2018年中考数学真题分类汇编（第三期）专题26图形的相似与位似试题（含解析）.doc

1 图形的相似与位似 一.选择题 1. （2018·广西梧州·3 分）如图，AG：GD=4：1，BD：DC=2：3，则 AE：EC 的值是（　　） A．3：2 B．4：3 C．6：5 D．8：5 【分析】过点 D 作 DF∥CA 交 BE 于 F，如图，利用平行线分线段成比例定理，由 DF∥CE 得 到 = = ，则 CE= DF，由 DF∥AE 得到 = = = ，则 AE=4DF，然后计算 的 值． 【解答】解：过点 D 作 DF∥CA 交 BE 于 F，如图， ∵DF∥CE， ∴ = ， 而 BD：DC=2：3， ∴ = ，则 CE= DF， ∵DF∥AE， ∴ = ， ∵AG：GD=4：1， ∴ = ，则 AE=4DF， ∴ = = ． 故选：D． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比 例．平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．2 2.（2018·四川省攀枝花·3 分）如图，点 A 的坐标为（0，1），点 B 是 x 轴正半轴上的一 动点，以 AB 为边作 Rt△ABC，使∠BAC=90°，∠ACB=30°，设点 B 的横坐标为 x，点 C 的纵 坐标为 y，能表示 y 与 x 的函数关系的图象大致是（　　） A． 　　　　　　B． C． 　　　　　　D． 解：如图所示：过点 C 作 CD⊥y 轴于点 D． ∵∠BAC=90°，∴∠DAC+∠OAB=90°． ∵∠DCA+∠DAC=90°，∴∠DCA=∠OAB．又∵∠CDA=∠AOB=90°，∴△CDA∽△AOB，∴ = = =tan30°，则 = ，故 y= x+1（x＞0），则选项 C 符合题意． 故选 C． 3．（2018·重庆市 B 卷）（4.00 分）制作一块 3m×2m 长方形广告牌的成本是 120 元，在每 平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的 3 倍，那么扩大后长方 形广告牌的成本是（　　） A．360 元 B．720 元 C．1080 元 D．2160 元 【分析】根据题意求出长方形广告牌每平方米的成本，根据相似多边形的性质求出扩大后长3 方形广告牌的面积，计算即可． 【解答】解：3m×2m=6m2， ∴长方形广告牌的成本是 120÷6=20 元/m2， 将此广告牌的四边都扩大为原来的 3 倍， 则面积扩大为原来的 9 倍， ∴扩大后长方形广告牌的面积=9×6=54m2， ∴扩大后长方形广告牌的成本是 54×20=1080m2， 故选：C． 【点评】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解 题的关键． 4．（2018·辽宁省盘锦市）如图，已知在▱ABCD 中，E 为 AD 的中点，CE 的延长 线交 BA 的延 长线于点 F，则下列选项中的结论错误的是（　　） A．FA：FB=1：2　　　　　　B．AE：BC=1：2 C．BE：CF=1：2　　　　　　D．S△ABE：S△FBC=1：4 【解答】解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴CD∥AB，CD=AB，∴△DEC∽△AEF，∴ = = ． ∵E 为 AD 的中点，∴CD=AF，FE=EC，∴FA：FB=1：2，A 说法正确，不符合题意； ∵FE=EC，FA=AB，∴AE：BC=1：2，B 说法正确，不符合题意； ∵∠FBC 不一定是直角，∴BE：CF 不一定等于 1：2，C 说法错误，符合题意； ∵AE∥BC，AE= BC，∴S△ABE：S△FBC=1：4，D 说法正确，不符合题意； 故选 C． 5. （2018•乐山•3 分）如图，DE∥FG∥BC，若 DB=4FB，则 EG 与 GC 的关系是（　　） A．EG=4GC　　B．EG=3GC　　C．EG= GC　　D．EG=2GC4 解：∵DE∥FG∥BC，DB=4FB，∴ ． 故选 B． 6.（2018•莱芜•3 分）如图，在矩形 ABCD 中，∠ADC 的平分线与 AB 交于 E，点 F 在 DE 的延 长线上，∠BFE=90°，连接 AF、CF，CF 与 AB 交于 G．