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全等三角形
一.填空题
1. （2018·湖北荆州·3 分）已知：∠AOB，求作：∠AOB 的平分线．作法：①以点 O 为圆
心，适当长为半径画弧，分别交 OA，OB 于点 M，N；②分别以点 M，N 为圆心，大于 MN 的
长为半径画弧，两弧在∠AOB 内部交于点 C；③画射线 OC．射线 OC 即为所求．上述作图用
到了全等三角形的判定方法，这个方法是 ．
【解答】解：由作法①知，OM=ON，
由作法②知，CM=CN，
∵OC=OC，
∴△OCM≌△OCN（SSS），
故答案为：SSS．
二.解答题
1.（2018·云南省昆明·6 分）如图，在△ABC 和△ADE 中，AB=AD，∠B=∠D，∠1=∠2．
求证：BC=DE．
【分析】根据 ASA 证明△ADE≌△ABC；
【解答】证明：（1）∵∠1=∠2，
∵∠DAC+∠1=∠2+∠DAC
∴∠BAC=∠DAE，
在△ABC 和△ADE 中，
，
∴△ADE≌△ABC（ASA）
∴BC=DE，2
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、
“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等
2.（2018·云南省·6 分）如图，已知 AC 平分∠BAD，AB=AD．求证：△ABC≌△ADC．
【分析】根据角平分线的定义得到∠BAC=∠DAC，利用 SAS 定理判断即可．
【解答】证明：∵AC 平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC，
在△ABC 和△ADC 中，
，
∴△ABC≌△ADC．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定、角平分线的定义，掌握三角形全等的 SAS 定理是
解题的关键．
3.（2018·浙江省台州·12 分）如图，在 Rt△ABC 中，AC=BC，∠ACB=90°，点 D，E 分别
在 AC，BC 上，且 CD=CE．
（1）如图 1，求证：∠CAE=∠CBD；
（2）如图 2，F 是 BD 的中点，求证：AE⊥CF；
（3）如图 3，F，G 分别是 BD，AE 的中点，若 AC=2 ，CE=1，求△CGF 的面积．
【分析】（1）直接判断出△ACE≌△BCD 即可得出结论；
（2）先判断出∠BCF=∠CBF ，进而得出∠BCF=∠CAE，即可得出结论；
（3）先求出 BD=3，进而求出 CF= ，同理：EG= ，再利用等面积法求出 ME，进而求出 GM，
最后用面积公式即可得出结论．3
【解答】解：（1）在△ACE 和△BCD 中， ，
∴△ACE≌△BCD，
∴∠CAE=∠CBD；
（2）如图 2，在 Rt△BCD 中，点 F 是 BD 的中点，
∴CF=BF，
∴∠BCF=∠CBF，
由（1）知，∠CAE=∠CBD，
∴∠BCF=∠CAE，
∴∠CAE+∠ACF=∠BCF+∠ACF=∠BAC=90°，
∴∠AMC=90°，
∴AE⊥CF；
（3）如图 3，∵AC=2 ，
∴BC=AC=2 ，
∵CE=1，
∴CD=CE=1，
在 Rt△BCD 中，根据勾股定理得，BD= =3，
∵点 F 是 BD 中点，
∴CF=DF= BD= ，
同理：EG= AE= ，
连接 EF，过点 F 作 FH⊥BC，
∵∠ACB=90°，点 F 是 BD 的中点，
∴FH= CD= ，
∴S△CEF= CE•FH= ×1× = ，
由（2）知，AE⊥CF，
∴S△CEF= CF•ME= × ME= ME，
∴ ME= ，
∴ME= ，4
∴GM=EG﹣ME= ﹣ = ，
∴S△CFG= CF•GM= × × = ．
【点评】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，
三角形的中位线定理，三角形的面积公式，勾股定理，作出辅助线求出△CFG 的边 CF 上的
是解本题的关键．
4. （2018•呼和浩特•6 分）如图，已知 A.F、C.D 四点在同一条直线上，AF=CD，AB∥DE，
且 AB=DE．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若 EF=3，DE=4，∠DEF=90°，请直接写出使四边形 EFBC 为菱形时 AF 的长度．
（1）证明：∵AB∥DE，
∴∠A=∠D，
∵AF=CD，
∴AF+FC=CD+FC，
即 AC=DF，
∵AB=DE，
∴△ABC≌△DEF．
（2）如图，连接 AB 交 AD 于 O．5
在 Rt△EFD 中，∵∠DEF=90°，EF=3，DE=4，
∴DF= =5，
∵四边形 EFBC 是菱形，
∴BE⊥CF，'∴EO= = ，
∴OF=OC= = ，
∴CF= ，
∴AF=CD=DF﹣FC=5﹣ = ．
5. （2018•乐山•9 分）如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：BC=BD．
证明：∵∠ABD+∠3=180°∠ABC+∠4=180°，且∠3=∠4，∴∠ABD=∠ABC
在△ADB 和△ACB 中， ，∴△ADB≌△ACB（ASA），∴BD=CD．
6. （2018•广安•6 分）如图，四边形 ABCD 是正方形，M 为 BC 上一点，连接 AM，延长 AD 至
点 E，使得 AE=AM，过点 E 作 EF⊥AM，垂足为 F，求证：AB=EF．
【分析】根据 AAS 证明△ABM≌△EFA，可得结论．
【解答】证明：∵四边形 ABCD 为正方形，
∴∠B=90°，AD∥BC，（2 分）
∴∠EAF=∠BMA，
∵EF⊥AM，6
∴∠AFE=90°=∠B，（4 分）
在△ABM 和△EFA 中，
∵ ，
∴△ABM≌△EFA（AAS），（5 分）
∴AB=EF．（6 分）
【点评】本题考查了正方形的性质、三角形全等的性质和判定，熟练掌握三角形全等的判定
是关键．
7.（2018·辽宁大连·9 分）如图，▱ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E.F 在 AC 上，
且 AF=CE．
求证：BE=DF．
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴OA=OC，OD=OB．
∵AE=CF，∴OE=OF．在△BEO 和△DFO 中， ，∴△BEO≌△DFO，∴BE=DF．
8.（2018·江苏镇江·6 分）如图，△ABC 中，AB=AC，点 E，F 在边 BC 上，BE=CF，点 D 在
AF 的延长线上，AD=AC．
（1）求证：△ABE≌△ACF；
（2）若∠BAE=30°，则∠ADC= 75 °．
【解答】（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠ACF，
在△ABE 和△ACF 中，
，7
∴△ABE≌△ACF（SAS）；
（2）∵△ABE≌△ACF，∠BAE=30°，∴∠BAE=∠CAF=30°，
∵AD=AC，∴∠ADC=∠ACD，∴∠ADC= =75°，故答案为：75．
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