荆州中学高二元月期末考数学试题（理科）
一、选择题：本大题共12步题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若、，则是的 ( )
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件
2.向量＝, ＝，若＝, 且，则的值为( )
A． B． C． D．
3.若两直线与平行，则它们之间的距离为( )
A． B． C． D.
4.某中学高二(5)班共有学生56人，座号分别为1，2，3，…，56，现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本.已知3号，17号，45号同学在样本中，那么样本中另外一个同学的座号是( )
A.30 B.31 C.32 D.33
5.若直线和圆O：没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为（ ）
A．至多一个 B．0个 C．1个 D．2个
6.某班班会准备从含甲、乙的6名学生中选取4人发言，要求甲、乙2人中至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时顺序不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为（ ）
A．720 B．520 C．600 D．264
7.圆与圆的公共弦长为（ ）
A． B． C．2 D．2
8.一个算法的程序框图如图所示，该程序输出的结果为，则空白处应填入的条件是（ ）
A. B. C. D.
9.函数的图象向左平移个单位后为偶函数，设数列的通项公式为，则数列的前2019项之和为（ ）
A. 0 B.1 C. D. 2
10．如图，在四棱锥中，侧面为正三角形，底面为正方形，侧面底面，为底面内的一个动点，且满足，则点在正方形内的轨迹为（ ）
A． B．
C． D．
11.春节期间，5位同学各自随机从“三峡明珠，山水宜昌”、“荆楚门户，秀丽荆门”、“三国故里，风韵荆州”三个城市中选择一个旅游，则三个城市都有人选的概率是（ ）
A. B. C. D.
12.椭圆的右焦点为，其右准线与轴的交点为，在椭圆上存在点满足线段的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横一上.
13.已知变量满足约束条件，则的最大值为 .
14.给下列三个结论：
命题“”的否定是“”；
若，则的逆命题为真；
命题“若，则”的否命题为：“若，则”；
其中正确的结论序号是_______________（填上所有正确结论的序号）．
15.平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，，则对角线的长度为________.
16.若椭圆和圆（c为椭圆的半焦距）有四个不同的交点，则椭圆的离心率的取值范围是________.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本题满分10分）
已知“，直线与椭圆有两个不同的公共点”；
：“，不等式成立”；
若“且”是假命题，“或”是真命题，求实数的取值范围．
18.（本小题满分12分）
已知等差数列满足（）.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和.
19.(本题满分12分)
已知分别在射线（不含端点）上运动，，在中，角所对的边分别是.
（Ⅰ）若依次成等差数列，且公差为2．求的值；
（Ⅱ）若，，试用表示的周长，并求周长的最大值．
20.(本题满分12分)
某射击运动员进行射击训练，前三次射击在靶上的着弹点刚好是边长为的等边三角形的三个顶点.
（Ⅰ）第四次射击时，该运动员瞄准区域射击（不会打到外），则此次射击的着弹点距的距离都超过的概率为多少？（弹孔大小忽略不计）
(Ⅱ) 该运动员前三次射击的成绩（环数）都在区间内，调整一下后，又连打三枪，其成绩（环数）都在区间内.现从这次射击成绩中随机抽取两次射击的成绩（记为和）进行技术分析.求事件“”的概率.
21.(本题满分12分)
如图三棱柱中，侧面为菱形，.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若，，AB=BC，求二面角的余弦值.
22．(本题满分为12分)
已知椭圆C：
（）的离心率为 ，，，，的面积为1.
（1）求椭圆C的方程；
（2）斜率为2的直线与椭圆交于、两点，求直线的方程；
（3）在轴上是否存在一点，使得过点的任一直线与椭圆若有两个交点、则都有为定值？若存在，求出点的坐标及相应的定值.
数学试 题（理科）参考答案
一、选择题：
题号
1
2[学_ K]
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B[来
C
D
B
D
D
C
A
B
A
A
D
二、填空题：
13. 14 14.① 15.2 16.
三、计算题：
17. 解：若为真，则直线过的定点必在椭圆内部，即…3分
若为真，则有实数根，
即；
由且为假，或为真得：或…………8分
实数的取值范围是. ……10分
18.（1）设等差数列的公差为，由已知得 ……2分
即所以解得…………4分
所以…………6分
（2）由（1）得，
所以①
② …………8分
得： …………10分
所以…………12分
19.解（Ⅰ）、、成等差，且公差为2，
、. 又，
，，
恒等变形得，解得或.又，. …………6分
（Ⅱ）在中，，
，，.
的周长
，………10分
又，,
当即时，取得最大值．……………………12分
20.（Ⅰ）因为着弹点若与的距离都超过cm，则着弹点就不能落在分别以为中心,半径为cm的三个扇形区域内，只能落在图中阴影部分内.
因为图中阴影部分的面积为，故所求概率为
.……6分
（Ⅱ）前三次射击成绩依次记为，后三次成绩依次记为，从这次射击成绩中随机抽取两个，基本事件是：
，共个，其中可使发生的是后个基本事件.故.……12分
21.（I）连接，交，连接AO，因为侧面，所以
又
又………………5分
（II）因为
又因为
因为
设是平面的法向量，则即，
所以可取.同理可求平面的法向量.
所以二面角的余弦值为. ………………12分
22.解：（1）由已知，，又，解得，
∴ 椭圆的方程为。3分
（2）设直线的方程为，则由可得，
即
∵∴
∴ 直线的方程为即。7分
（3）设、、，当直线不为轴时的方程为，
联立椭圆方程得：
8分
10分
∴ 当且仅当即时（定值）。
即 在轴上存在点使得为定值5，点的坐标为或。经检验，当直线为轴时上面求出的点也符合题意。12分
（也可以通过特殊情形猜出定点坐标和定值然后再证明结论）
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