有以下结论： ①AE=BC ②AF=CF ③BF2=FG•FC ④EG•AE=BG•AB 其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】①只要证明△ADE 为直角三角形即可 ②只要证明△AEF≌△CBF（SAS）即可； ③假设 BF2=FG•FC，则△FBG∽△FCB，推出∠FBG=∠FCB=45°，由∠ACF=45°，推出∠ ACB=90°，显然不可能，故③错误， ④由△ADF∽△GBF，可得 = = ，由 EG∥CD，推出 = = ，推出 = ，由 AD=AE，EG•AE=BG•AB，故④正确， 【解答】解：①DE 平分∠ADC，∠ADC 为直角， ∴∠ADE= ×90°=45°， ∴△ADE 为直角三角形 ∴AD=AE， 又∵四边形 ABCD 矩形， ∴AD=BC， ∴AE=BC ②∵∠BFE=90°，∠BFE=∠AED=45°， ∴△BFE 为等腰直角三角形， ∴则有 EF=BF 又∵∠AEF=∠DFB+∠ABF=135°，∠CBF=∠ABC+∠ABF=135°， ∴∠AEF=∠CBF5 在△AEF 和△CBF 中，AE=BC，∠AEF=∠CBF，EF=BF， ∴△AEF≌△CBF（SAS） ∴AF=CF ③假设 BF2=FG•FC，则△FBG∽△FCB， ∴∠FBG=∠FCB=45°， ∵∠ACF=45°， ∴∠ACB=90°，显然不可能，故③错误， ④∵∠BGF=180°﹣∠CGB，∠DAF=90°+∠EAF=90°+（90°﹣∠AGF）=180°﹣∠AGF，∠ AGF=∠BGC， ∴∠DAF=∠BGF，∵∠ADF=∠FBG=45°， ∴△ADF∽△GBF， ∴ = = ， ∵EG∥CD， ∴ = = ， ∴ = ，∵AD=AE， ∴EG•AE=BG•AB，故④正确， 故选：C． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质、等腰直角三角形的判定和性质等 知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 7.（2018·吉林长春·3 分）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百 年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长 五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺， 同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1 丈=10 尺，1 尺=10 寸），则竹竿的 长为（　　）6 A．五丈 B．四丈五尺 C．一丈 D．五尺 【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论． 【解答】解：设竹竿的长度为 x 尺， ∵竹竿的影长=一丈五尺=15 尺，标杆长=一尺五寸=1.5 尺，影长五寸=0.5 尺， ∴ ，解得 x=45（尺）．故选：B． 【点评】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物髙与影长成正比是解答此题的关 键． 二.填空题 1. （2018·广西贺州·3 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 12，点 E 在边 AB 上，BE=8，过 点 E 作 EF∥BC，分别交 BD.CD 于 G、F 两点．若点 P、Q 分别为 DG、CE 的中点，则 PQ 的长 为　 　． 【解答】解：作 QM⊥EF 于点 M，作 PN⊥EF 于点 N，作 QH⊥PN 交 PN 的延长线于点 H，如右 图所示， ∵正方形 ABCD 的边长为 12，BE=8，EF∥BC，点 P、Q 分别为 DG、CE 的中点， ∴DF=4，CF=8，EF=12， ∴MQ=4，PN=2，MF=6， ∵QM⊥EF，PN⊥EF，BE=8，DF=4， ∴△EGB∽△FGD， ∴ ， 即 ， 解得，FG=4， ∴FN=2， ∴MN=6﹣2=4，7 ∴QH=4， ∵PH=PN+QM， ∴PH=6， ∴PQ= = ， 故答案为：2 ． 2. （ 2018· 广 西 梧 州 ·3 分 ） 如 图 ， 点 C 为 Rt△ACB 与 Rt△DCE 的 公 共 点 ， ∠ACB=∠DCE=90°，连接 AD.BE，过点 C 作 CF⊥AD 于点 F，延长 FC 交 BE 于点 G．