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二元一次方程(组)及其应用
一.选择题
1. （2018·湖北荆州·3 分）《九章算术》是中国传统数学名著，其中记载：“今有牛五、
羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有 5 头牛，
2 只羊，值金 10 两；2 头牛，5 只羊，值金 8 两．问每头牛、每只羊各值金多少两？”若设
每头牛、每只羊分别值金 x 两、y 两，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：由题意可得，
，
故选：A．
2.（2018·湖北十堰·3 分）我国古代数学著作《九章算术》卷七有下列问题：“今有共买
物，人出八，盈三：人出七，不足四，问人数、物价几何？”意思是：现在有几个人共同出
钱去买件物品，如果每人出 8 钱，则剩余 3 钱：如果每人出 7 钱，则差 4 钱．问有多少人，
物品的价格是多少？设有 x 人，物品的价格为 y 元，可列方程（组）为（ ）
A． B．
C． D． =
【分析】设有 x 人，物品的价格为 y 元，根据所花总钱数不变列出方程即可．
【解答】解：设有 x 人，物品的价格为 y 元，
根据题意，可列方程： ，
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，
设出未知数，找出合适的等量关系．
3. （2018•乐山•3 分）方程组 = =x+y﹣4 的解是（ ）
A． B． C． D．
解：由题可得： ，消去 x，可得2
2（4﹣ y）=3y，解得 y=2，把 y=2 代入 2x=3y，可得
x=3，∴方程组的解为 ．
故选 D．
4．（2018·辽宁大连·3 分）《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100 匹马恰好拉了 100
片瓦，已知 1 匹大马能拉 3 片瓦，3 匹小马能拉 1 片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？设
有 x 匹大马，y 匹小马，根据题意可列方程组为 ．
解：由题意可得：
． 故答案为： ．
二.填空题
1.（2018·云南省曲靖·3 分）一个书包的标价为 115 元，按 8 折出售仍可获利 15%，该书
包的进价为 80 元．
【解答】解：设该书包的进价为 x 元，
根据题意得：115×0.8﹣x=15%x，
解得：x=80．
答：该书包的进价为 80 元．
故答案为：80．
三.解答题
1. （2018·广西贺州·8 分）某自行车经销商计划投入 7.1 万元购进 100 辆 A 型和 30 辆 B
型自行车，其中 B 型车单价是 A 型车单价的 6 倍少 60 元．
（1）求 A.B 两种型号的自行车单价分别是多少元？
（2）后来由于该经销商资金紧张，投入购车的资金不超过 5.86 万元，但购进这批自行年的
总数不变，那么至多能购进 B 型车多少辆？
【解答】解：（1）设 A 型自行车的单价为 x 元/辆，B 型自行车的单价为 y 元/辆，
根据题意得： ，
解得： ．
答：A 型自行车的单价为 260 元/辆，B 型自行车的单价为 1500 元/辆．
（2）设购进 B 型自行车 m 辆，则购进 A 型自行车（130﹣m）辆，
根据题意得：260（130﹣m）+1500m≤58600，
解得：m≤20．
答：至多能购进 B 型车 20 辆．3
2.（2018·云南省昆明·8 分）（列方程（组）及不等式解应用题）
水是人类生命之源．为了鼓励居民节约用水，相关部门实行居民生活用水阶梯式计量水价政
策．若居民每户每月用水量不超过 10 立方米，每立方米按现行居民生活用水水价收费（现
行居民生活用水水价=基本水价+污水处理费）；若每户每月用水量超过 10 立方米，则超过部
分每立方米在基本水价基础上加价 100%，每立方米污水处理费不变．甲用户 4 月份用水 8
立方米，缴水费 27.6 元；乙用户 4 月份用水 12 立方米，缴水费 46.3 元．（注：污水处理的
立方数=实际生活用水的立方数）
（1）求每立方米的基本水价和每立方米的污水处理费各是多少元？
（2）如果某用户 7 月份生活用水水费计划不超过 64 元，该用户 7 月份最多可用水多少立方
米？
【分析】（1）设每立方米的基本水价是 x 元，每立方米的污水处理费是 y 元，然后根据等量
关系即可列出方程求出答案．
（2）设该用户 7 月份可用水 t 立方米（t＞10），根据题意列出不等式即可求出答案．
【解答】解：（1）设每立方米的基本水价是 x 元，每立方米的污水处理费是 y 元
解得：
答：每立方米的基本水价是 2.45 元，每立方米的污水处理费是 1 元．
（2）设该用户 7 月份可用水 t 立方米（t＞10）
10×2.45+（t﹣10）×4.9+t≤64
解得：t≤15
答：如果某用户 7 月份生活用水水费计划不超过 64 元，该用户 7 月份最多可用水 15 立方米
【点评】本题考查学生的应用能力，解题的关键是根据题意列出方程和不等式，本题属于中
等题型．
3．（2018·重庆市 B 卷）（4.00 分）为实现营养套餐的合理搭配，某电商推出两款适合不同
