）2+5 的顶点坐标为（2，5），
故选：C．
5．【解答】解：∵在一个不透明的盒子里有 2 个红球和 n 个白球，这些球除颜色外其余完全
相同，摇匀后随机摸出一个，摸到红球的概率是 ，
∴ ＝ ，
解得 n＝8．
故选：B．
6．【解答】解：A、△＝5＞0，方程有两个不相等的实数根；
B、△＝﹣108＜0，方程没有实数根；
C、△＝1＝0，方程有两个相等的实数根；
D、△＝m2+8＞0，方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
7．【解答】解：连接 DF，
∵直径 CD 过弦 EF 的中点 G，∴ ＝ ，
∴∠DCF＝ ∠EOD＝30°，
∵CD 是
⊙
O 的直径，
∴∠CFD＝90°，
∴CF＝CD•cos∠DCF＝12× ＝6 ，
故选：B．
8．【解答】解：∵k＝2，可根据 k＞0，反比例函数图象在第一、三象限；
∴在每个象限内，y 随 x 的增大而减小．
故选：D．
9．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴AB＝AC÷cos30°＝4 ÷ ＝8，
BC＝AC•tan30°＝4 × ＝4，
∵BC 的中点为 D，
∴CD＝ BC＝ ×4＝2，
连接 CG，∵△ABC 绕点 C 顺时针旋转任意一个角度得到△FEC，EF 的中点为 G，
∴CG＝ EF＝ AB＝ ×8＝4，
由三角形的三边关系得，CD+CG＞DG，
∴D、C、G 三点共线时 DG 有最大值，
此时 DG＝CD+CG＝2+4＝6．
故选：B．10．【解答】解：∵∠APD 是△APC 的外角，
∴∠APD＝∠C+∠A；
∵∠A＝30°，∠APD＝70°，
∴∠C＝∠APD﹣∠A＝40°；
∴∠B＝∠C＝40°；
故选：C．
11．【解答】解：∵AB＝AB'，
∴∠ABB'＝∠AB'B＝ ＝ ＝55°，
在直角△BB'C 中，∠BB'C＝90°﹣55°＝35°．
故选：A．
12．【解答】解：∵点 P 反比例函数 y＝﹣ 的图象上，
∴过点 P 分别作坐标轴的垂线段 PM、PN，所得四边形 OMPN 的面积为|﹣2 |＝2 ．
故选：C．
二．填空题（共 6 小题，满分 18 分，每小题 3 分）
13．【解答】解：∵A（x1，4）、C（x2，4）在二次函数 y＝2（x+1）2+3 的图象上，
∴2（x+1）2+3＝4，
∴2x2+4x+1＝0，
根据根与系数的关系得，x1+x2＝﹣2，
∵B（x1+x2，n）在二次函数 y＝2（x+1）2+3 的图象上，
∴n＝2（﹣2+1）2+3＝5，
故答案为 5．
14．【解答】解：反比例函数 y＝ ，x＞0 时，y＞0，这部分图象在第一象限，y 随着 x 值的
增大而减小．
故答案为：＞；一；减小．
15．【解答】解：根据题意知，掷一次骰子 6 个可能结果，而奇数有 3 个，所以掷到上面为奇数的概率为 ．
故答案为： ．
16．【解答】解：设第一次相切的切点为 E，第二次相切的切点为 F，连接 EC′，FC″，
在 Rt△BEC′中，∠ABC＝30°，EC′＝1，
∴BC′＝2EC′＝2，
∵BC＝5，
∴CC′＝3，同法可得 CC″＝7，
故答案为 3 或 7．
17．【解答】解：连接 OB，AD，BD，
∵多边形 ABCDEF 是正多边形，
∴AD 为外接圆的直径，
∠AOB＝ ＝60°，
∴∠ADB＝ ∠AOB＝ ×60°＝30°．
∵直线 PA 与
⊙
O 相切于点 A，
∴∠PAB＝∠ADB＝30°．
故答案为：30°．18．【解答】解：
①
∵该抛物线开口方向向下，
∴a＜0．
∵抛物线对称轴在 y 轴右侧，
∴a、b 异号，
∴b＞0；
∵抛物线与 y 轴交于正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0；
故
①
正确；
②
∵a＜0，c＞0，
∴a﹣c＜0，
∵b＞0，
∴b＞a﹣c，
故
②
错误；
③
根据抛物线的对称性知，当 x＝2 时，y＞0，即 4a+2b+c＞0；故
③
正确；
④
∵对称轴方程 x＝﹣ ＝1，
∴b＝﹣2a，
∴a＝﹣ b，
∵当 x＝﹣1 时，y＝a﹣b+c＜0，
∴﹣ b+c＜0，
∴2c＜3b，
故
④
正确；
⑤
∵x＝m 对应的函数值为 y＝am2+bm+c，
x＝1 对应的函数值为 y＝a+b+c，又 x＝1 时函数取得最大值，
当 m≠1 时，a+b+c＞am2+bm+c，即 a+b＞am2+bm＝m（am+b），
故
⑤
错误．
⑥
∵b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，
∵c＞0，
∴2a+b+c＞0，
故
⑥
正确．
综上所述，其中正确的结论的有：
①③④⑥
．
故答案为：
①③④⑥
．
三．解答题（共 7 小题，满分 66 分）
19．【解答】解：（1）x2﹣3x＝0，
x（x﹣3）＝0，
x＝0，x﹣3＝0，
x1＝0，x2＝3；
（2）移项，得