若 AC=BC=25，CE=15，DC=20，则 的值为　 　． 【分析】过 E 作 EH⊥GF 于 H，过 B 作 BP⊥GF 于 P，依据△EHG∽△BPG，可得 = ，再根 据△DCF∽△CEH，△ACF∽△CBP，即可得到 EH= CF，BP=CF，进而得出 = ． 【解答】解：如图，过 E 作 EH⊥GF 于 H，过 B 作 BP⊥GF 于 P，则∠EHG=∠BPG=90°， 又∵∠EGH=∠BGP， ∴△EHG∽△BPG， ∴ = ， ∵CF⊥AD， ∴∠DFC=∠AFC=90°， ∴∠DFC=∠CHF，∠AFC=∠CPB， 又∵∠ACB=∠DCE=90°， ∴∠CDF=∠ECH，∠FAC=∠PCB， ∴△DCF∽△CEH，△ACF∽△CBP，8 ∴ = = ， = =1， ∴EH= CF，BP=CF， ∴ = ， ∴ = ， 故答案为： ． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解决问题的关键是作辅助线构造相似三 角形，利用相似三角形的对应边成比例进行推算． 3.（2018·云南省·3 分）如图，已知 AB∥CD，若 = ，则 =　 　． 【分析】利用相似三角形的性质即可解决问题； 【解答】解：∵AB∥CD， ∴△AOB∽△COD， ∴ = = ， 故答案为 ． 【点评】本题考查平行线的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握 基本知识，属于中考常考题型． 4．（2018·辽宁省沈阳市）（3.00 分）如图，△ABC 是等边三角形，AB= ，点 D 是边 BC 上9 一点，点 H 是线段 AD 上一点，连接 BH、CH．当∠BHD=60°，∠AHC=90°时，DH=　 　． 【分析】作 AE⊥BH 于 E，BF⊥AH 于 F，如图，利用等边三角形的性质得 AB=AC，∠ BAC=60°，再证明∠ABH=∠CAH，则可根据“AAS”证明△ABE≌△CAH，所以 BE=AH，AE=CH， 在 Rt△AHE 中利用含 30 度的直角三角形三边的关系得到 HE= AH，AE= AH，则 CH= AH，于是在 Rt△AHC 中利用勾股定理可计算出 AH=2，从而得到 BE=2，HE=1，AE=CH= ， BH=1，接下来在 Rt△BFH 中计算出 HF= ，BF= ，然后证明△CHD∽△BFD，利用相似比得 到 =2，从而利用比例性质可得到 DH 的长． 【解答】解：作 AE⊥BH 于 E，BF⊥AH 于 F，如图， ∵△ABC 是等边三角形， ∴AB=AC，∠BAC=60°， ∵∠BHD=∠ABH+∠BAH=60°，∠BAH+∠CAH=60°， ∴∠ABH=∠CAH， 在△ABE 和△CAH 中 ， ∴△ABE≌△CAH， ∴BE=AH，AE=CH， 在 Rt△AHE 中，∠AHE=∠BHD=60°， ∴sin∠AHE= ，HE= AH， ∴AE=AH•sin60°= AH， ∴CH= AH， 在 Rt△AHC 中，AH2+（ AH）2=AC2=（ ）2，解得 AH=2， ∴BE=2，HE=1，AE=CH= ，10 ∴BH=BE﹣HE=2﹣1=1， 在 Rt△BFH 中，HF= BH= ，BF= ， ∵BF∥CH， ∴△CHD∽△BFD， ∴ = = =2， ∴DH= HF= × = ． 故答案为 ． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形 中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般 方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了全等三角形的判定与性质和等边三角形的性 质． 5．（2018·辽宁省抚顺市）（3.00 分）如图，△AOB 三个顶点的坐标分别为 A（8，0），O （0，0），B（8，﹣6），点 M 为 OB 的中点．以点 O 为位似中心，把△AOB 缩小为原来的 ， 得到△A′O′B′，点 M′为 O′B′的中点，则 MM′的长为　 或 　． 【分析】分两种情形画出图形，即可解决问题； 【解答】解：如图，在 Rt△AOB 中，OB= =10，11 ①当△A′OB′在第三象限时，MM′= ． ②当△A″OB″在第二象限时，MM′= ， 故答案为 或 ． 