人群的甲、乙两种袋装的混合粗粮．甲种袋装粗粮每袋含有 3 千克 A 粗粮，1 千克 B 粗粮，
1 千克 C 粗粮；乙种袋装粗粮每袋含有 1 千克 A 粗粮，2 千克 B 粗粮，2 千克 C 粗粮．甲、
乙两种袋装粗粮每袋成本分别等于袋中的 A.B.C 三种粗粮成本之和．已知每袋甲种粗粮的成
本是每千克 A 种粗粮成本的 7.5 倍，每袋乙种粗粮售价比每袋甲种粗粮售价高 20%，乙种袋
装粗粮的销售利润率是 20%．当销售这两款袋装粗粮的销售利润率为 24%时，该电商销售甲、
乙两种袋装粗粮的袋数之比是 （商品的销售利润率=
×100%）4
【分析】根据每袋甲种粗粮的成本是每千克 A 种粗粮成本的 7.5 倍，可得甲的成本，乙的成
本；根据乙种袋装粗粮的销售利润率是 20%，可得乙的售价，根据每袋乙种粗粮售价比每袋
甲种粗粮售价高 20%，可得甲的售价，根据甲的利润+乙的利润=（甲的成本+乙的成本）×24%，
根据等式的性质，可得答案．
【解答】解：设 A 的单价为 x 元，B 的单价为 y 元，C 的单价为 z 元，当销售这两款袋装粗
粮的销售利润率为 24%时，该电商销售甲的销售量为 a 袋，乙的销售量为 b 袋，由题意，得
A 一袋的成本是 7.5x=3x+y+z，
化简，得
y+z=4.5x；
乙一袋的成本是 x+2y+2z=x+2（y+z）=x+9x=10x，
乙一袋的售价为 10x（1+20%）=12x，
甲一袋的售价为 10x．
根据甲乙的利润，得
（10x﹣7.5x）a+20%×10xb=（7.5xa+10xb）×24%
化简，得
2.5a+2b=1.8a+2.4b
0.7a=0.4b
= ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，利润、成本价与利润率之间的关系的应用，理解
题意得出等量关系是解题的关键．
4. （2018•莱芜•10 分）快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分
拣．已知购买甲型机器人 1 台，乙型机器人 2 台，共需 14 万元；购买甲型机器人 2 台，乙
型机器人 3 台，共需 24 万元．
（1）求甲、乙两种型号的机器人每台的价格各是多少万元；
（2）已知甲型和乙型机器人每台每小时分拣快递分别是 1200 件和 1000 件，该公司计划购
买这两种型号的机器人共 8 台，总费用不超过 41 万元，并且使这 8 台机器人每小时分拣快
递件数总和不少于 8300 件，则该公司有哪几种购买方案？哪个方案费用最低，最低费用是
多少万元？
【分析】（1）利用二元一次方程组解决问题；
（2）用不等式组确定方案，利用一次函数找到费用最低值．
【解答】解：（1）设甲型机器人每台价格是 x 万元，乙型机器人每台价格是 y 万元，根据
题意得5
解这个方程组得：
答：甲、乙两种型号的机器人每台价格分别是 6 万元、4 万元
（2）设该公可购买甲型机器人 a 台，乙型机器人（8﹣a）台，根据题意得
解这个不等式组得
∵a 为正整数
∴a 的取值为 2，3，4，
∴该公司有 3 种购买方案，分别是
购买甲型机器人 2 台，乙型机器人 6 台
购买甲型机器人 3 台，乙型机器人 5 台
购买甲型机器人 4 台，乙型机器人 4 台
设该公司的购买费用为 w 万元，则 w=6a+4（8﹣a）=2a+32
∵k=2＞0
∴w 随 a 的增大而增大
当 a=2 时，w 最小，w 最小=2×2+32=36（万元）
∴该公司购买甲型机器人 2 台，乙型机器人 6 台这个方案费用最低，最低费用是 36 万元．
【点评】本题是一次函数综合题，考查列一次函数解析式、一次函数增减性、二元一次方程
组和不等式组的应用．
5.（2018•陕西•8 分）经过一年多的精准帮扶，小明家的网络商店（简称网店）将红枣、小
米等优质土特产迅速销往全国，小明家网店中红枣和小米这两种商品的相关信息如下表：
商品 红枣 小米
规格 1kg/袋 2kg/袋
成本（元/袋） 40 38
售价（元/袋） 60 54
根据上表提供的信息，解答下列问题：6
(1)已知今年前五个月，小明家网店销售上表中规格的红枣和小米共 3000kg，获得
利润 4．2 万元，求这前五个月小明家网店销售这种规格的红枣多少袋；
(2)根据之前的销售情况，估计今年 6 月到 10 月这后五个月，小明家网店还能销售
上表中规格的红枣和小米共 2000kg，其中，这种规格的红枣的销售量不低于 600kg．假设
这后五个月，销售这种规格的红枣味 x（kg），销售这种规格的红枣和小米获得的总利润
为 y（元），求出 y 与 x 之间的函数关系式，并求出这后五个月，小明家网店销售这种规
格的红枣和小米至少获得总利润多少元．
【答案】（1）前五个月小明家网店销售这种规格的红枣 1500 袋，销售小米 750 袋；
（2）小明家网店销售这种规格的红枣和小米至少获得总利润 23200 元．
【解析】【分析】（1）设前五个月小明家网店销售这种规格的红枣 a 袋，销售小米 b
袋，根据等量关系：①销售红枣和小米共 3000kg，②获得利润 4．2 万元，列方程组进行
求解即可得；
（2）根据总利润=红枣的利润+小米的利润，可得 y 与 x 间的函数关系式，根据
一次函数的性质即可得答案.