x2﹣4x＝﹣2，
配方，得
x2﹣4x+4＝2，
即（x﹣2）2＝2，
开方，得
x﹣2＝ ，
x1＝2+ ，x2＝2﹣ ；
（3）x2﹣x﹣6＝0
（x﹣3）（x+2）＝0，
x﹣3＝0，x+2＝0，
x1＝3，x2＝﹣2；（4）（x+1）（x﹣2）＝4﹣2x
（x+1）（x﹣2）﹣2（x﹣2）＝0
（x﹣2）（x+1﹣2）＝0，
x﹣2＝0 或 x﹣1＝0，
x1＝2，x2＝1．
20．【解答】解：（1）A＝ ，
＝ ，
＝ ，
＝ ．
（2）∵点 P（a，b）在反比例函数 y＝﹣ 的图象上，
∴ab＝﹣5，
∴A＝ ＝﹣ ．
21．【解答】解：（1）∵袋中共有 7 个小球，其中红球有 5 个，
∴从袋中随机摸出一个球是红球的概率为 ；
（2）列表如下：
白 白 红 红 红 红 红
白 （白，白） （白，白） （白，红） （白，红） （白，红） （白，红）（白，红）
白 （白，白） （白，白） （白，红） （白，红） （白，红） （白，红）（白，红）
红 （白，红） （白，红） （红，红） （红，红） （红，红） （红，红）（红，红）
红 （白，红） （白，红） （红，红） （红，红） （红，红） （红，红）（红，红）
红 （白，红） （白，红） （红，红） （红，红） （红，红） （红，红）（红，红）
红 （白，红） （白，红） （红，红） （红，红） （红，红） （红，红）（红，红）
红 （白，红） （白，红） （红，红） （红，红） （红，红） （红，红）（红，红）由表知共有 49 种等可能结果，其中两次摸出的球恰好颜色不同的有 20 种结果，
∴两次摸出的球恰好颜色不同的概率为 ；
（3）设有 x 个红球被换成了黄球．
根据题意，得： ，
解得：x＝3，
即袋中有 3 个红球被换成了黄球．
22．【解答】解：∵PA 切
⊙
O 于 A，AB 是
⊙
O 的直径，
∴∠PAO＝90°，
∵∠P＝30°，
∴∠AOP＝60°，
∴∠B＝ ∠AOP＝30°．
23．【解答】解：（1）y＝（x﹣50）[50+5（100﹣x）]
＝（x﹣50）（﹣5x+550）
＝﹣5x2+800x﹣27500，
∴y＝﹣5x2+800x﹣27500（50≤x≤100）；
（2）y＝﹣5x2+800x﹣27500＝﹣5（x﹣80）2+4500，
∵a＝﹣5＜0，
∴抛物线开口向下．
∵50≤x≤100，对称轴是直线 x＝80，
∴当 x＝80 时，y 最大值＝4500；
（3）当 y＝4000 时，﹣5（x﹣80）2+4500＝4000，
解得 x1＝70，x2＝90．
∴当 70≤x≤90 时，每天的销售利润不低于 4000 元．
24．【解答】解：（1）证明：∵△AEF 是由△ABC 绕点 A 按顺时针方向旋转得到的，
∴AE＝AB，AF＝AC，∠EAF＝∠BAC，
∴∠EAF+∠BAF＝∠BAC+∠BAF，即∠EAB＝∠FAC，
∵AB＝AC，
∴AE＝AF，∴△AEB 可由△AFC 绕点 A 按顺时针方向旋转得到，
∴BE＝CF；
（2）在□ABCD 中，∠EAC+∠ACF＝180°
∴∠EAF＝∠BAC＝45°
∴∠FAB+∠ACF＝90°
又 AF＝AC
∴∠F＝∠ACF
∴∠FAB+∠F＝90°
∴∠ACF＝45°
∴△AFC 为等腰直角三角形
∴△ABE 为等腰直角三角形
25．【解答】解：（1）抛物线的顶点 D 的横坐标是 2，则 x＝﹣ ＝2…
①
，
抛物线过是 A（0，﹣3），则：函数的表达式为：y＝ax2+bx﹣3，
把 B 点坐标代入上式得：9＝25a+5b﹣3…
②
，
联立
①
、
②
解得：a＝ ，b＝﹣ ，c＝﹣3，
∴抛物线的解析式为：y＝ x2﹣ x﹣3，
当 x＝2 时，y＝﹣ ，即顶点 D 的坐标为（2，﹣ ）；
（2）A（0，﹣3），B（5，9），则 AB＝13，
①
当 AB＝AC 时，设点 C 坐标（m，0），
则：（m）2+（﹣3）2＝132，解得：m＝±4 ，
即点 C 坐标为：（4 ，0）或（﹣4 ，0）；
②
当 AB＝BC 时，设点 C 坐标（m，0），
则：（5﹣m）2+92＝132，解得：m＝5 ，
即：点 C 坐标为（5 ，0）或（5﹣2 ，0），
③
当 AC＝BC 时，设点 C 坐标（m，0），
则：点 C 为 AB 的垂直平分线于 x 轴的交点，
则点 C 坐标为（ ，0），
故：存在，点 C 的坐标为：（4 ，0）或（﹣4 ，0）或（5 ，0）或（5﹣2 ，0）或（ ，
0）；
（3）过点 P 作 y 轴的平行线交 AB 于点 H，
设：AB 所在的直线过点 A（0，﹣3），则设直线 AB 的表达式为 y＝kx﹣3，
把点 B 坐标代入上式，9＝5k﹣3，则 k＝ ，
故函数的表达式为：y＝ x﹣3，
设：点 P 坐标为（m， m2﹣ m﹣3），则点 H 坐标为（m， m﹣3），
S△PAB＝ •PH•xB＝ （﹣ m2+12m），
当 m＝2.5 时，S△PAB 取得最大值为： ，
答：△PAB 的面积最大值为 ．
微信/支付宝扫码支付