【点评】本题考查位似变换，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思 想思考问题，属于中考常考题型． 6.（2018·江苏常州·2 分）如图，在△ABC 纸板中，AC=4，BC=2，AB=5，P 是 AC 上一点， 过点 P 沿直线剪下一个与△ABC 相似的小三角形纸板，如果有 4 种不同的剪法，那么 AP 长 的取值范围是　3≤AP＜4　． 【分析】分四种情况讨论，依据相似三角形的对应边成比例，即可得到 AP 的长的取值范 围． 【解答】解：如图所示，过 P 作 PD∥AB 交 BC 于 D 或 PE∥BC 交 AB 于 E，则△PCD∽△ACB 或△ APE∽△ACB， 此时 0＜AP＜4； 如图所示，过 P 作∠APF=∠B 交 AB 于 F，则△APF∽△ABC， 此时 0＜AP≤4； 如图所示，过 P 作∠CPG=∠CBA 交 BC 于 G，则△CPG∽△CBA， 此时，△CPG∽△CBA，12 当点 G 与点 B 重合时，CB2=CP×CA，即 22=CP×4， ∴CP=1，AP=3， ∴此时，3≤AP＜4； 综上所述，AP 长的取值范围是 3≤AP＜4． 故答案为：3≤AP＜4． 【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形的对应角相等，对应边的比相 等． 三.解答题 1.（2018·广西梧州·10 分）如图，AB 是⊙M 的直径，BC 是⊙M 的切线，切点为 B，C 是 BC 上（除 B 点外）的任意一点，连接 CM 交⊙M 于点 G，过点 C 作 DC⊥BC 交 BG 的延长线于点 D，连接 AG 并延长交 BC 于点 E． （1）求证：△ABE∽△BCD； （2）若 MB=BE=1，求 CD 的长度． 【分析】（1）根据直径所对圆周角和切线性质，证明三角形相似； （2）利用勾股定理和面积法得到 AG、GE，根据三角形相似求得 GH，得到 MB.GH 和 CD 的数 量关系，求得 CD． 【解答】（1）证明：∵BC 为⊙M 切线 ∴∠ABC=90° ∵DC⊥BC ∴∠BCD=90° ∴∠ABC=∠BCD ∵AB 是⊙M 的直径 ∴∠AGB=90° 即：BG⊥AE ∴∠CBD=∠A13 ∴△ABE∽△BCD （2）解：过点 G 作 GH⊥BC 于 H ∵MB=BE=1 ∴AB=2 ∴AE= 由（1）根据面积法 AB•BE=BG•AE ∴BG= 由勾股定理： AG= ，GE= ∵GH∥AB ∴ ∴ ∴GH= 又∵GH∥AB ① 同理： ② ①+②，得 ∴ ∴CD=14 【点评】本题是几何综合题，综合考察了圆周角定理、切线性质和三角形相似．解答时，注 意根据条件构造相似三角形． 2.（2018·湖北十堰·8 分）如图，△ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的⊙O 交 BC 于点 D，交 AC 于点 E，过点 D 作 FG⊥AC 于点 F，交 AB 的延长线于点 G． （1）求证：FG 是⊙O 的切线； （2）若 tanC=2，求 的值． 【分析】（1）欲证明 FG 是⊙O 的切线，只要证明 OD⊥FG； （2）由△GDB∽△GAD，设 BG=a．可得 = = = ，推出 DG=2a，AG=4a，由此即可解决 问题； 【解答】（1）证明：连接 AD.OD． ∵AB 是直径， ∴∠ADB=90°，即 AD⊥BC， ∵AC=AB， ∴CD=BD， ∵OA=OB， ∴OD∥AC， ∵DF⊥AC， ∴OD⊥DF， ∴FG 是⊙O 的切线． （2）解：∵tanC= =2，BD=CD，15 ∴BD：AD=1：2， ∵∠GDB+∠ODB=90°，∠ADO+∠ODB=90°， ∵OA=OD， ∴∠OAD=∠ODA， ∴∠GDB=∠GAD， ∵∠G=∠G， ∴△GDB∽△GAD，设 BG=a． ∴ = = = ， ∴DG=2a，AG=4a， ∴BG：GA=1：4． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理、圆周 角定理、切线的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线或相似 三角形解决问题，属于中考常考题型． 