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解直角三角形
一.选择题
1．（2018·重庆市 B 卷）（4.00 分）如图，AB 是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物
底端 B 出发，先沿水平方向向右行走 20 米到达点 C，再经过一段坡度（或坡比）为 i=1：
0.75.坡长为 10 米的斜坡 CD 到达点 D，然后再沿水平方向向右行走 40 米到达点 E（A，B，
C，D，E 均在同一平面内）．在 E 处测得建筑物顶端 A 的仰角为 24°，则建筑物 AB 的高度约
为（参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°=0.45）（ ）
A．21.7 米 B．22.4 米 C．27.4 米 D．28.8 米
【分析】作 BM⊥ED 交 ED 的延长线于 M，CN⊥DM 于 N．首先解直角三角形 Rt△CDN，求出
CN，DN，再根据 tan24°= ，构建方程即可解决问题；
【解答】解：作 BM⊥ED 交 ED 的延长线于 M，CN⊥DM 于 N．
在 Rt△CDN 中，∵ = = ，设 CN=4k，DN=3k，
∴CD=10，
∴（3k）2+（4k）2=100，
∴k=2，
∴CN=8，DN=6，
∵四边形 BMNC 是矩形，
∴BM=CN=8，BC=MN=20，EM=MN+DN+DE=66，
在 Rt△AEM 中，tan24°= ，
∴0.45= ，
∴AB=21.7（米），
故选：A．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出2
直角三角形是解答此题的关键．
2．（2018·吉林长春·3 分）如图，某地修建高速公路，要从 A 地向 B 地修一条隧道（点 A.B
在同一水平面上）．为了测量 A.B 两地之间的距离，一架直升飞机从 A 地出发，垂直上升 800
米到达 C 处，在 C 处观察 B 地的俯角为 α，则 A.B 两地之间的距离为（ ）
A．800sinα 米 B．800tanα 米 C． 米 D． 米
【分析】在Rt△ABC 中，∠CAB=90°，∠B=α，AC=800 米，根据 tanα= ，即可解决问题；
【解答】解：在 Rt△ABC 中，∵∠CAB=90°，∠B=α，AC=800 米，
∴tanα= ，∴AB= = ．故选：D．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，
属于中考常考题型．
3．（2018·江苏常州·2 分）某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺：在半
径为 1 的半圆形量角器中，画一个直径为 1 的圆，把刻度尺 CA 的 0 刻度固定在半圆的圆心 O
处，刻度尺可以绕点 O 旋转．从图中所示的图尺可读出 sin∠AOB 的值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】如图，连接 AD．只要证明∠AOB=∠ADO，可得 sin∠AOB=sin∠ADO= = ；
【解答】解：如图，连接 AD．
∵OD 是直径，
∴∠OAD=90°，3
∵∠AOB+∠AOD=90°，∠AOD+∠ADO=90°，
∴∠AOB=∠ADO，
∴sin∠AOB=sin∠ADO= = ，
故选：D．
【点评】本题考查圆周角定理、直径的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会用转
化的思想思考问题，属于中考创新题目．
二.填空题
1. （2018·湖北江汉·3 分）我国海域辽阔，渔业资源丰富．如图，现有渔船 B 在海岛 A，
C 附近捕鱼作业，已知海岛 C 位于海岛 A 的北偏东 45°方向上．在渔船 B 上测得海岛 A 位于
渔船 B 的北偏西 30°的方向上，此时海岛 C 恰好位于渔船 B 的正北方向 18（1+ ）n mile
处，则海岛 A，C 之间的距离为 18 n mile．
【分析】作AD⊥BC 于 D，根据正弦的定义、正切的定义分别求出 BD.CD，根据题意列式计算
即可．
【解答】解：作 AD⊥BC 于 D，
设 AC=x 海里，
在 Rt△ACD 中，AD=AC×sin∠ACD= x，
则 CD= x，
在 Rt△ABD 中，BD= x，
则 x+ x=18（1+ ），解得，x=18 ，4
答：A，C 之间的距离为 18 海里．
故答案为：18
2.（2018·湖北荆州·3 分）荆州市滨江公园旁的万寿宝塔始建于明嘉靖年间，周边风景秀
丽．现在塔底低于地面约 7 米，某校学生测得古塔的整体高度约为 40 米．其测量塔顶相对
