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高三数学试题（理科）答案  第 1  页（共 4 页）  合肥市 2019 年高三第一次教学质量检测 数学试题（理科）参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分. 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分. 13. 1 6 ， 14.1 15. 133 2      ， 16. 222433 nn  三、解答题： 17.(本小题满分 12 分) (I)∵  31 31cos 2 sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 sin 222 22 6fx x x x x x x       ， ∴函数 f x 的最小正周期为T  . …………………………5 分 (II)由  1 3f   可得 1sin 2 63  . ∵ 0, 2   ， ∴ 72 666    ， . 又∵ 110sin(2 ) , 632 ∴ 2+ , ,62   ∴ 22cos 2 63  ， ∴ 126cos 2 cos 2 cos 2 cos sin 2 sin66 6 6 6 6 6               . ………………………12 分 18.(本小题满分 12 分) (I)取 CD 的中点 M，连结 EM，BM. 由已知得 BCD 为等边三角形，∴ BM CD . ∵ 2, 2 3AD AB BD  ， ∴ 30 ,ADB ABD ∴ 90 ,ADC ∴ //BM AD . 又∵ BM  平面 PAD ， AD  平面 PAD ， ∴BM ∥平面 PAD . ∵E 为PC 的中点，M 为CD 中点，∴ EM ∥PD . 又∵ EM  平面 PAD ，PD  平面 PAD . ∴EM ∥平面 PAD . ∵EM BM M ，∴平面 BEM ∥平面 PAD ， 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C C D A D D D C C B A 高三数学试题（理科）答案  第 2  页（共 4 页）  ∵BE  平面 BEM ， ∴BE ∥平面 PAD . …………………………5 分 (II)连结 AC，交 BD 于点 O，连结 PO. 由对称性知，O 为BD 中点，且 ACBD ， BDPO  平面 PBD  平面 ABCD , PO BD ，  PO  平面 ABCD ， 1PO AO， 3CO  . 以O 为坐标原点，OC 的方向为 x 轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz . 则D (0， 3 ，0)，C (3，0，0)，P (0，0，1). 易知平面 PBD 的一个法向量为  1 1, 0, 0n  . 设平面 PCD 的法向量为 2nxyz ，， ， 则 DCn 2 , DPn 2 ，∴      0 0 2 2 DPn DCn . ∵ )0,3,3(DC ， )1,3,0(DP ，∴      03 033 zy yx . 令 3y ，得 3,1  zx ，∴ )3,3,1(2 n ∴ 13 13 13 1,cos 21 21 21    nn nnnn 设二面角 BPDC  的大小为 ，则 13cos 13  . ………………………12 分 19.(本小题满分 12 分) (I) 0.06 34 0.18 38 0.20 42 0.28 46 0.16 50 0.10 54 0.02 58 44.72 45x ； …………………………5 分 (II)由题意知， 39.2 50.8  ， ，  39.2 50.8 0.6826Pt  ， 所以估计该人群中一周睡眠时间在区间  39.2 50.8， 的人数约为10000 0.6826 6826  (人)； …………………………12 分 20.(本小题满分 12 分) (I)设椭圆的半焦距为 c ，由椭圆的离心率为 2 2 知， 2bca b， ，则椭圆方程为 22 2212 xy bb. 易求得 2 0A ， ，则点 2 2， 在椭圆上，所以 22 2212bb  ， 解得 2 2 6 3 a b     ，所以椭圆方程为 22 163 xy  . …………………………5 分 (II)当过点 P 且与圆 O 相切的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为 2x  ，由（1）知，  2 2 2 2MN，， ， ， 2 2 2 2 0OM ON OM ON ，， ， ， ，∴ OM ON . 当过点 P 且与圆 O 相切的切线斜率存在时，可设切线方程为 ykxm  ，高三数学试题（理科）答案  第 3  页（共 4 页）  11 2 2M xy Nxy，， ， ， 则 2 2 1 m k   ，即 2221mk. 联立直线和椭圆的方程得 22 26xkxm， ∴ 22 212 4 2 6 0kx kmxm，得 12 2 2 12 2 0 4 21 26 21 kmxx k mxx k         . ∵  11 22 OM x y ON x y，， ， ， ∴   12 12 12 1 2OM ON x x y y x x kx m kx m       2 2222 12 1 2 22 26 41121 21 mkmkxxkmxx m k km mkk              22 2222 2 222 222 1264 21 32266366 021 21 21 km kmmk k kmk kkk   ， ∴ OM ON . 综上所述，圆 O 上任意点 P 处的切线交椭圆C 于点 M N， ，都有 OM ON . 在Rt OMN 中，由 OMP 与 NOP 相似，可得 2 2OP PM PN 为定值. …………………………12 分 21.(本小题满分 12 分) (I)易知 1x  ，且  1 1 xfx e x   . 令  1 1 xhx e x ， 则  2 1 0 1 xhx e x     ，∴ 函数  1 1 xhx e x 在  1x  ， 上单调递增，且  000hf. 可知，当 1 0x ， 时，    0hx f x，    ln 1xfx e x 单调递减； 当 0x ， 时，   0hx f x，    ln 1xfx e x 单调递增. ∴函数 f x 的单调递减区间是 1 0 ， ，单调递增区间是  0  ， . ……………………5 分 (II)∵     ln 1xg xfxaxe x ax，∴    g xfxa  . 由(I)知， g x 在 1x  ， 上单调递增， 当 1x  时，  gx ；当 x 时，  gx ，则   0gx  有唯一解 0x . 可知，当  01x x， 时，   0gx  ，    ln 1xg xe x ax 单调递减； 当 0xx， 时，  0gx  ，    ln 1xg xe x ax 单调递增， ∴ 函数 g x 在 0x x 处取得极小值    0 000ln 1xg xe x ax ，且 0x 满足 0 0 1 1 xeax . ∴    0 00 0 0 11ln111 xgx x e x x    . 高三数学试题（理科）答案  第 4  页（共 4 页）  max 23S 23 12   令      11ln111 xxxex x    ，则  2 1 1 xxxe x           . 可知，当 1 0x ， 时，  0x  ，  x 单调递增； 当 0x ， 时，  0x  ，  x 单调递减， ∴    max 01x  . ∴ 函数  g x 极小值的最大值为 1. …………………………12 分 22.(本小题满分 10 分) (I) 22 1 :1Cx y， 2 :=2cosC   ，则 2 =2 cos ，∴ 222x yx  . 联立方程组得 22 22 1 2 xy x yx    ，解得 1 1 1 2 3 2 x y     ， 2 2 1 2 3 2 x y     ， ∴ 所求交点的坐标为 13 22   ， ， 13 22  ， . ………………………5 分 (II)设 B  ， ，则 =2cos  , ∴ AOB 的面积 11sin 4 sin 4cos sin2233SOAOBAOB             2cos 2 36  ， ∴ 当 时， ………………………10 分 23.(本小题满分 10 分) (I)   22fx x，即 1>2 2x x 10 10 1>2 2 1>2 2 xx x xx x     或 1 3x  ∴ 实数 x 的取值范围是 1 3  ， . ………………………5 分 (II) ∵ 1a  ，∴ 11 a ，    (1)2 1 1(1 ) 1 112 ax x gx ax x a ax x a                 ， ，- ， ， ， ， ， 易知函数  g x 在 1x a  ， 时单调递减，在 1x a   ， 时单调递增，则 min 111gx g aa  . ∴ 111 2a，解得 2a  . …………………………10 分