3. （2018•乐山•10 分）如图，P 是⊙O 外的一点，PA.PB 是⊙O 的两条切线，A.B 是切点，PO 交 AB 于点 F，延长 BO 交⊙O 于点 C，交 PA 的延长交于点 Q，连结 AC． （1）求证：AC∥PO； （2）设 D 为 PB 的中点，QD 交 AB 于点 E，若⊙O 的半径为 3，CQ=2，求 的值． （1）证明：∵PA.PB 是⊙O 的两条切线，A.B 是切点，∴PA=PB，且 PO 平分∠BPA， ∴PO⊥AB． ∵BC 是直径，∴∠CAB=90°，∴AC⊥AB，∴AC∥PO； （2）解：连结 OA.DF，如图， ∵PA.PB 是⊙O 的两条切线，A.B 是切点，∴∠OAQ=∠PBQ=90°． 在 Rt△OAQ 中，OA=OC=3，∴OQ=5． 由 QA2+OA2=OQ2，得 QA=4． 在 Rt△PBQ 中，PA=PB，QB=OQ+OB=8，由 QB2+PB2=PQ2，得 82+PB2=（PB+4）2，解得 PB=6， ∴PA=PB=6．16 ∵OP⊥AB，∴BF=AF= AB． 又∵D 为 PB 的中点，∴DF∥AP，DF= PA=3，∴△DFE∽△QEA，∴ = = ，设 AE=4t， FE=3t，则 AF=AE+FE=7t，∴BE=BF+FE=AF+FE=7t+3t=10t，∴ = = ． 4. （2018•莱芜•9 分）已知△ABC 中，AB=AC，∠BAC=90°，D.E 分别是 AB.AC 的中点，将△ ADE 绕点 A 按顺时针方向旋转一个角度 α（0°＜α＜90°）得到△AD'E′，连接BD′、CE′， 如图 1． （1）求证：BD′=CE'； （2）如图 2，当 α=60°时，设 AB 与 D′E′交于点 F，求 的值． 【分析】（1）首先依据旋转的性质和中点的定义证明 AD′=AE′，然后再利用 SAS 证明△ BD′A≌△CE′A，最后，依据全等三角形的性质进行证明即可； （2）连接DD′，先证明△ADD′为等边三角形，然后再证明△△ABD′为直角三角形，接下 来，再证明△BFD′∽△AFE′，最后，依据相似三角形的性质求解即可． 【解答】解：（1）证明：∵AB=AC，D.E 分别是 AB.AC 的中点， ∴AD=BD=AE=EC． 由旋转的性质可知：∠DAD′=∠EAE′=α，AD′=AD，AE′=AE． ∴AD′=AE′， ∴△BD′A≌△CE′A， ∴BD′=CE′． （2）连接 DD′．17 ∵∠DAD′=60°，AD=AD′， ∴△ADD′是等边三角形． ∴∠ADD′=∠AD′D=60°，DD′=DA=DB． ∴∠DBD′=∠DD′B=30°， ∴∠BD′A=90°． ∵∠D′AE′=90°， ∴∠BAE′=30°， ∴∠BAE′=∠ABD′， 又∵∠BFD′=∠AFE′， ∴△BFD′∽△AFE′， ∴ ． ∵在 Rt△ABD′中，tan∠BAD′= = ， ∴ = ． 【点评】本题主要考查的是全等三角形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、旋转的性 质，发现△BFD′∽△AFE′是解题的关键． 5. （2018•陕西•7 分） 周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量 时，他们选择了河对岸边的一棵大树，将其底部作为点 A，在他们所在的岸边选择了点 B， 使得 AB 与河岸垂直，并在 B 点竖起标杆 BC，再在 AB 的延长线上选择点 D 竖起标杆 DE，使 得点 E 与点 C.A 共线． 已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得 BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝8.5m．测量示意图如图所 示．请根据相关测量信息，求河宽 AB．18 【答案】河宽为 17 米． 【解析】【分析】由题意先证明∆ABC∽∆ADE，再根据相似三角形的对应边成比例即 可求得 AB 的长. 【详解】∵CB⊥AD，ED⊥AD， ∴∠CBA＝∠EDA＝90°， ∵∠CAB＝∠EAD， ∴∆ABC∽∆ADE， ∴ ， 又∵AD=AB+BD，BD=8.5，BC＝1，DE＝1.5， ∴ ， ∴AB＝17， 即河宽为 17 米． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键.