地面高度的过程如下：先在地面 A 处测得塔顶的仰角为 30°，再向古塔方向行进 a 米后到
达 B 处，在 B 处测得塔顶的仰角为 45°（如图所示），那么 a 的值约为 米（
≈1.73，结果精确到 0.1）．
【解答】解：如图，设 CD 为塔身的高，延长 AB 交 CD 于 E，则 CD=40，DE=7，
∴CE=33，
∵∠CBE=45°=∠BCE，∠CAE=30°，
∴BE=CE=33，
∴AE=a+33，
∵tanA= ，
∴tan30°= ，即 33 =a+33，
解得 a=33（ ﹣1）≈24.1，
∴a 的值约为 24.1 米，
故答案为：24.1．
3．(2018·辽宁省葫芦岛市) 如图，某景区的两个景点 A.B 处于同一水平地面上、一架无
人机在空中沿 MN 方向水平飞行进行航拍作业，MN 与 AB 在同一铅直平面内，当无人机飞行
至 C 处时、测得景点 A 的俯角为 45°，景点 B 的俯角为知 30°，此时 C 到地面的距离 CD
为 100 米，则两景点 A.B 间的距离为 100+100 米（结果保留根号）．5
【解答】解：∵∠MCA=45°，∠NCB=30°，∴∠ACD=45°，∠DCB=60°，∠B=30°．
∵CD=100 米，∴AD=CD=100 米，D B= 米，∴AB=AD+DB=100+100 （米）．
故答案为：100+100 ．
4. （2018·湖北咸宁·3 分）如图，航拍无人机从 A 处测得一幢建筑物顶部 B 的仰角为 45°，
测得底部 C 的俯角为 60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离 AD 为 110m，那么该建筑
物的高度 BC 约为_____m（结果保留整数， ≈1.73）．
【答案】300
【解析】【分析】在Rt△ABD 中，根据正切函数求得 BD=AD•tan∠BAD，在 Rt△ACD 中，求得
CD=AD•tan∠CAD，再根据 BC=BD+CD，代入数据计算即可．
【详解】如图，∵在 Rt△ABD 中，AD=110，∠BAD=45°，∴BD= AD•tan45° =110（m），
∵在 Rt△ACD 中，∠CAD=60°，∴CD=AD•tan60°=110× ≈190（m），
∴BC=BD+CD=110+190=300（m），
即该建筑物的高度 BC 约为 300 米，故答案为：300．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练应用锐角三角函数关系是解
题关键．
5.（2018·辽宁大连·3 分）如图，小明为了测量校园里旗杆 AB 的高度，将测角仪 CD 竖直
放在距旗杆底部 B 点 6m 的位置，在 D 处测得旗杆顶端 A 的仰角为 53°，若测角仪的高度是
1.5m，则旗杆 AB 的高度约为 m．（精确到 0.1m．参考数据：sin53°≈0.80，
cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）6
解：过 D 作 DE⊥AB，
∵在 D 处测得旗杆顶端 A 的仰角为 53°，∴∠ADE=53°．
∵BC=DE=6m，∴AE=DE•tan53°≈6×1.33≈7.98m，
∴AB=AE+BE=AE+CD=7.98+1.5=9.48m≈9.5m． 故答案为：9.5．
三.解答题
1. （2018·广西贺州·8 分）如图，一艘游轮在 A 处测得北偏东 45°的方向上有一灯塔
B．游轮以 20 海里/时的速度向正东方向航行 2 小时到达 C 处，此时测得灯塔 B 在 C 处北
偏东 15°的方向上，求 A 处与灯塔 B 相距多少海里？（结果精确到 1 海里，参考数据：
≈1.41， ≈1.73）
【解答】解：过点 C 作 CM⊥AB，垂足为 M，
在 Rt△ACM 中，∠MAC=90°﹣45°=45°，则∠MCA=45°，
∴AM=MC，
由勾股定理得：AM2+MC2=AC2=（20 ×2）2，
解得：AM=CM=40，
∵∠ECB=15°，
∴∠BCF=90°﹣15°=75°，
∴∠B=∠BCF﹣∠MAC=75°﹣45°=30°，7
在 Rt△BCM 中，tanB=tan30°= ，即 = ，
∴BM=40 ，
∴AB=AM+BM=40+40 ≈40+40×1.73≈109（海里），
答：A 处与灯塔 B 相距 109 海里．
2.（2018·广西梧州·8 分）随着人们生活水平的不断提高，旅游已成为人们的一种生活时
尚．为开发新的旅游项目，我市对某山区进行调查，发现一瀑布．为测量它的高度，测量人
员在瀑布的对面山上 D 点处测得瀑布顶端 A 点的仰角是 30°，测得瀑布底端 B 点的俯角是
10°，AB 与水平面垂直．又在瀑布下的水平面测得 CG=27m，GF=17.6m（注：C.G、F 三点在
同一直线上，CF⊥AB 于点 F）．斜坡 CD=20m，坡角∠ECD=40°．求瀑布 AB 的高度．