【详解】 （1）设前五个月小明家网店销售这种规格的红枣 a 袋，销售小米 b 袋，
根据题意得： ，解得： ，
答：前五个月小明家网店销售这种规格的红枣 1500 袋，销售小米 750 袋；
（2）根据题意得：y＝(60－40)x＋(54－38)× ＝12x＋16000，
∵k=12>0，∴y 随 x 的增大而增大，
∵x≥600，∴当 x＝600 时，y 取得最小值，
最小值为 y＝12×600＋16000＝23200，
∴小明家网店销售这种规格的红枣和小米至少获得总利润 23200 元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，弄清题意，找出
各个量之间的关系是解题的关键.
6.（2018·湖北咸宁·10 分）为拓宽学生视野，引导学生主动适应社会，促进书本知识和
生活经验的深度融合，我市某中学决定组织部分班级去赤壁开展研学旅行活动，在参加此次
活动的师生中，若每位老师带 17 个学生，还剩 12 个学生没人带；若每位老师带 18 个学生，
就有一位老师少带 4 个学生．现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示．
甲种客车 乙种客车
载客量/（人/辆） 30 42
租金/（元/辆） 300 4007
学校计划此次研学旅行活动的租车总费用不超过 3100 元，为了安全，每辆客车上至少要有 2
名老师．
（1）参加此次研学旅行活动的老师和学生各有多少人？
（2）既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆客车上至少要有 2 名老师，可知租用客车
总数为 辆；
（3）你能得出哪几种不同的租车方案？其中哪种租车方案最省钱？请说明理由．
【答案】（1）老师有 16 名，学生有 284 名；（2）8；（3）共有 3 种租车方案，最节省费用
的租车方案是：租用甲种客车 3 辆，乙种客车 5 辆．
【解析】【分析】（1）设老师有 x 名，学生有 y 名，根据等量关系：若每位老师带 17 个学生，
还剩 12 个学生没人带；若每位老师带 18 个学生，就有一位老师少带 4 个学生，列出二元一
次方程组，解出即可；
（2）由（1）中得出的教师人数可以确定出最多需要几辆汽车，再根据总人数以
及汽车最多的是 42 座的可以确定出汽车总数不能小于 = （取整为 8）辆，由
此即可求出；
（3）设租用 x 辆乙种客车，则甲种客车数为：（8﹣x）辆，由题意得出 400x+300
（8﹣x）≤3100，得出 x 取值范围，分析得出即可．
【详解】（1）设老师有 x 名，学生有 y 名，
依题意，列方程组为 ，
解得： ，
答：老师有 16 名，学生有 284 名；
（2）∵每辆客车上至少要有 2 名老师，
∴汽车总数不能大于 8 辆；
又要保证 300 名师生有车坐，汽车总数不能小于 = （取整为 8）辆，
综合起来可知汽车总数为 8 辆，
故答案为：8；
（3）设租用 x 辆乙种客车，则甲种客车数为：（8﹣x）辆，
∵车总费用不超过 3100 元，
∴400x+300（8﹣x）≤3100，
解得：x≤7，
为使 300 名师生都有座，
∴42x+30（8﹣x）≥300，
解得：x≥5，8
∴5≤x≤7（x 为整数），
∴共有 3 种租车方案：
方案一：租用甲种客车 3 辆，乙种客车 5 辆，租车费用为 2900 元；
方案二：租用甲种客车 2 辆，乙种客车 6 辆，租车费用为 3000 元；
方案三：租用甲种客车 1 辆，乙种客车 7 辆，租车费用为 3100 元；
故最节省费用的租车方案是：租用甲种客车 3 辆，乙种客车 5 辆．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，弄清题意找准等量
关系列出方程组、找准不等关系列出不等式组是解题的关键.
7.（2018·江苏常州·8 分）解方程组和不等式组：
（1）
【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：（1） ，
①+②得：x=2，
把 x=2 代入②得：y=﹣1，
所以方程组的解为： ；
【点评】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
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