（ 参 考 数 据 ： ≈1.73 ， sin40°≈0.64 ， cos40°≈0.77 ， tan40°≈0.84 ，
sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18）
【分析】过点 D 作 DM⊥CE，交 CE 于点 M，作 DN⊥AB，交 AB 于点 N，在 Rt△CMD 中，通过解
直角三角形可求出 CM 的长度，进而可得出 MF、DN 的长度，再在 Rt△BDN、Rt△ADN 中，利
用解直角三角形求出 BN、AN 的长度，结合 AB=AN+BN 即可求出瀑布 AB 的高度．
【解答】解：过点 D 作 DM⊥CE，交 CE 于点 M，作 DN⊥AB，交 AB 于点 N，如图所示．
在 Rt△CMD 中，CD=20m，∠DCM=40°，∠CMD=90°，
∴CM=CD•cos40°≈15.4m，DM=CD•sin40°≈12.8m，
∴DN=MF=CM+CG+GF=60m．
在 Rt△BDN 中，∠BDN=10°，∠BND=90°，DN=60m，
∴BN=DN•tan10°≈10.8m．
在 Rt△ADN 中，∠ADN=30°，∠AND=90°，DN=60m，
∴AN=DN•tan30°≈34.6m．8
∴AB=AN+BN=45.4m．
答：瀑布 AB 的高度约为 45.4 米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题及坡度坡角问题，通过解直角三
角形求出 AN、BN 的长度是解题的关键．
3. （2018·湖北十堰·7 分）如图，一艘海轮位于灯塔 C 的北偏东 45 方向，距离灯塔 100
海里的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 C 的南偏东 30°方向上的 B 处，
求此时船距灯塔的距离（参考数据： ≈1.414， ≈1.732，结果取整数）．
【分析】过 C 作 CD 垂直于 AB，根据题意求出 AD 与 BD 的长，由 AD+DB 求出 AB 的长即可．
【解答】解：过 C 作 CD⊥AB，
在 Rt△ACD 中，∠A=45°，
∴△ACD 为等腰直角三角形，
∴AD=CD= AC=50 海里，
在 Rt△BCD 中，∠B=30°，
∴BC=2CD=100 海里，
根据勾股定理得：BD=50 海里，
则 AB=AD+BD=50 +50 ≈193 海里，
则此时船锯灯塔的距离为 193 海里．9
【点评】此题考查了解直角三角形﹣方向角问题，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
4.（2018·云南省昆明·7 分）小婷在放学路上，看到隧道上方有一块宣传“中国﹣南亚博
览会”的竖直标语牌 CD．她在 A 点测得标语牌顶端 D 处的仰角为 42°，测得隧道底端 B 处
的俯角为 30°（B，C，D 在同一条直线上），AB=10m，隧道高 6.5m（即 BC=65m），求标语牌 CD
的 长 （ 结 果 保 留 小 数 点 后 一 位 ）．（参 考 数 据 ： sin42°≈0.67 ， cos42°≈0.74 ，
tan42°≈0.90， ≈1.73）
【分析】如图作AE⊥BD 于 E．分别求出 BE.DE，可得 BD 的长，再根据 CD=BD﹣BC 计算即可；
【解答】解：如图作 AE⊥BD 于 E．
在 Rt△AEB 中，∵∠EAB=30°，AB=10m，
∴BE= AB=5（m），AE=5 （m），
在 Rt△ADE 中，DE=AE•tan42°=7.79（m），
∴BD=DE+BE=12.79（m），
∴CD=BD﹣BC=12.79﹣6.5≈6.3（m），
答：标语牌 CD 的长为 6.3m．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线
面构造直角三角形解决问题．10
5.（2018·浙江省台州·8 分）图 1 是一辆吊车的实物图，图 2 是其工作示意图，AC 是可以
伸缩的起重臂，其转动点 A 离地面 BD 的高度 AH 为 3.4m．当起重臂 AC 长度为 9m，张角∠HAC
为 118° 时 ， 求 操 作 平 台 C 离 地 面 的 高 度 （ 结 果 保 留 小 数 点 后 一 位 ： 参 考 数 据 ：
sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）
【分析】作 CE⊥BD 于 F，AF⊥CE 于 F，如图 2，易得四边形 AHEF 为矩形，则 EF=AH=3.4m，
∠HAF=90°，再计算出∠CAF=28°，则在 Rt△ACF 中利用正弦可计算出 CF，然后计算 CF+EF
即可．
【解答】解：作 CE⊥BD 于 F，AF⊥CE 于 F，如图 2，
易得四边形 AHEF 为矩形，
∴EF=AH=3.4m，∠HAF=90°，
∴∠CAF=∠CAH﹣∠HAF=118°﹣90°=28°，
在 Rt△ACF 中，∵sin∠CAF= ，
∴CF=9sin28°=9×0.47=4.23，
∴CE=CF+EF=4.23+3.4≈7.6（m），
答：操作平台 C 离地面的高度为 7.6m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用：先将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，
构造出直角三角形转化为解直角三角形问题），然后利用勾股定理和三角函数的定义进行几
何计算．
6．（2018·辽宁省盘锦市）两栋居民楼之间的距离 CD=30 米，楼 AC 和 B D 均为 10 层， 每层
楼高 3 米．
（1）上午某时刻，太阳光线 GB 与水平面的夹角为 30°，此刻 B 楼的影子落在 A 楼的第几11
层？
（2）当太阳光线与水平面的夹角为多少度时，B 楼的影子刚好落在 A 楼的底部 ．
【解答】解：（1）延长 BG，交 AC 于点 F，过 F 作 FH⊥BD 于 H，
由图可知，FH=CD=30m．
∵∠BFH=∠α=30°．在 Rt△BFH 中，BH= ， ，答：此
刻 B 楼的影子落在 A 楼的第 5 层；
（2）连接 BC\1BD=3×10=30=CD，∴∠BCD=45°，答：当太阳光线与水平面的夹角为 45 度
时，B 楼的影子刚好落在 A 楼的底部．
7．（2018·辽宁省抚顺市）（12.00 分）如图，BC 是路边坡角为 30°，长为 10 米的一道斜
坡，在坡顶灯杆 CD 的顶端 D 处有一探射灯，射出的边缘光线 DA 和 DB 与水平路面 AB 所成的
夹角∠DAN 和∠DBN 分别是 37°和 60°（图中的点 A.B.C.D.M、N 均在同一平面内，
CM∥AN）．
（1）求灯杆 CD 的高度；
（ 2 ） 求 AB 的 长 度 （ 结 果 精 确 到 0.1 米 ）．（参 考 数 据 ： =1.73 ． sin37°≈060 ，
cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【分析】（1）延长 DC 交 AN 于 H．只要证明 BC=CD 即可；
（2）在 Rt△BCH 中，求出 BH、CH，在 Rt△ADH 中求出 AH 即可解决问题；
【解答】解：（1）延长 DC 交 AN 于 H．12
∵∠DBH=60°，∠DHB=90°，
∴∠BDH=30°，
∵∠CBH=30°，
∴∠CBD=∠BDC=30°，
∴BC=CD=10（米）．
（2）在 Rt△BCH 中，CH= BC=5，BH=5 ≈8.65，
∴DH=15，
在 Rt△ADH 中，AH= = =20，
∴AB=AH﹣BH=20﹣8.65=11.4（米）．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，
构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
8. （2018•呼和浩特•8 分）如图，一座山的一段斜坡 BD 的长度为 600 米，且这段斜坡的坡
度 i=1：3（沿斜坡从 B 到 D 时，其升高的高度与水平前进的距离之比）．已知在地面 B 处测
得山顶 A 的仰角为 33°，在斜坡 D 处测得山顶 A 的仰角为 45°．求山顶 A 到地面 BC 的高度
AC 是多少米？（结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可）
解：作 DH⊥BC 于 H．设 AE=x．
∵DH：BH=1：3，
在 Rt△BDH 中，DH2+（3DH）2=6002，13
∴DH=60 ，BH=180 ，
在 Rt△ADE 中，∵∠ADE=45°，
∴DE=AE=x，
∵又 HC=ED，EC=DH，
∴HC=x，EC=60 ，
在 Rt△ABC 中，tan33°= ，
∴x= ，
∴AC=AE+EC= +60 = ．
答：山顶 A 到地面 BC 的高度 AC 是 米
9.（2018•广安•8 分）据调查，超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．小强用所学知识
对一条笔直公路上的车辆进行测速，如图所示，观测点 C 到公路的距离 CD=200m，检测路段
的起点 A 位于点 C 的南偏东 60°方向上，终点 B 位于点 C 的南偏东 45°方向上．一辆轿车
由东向西匀速行驶，测得此车由 A 处行驶到 B 处的时间为 10s．问此车是否超过了该路段
16m/s 的限制速度？（观测点 C 离地面的距离忽略不计，参考数据： ≈1.41， ≈
1.73）
【分析】根据直角三角形的性质和三角函数得出 DB，DA，进而解答即可．
【解答】解：由题意得：∠DCA=60°，∠DCB=45°，
在 Rt△CDB 中，tan∠DCB= ，
解得：DB=200，
在 Rt△CDA 中，tan∠DCA= ，
解得：DA=200 ，
∴AB=DA﹣DB=200 ﹣200≈146 米，
轿车速度 ，
答：此车没有超过了该路段 16m/s 的限制速度．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，解答本题的关键是利用三角函数求14
出 AD 与 BD 的长度，难度一般．
10.（2018•莱芜•9 分）在小水池旁有一盏路灯，已知支架 AB 的长是 0.8m，A 端到地面的距
离 AC 是 4m，支架 AB 与灯柱 AC 的夹角为 65°．小明在水池的外沿 D 测得支架 B 端的仰角是
45°，在水池的内沿 E 测得支架 A 端的仰角是 50°（点 C.E.D 在同一直线上），求小水池的
宽 DE．（结果精确到 0.1m）（sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan50°≈1.2）
【分析】过点 B 作 BF⊥AC 于 F，BG⊥CD 于 G，根据三角函数和直角三角形的性质解答即
可．
【解答】解：过点 B 作 BF⊥AC 于 F，BG⊥CD 于 G，
在 Rt△BAF 中，∠BAF=65°，BF=AB•sin∠BAF=0.8×0.9=0.72，
AF=AB•cos∠BAF=0.8×0.4=0.32，
∴FC=AF+AC=4.32，
∵四边形 FCGB 是矩形，
∴BG=FC=4.32，CG=BF=0.72，
∵∠BDG=45°，
∴∠BDG=∠GBD，
∴GD=GB=4.32，
∴CD=CG+GD=5.04，
在 Rt△ACE 中，∠AEC=50°，CE= ，
∴DE=CD﹣CE=5.04﹣3.33=1.71≈1.7，
答：小水池的宽 DE 为 1.7 米．
【点评】此题考查的知识点是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，关键是本题要求学生借
助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
11．（2018·江苏镇江·6 分）如图，校园内有两幢高度相同的教学楼 AB，CD，大楼的底部
B，D 在同一平面上，两幢楼之间的距离 BD 长为 24 米，小明在点 E（B，E，D 在一条直线上）
处测得教学楼 AB 顶部的仰角为 45°，然后沿 EB 方向前进 8 米到达点 G 处，测得教学楼 CD15
顶部的仰角为 30°．已知小明的两个观测点 F，H 距离地面的高度均为 1.6 米，求教学楼 AB
的高度 AB 长．（精确到 0.1 米）参考值： ≈1.41， ≈1.73．
【解答】解：延长 HF 交 CD 于点 N，延长 FH 交 AB 于点 M，如右图所示，
由题意可得，MB=HG=FE=ND=1.6m，HF=GE=8m，MF=BE，HN=GD，MN=BD=24m，
设 AM=xm，则 CN=xm，
在 Rt△AFM 中，MF= ，
在 Rt△CNH 中，HN= ，
∴HF=MF+HN﹣MN=x+ x﹣24，
即 8=x+ x﹣24，解得，x≈11.7，∴AB=11.7+1.6=13.3m，
答：教学楼 AB 的高度 AB 长 13.3m．
12．（2018·江苏常州·8 分）京杭大运河是世界文化遗产．综合实践活动小组为了测出某
段运河的河宽（岸沿是平行的），如图，在岸边分别选定了点 A.B 和点 C.D，先用卷尺量得
AB=160m，CD=40m，再用测角仪测得∠CAB=30°，∠DBA=60°，求该段运河的河宽（即 CH 的
长）．
【分析】过 D 作 DE⊥AB，可得四边形 CHED 为矩形，由矩形的对边相等得到两对对边相等，
分别在直角三角形 ACH 与直角三角形 BDE 中，设 CH=DE=xm，利用锐角三角函数定义表示出 AH
与 BE，由 AH+HE+EB=AB 列出方程，求出方程的解即可得到结果．
【解答】解：过 D 作 DE⊥AB，可得四边形 CHED 为矩形，
∴HE=CD=40m，
设 CH=DE=xm，
在 Rt△BDE 中，∠DBA=60°，16
∴BE= xm，
在 Rt△ACH 中，∠BAC=30°，
∴AH= xm，
由 AH+HE+EB=AB=160m，得到 x+40+ x=160，
解得：x=30 ，即 CH=30 m，
则该段运河的河宽为 30 m．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．
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