山东省德州市2018-2019学年高二上学期期末考试数学试题PDF版.pdf

高二数学试题 ２０１９．１ 　　 本试卷分第 Ⅰ 卷(选择题)和第 Ⅱ 卷(非选择题)两部分,第 Ⅰ 卷 １－２ 页,第 Ⅱ 卷 ３－４ 页,共 １５０ 分,测试时间 １２０ 分钟 ． 第 Ⅰ 卷(共 ５２ 分) 一、单项选择题:本大题共 １０ 小题,每小题 ４ 分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求． １．已知两条直线l１、l２,且l１⊥l２,其中直线l１ 的方程为x－y＋１＝０,则直线l２ 的倾斜角为 A．４５° B．６０° C．１３５° D．１５０° ２．命题“∃x∈R,x２ －２x＋１＜０”的否定是 A．∃x∈R,x２ －２x＋１≥０ B．∃x∈R,x２ －２x＋１＞０ C．∀x∈R,x２ －２x＋１≥０ D．∀x∈R,x２ －２x＋１＜０ ３．已知双曲线的焦点在y 轴上,实轴长为 ２,离心率为 ２,则双曲线的标准方程为 A． y２ ４－ x２ １２＝１ B． y２ １２－ x２ ４＝１ C． y２ ３－x２ ＝１ D．y２ － x２ ３＝１ ４．将圆(x－２)２ ＋y２ ＝４ 绕直线x＋y－２＝０ 旋转一周所得的几何体的表面积为 A．２π B．４π C．８π D．１６π ５．设平面α∩ 平面β＝l,直线a⊂ 平面α,直线b⊂ 平面β,且α⊥β,则“b⊥l”是“a⊥b”的 (　　)条件 A． 充分不必要 　 B． 必要不充分 C． 充分必要 　　 D． 既不充分也不必要 ６．直线ax－y＋５＝０ 截圆C:x２ ＋y２ －４x－２y＋１＝０ 的弦长为 ４,则a＝ A．－２ B．－１ C．１ D．２ ７．已知向量a＝(３,－２,－３),b＝(－２,x－１,２),且a 与b 的夹角为钝角,则x 的取值范 围是 A．(－５,＋∞) B．(－５,７ ３)∪(７ ３,＋∞) C．(－∞,－５) D．(７ ３,＋∞) 高二数学试题 　 第 １ 页(共 ４ 页) ８．已知直三棱柱 ABCＧA１B１C１ 中,∠ABC＝６０°,AB＝BC＝CC１ ＝２,则异 面直线 AB１ 与 BC１ 所成角的余弦值为 A．－ １５ ４ B．－１ ４ C．１ ４ D． １５ ４ ９．«九章算术»中,将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”,将底 面为矩形,一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”,在如图所示 的堑 堵 ABCＧA１B１C１ 中,AA１ ＝AC＝５,AB＝３,BC＝４,则 在 堑 堵 ABCＧA１B１C１ 中截掉阳马C１ＧABB１A１ 后的几何体的外接球的体积是 A．２５π　 B．１２５ ２ ３ π　 C．１００π D．１７５ ２ ３ π １０．如图,F１、F２ 是椭圆 C１ 与双曲线C２ 的公共焦点,A、B 分别是 C１、C２ 在第二、四象限的交点,若 AF１⊥BF１,且 ∠AF１O＝π ３,则 C１ 与C２ 离心率之积为 A．２ B．２ ３ C．２ ５ D．２ ６ 二、多项选择题:本大题共 ３ 小题,每小题 ４ 分．在每小题给出的四个选项中,有多项符合题 目要求．全部选对的得 ４ 分,选对但不全的得 ２ 分,有选错的得 ０ 分． １１．一几何体的平面展开图如图所示,其中四边形 ABCD 为正方形, E、F分别为PB、PC 的中点,在此几何体中,给出的下面结论中正确 的有 A． 直线 AE 与直线BF 异面 　 B． 直线 AE 与直线DF 异面 C． 直线EF∥ 平面PAD D． 直线 DF⊥ 平面PBC １２．已知双曲线C: x２ a２ － y２ b２ ＝１(a＞０,b＞０)的离心率为２ ３ ３ ,右顶点为 A,以 A 为圆心,b为 半径作圆A,圆 A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点,则有 A．渐近线方程为y＝± ３x B． 渐近线方程为y＝± ３ ３ x C．∠MAN＝６０° D．∠MAN＝１２０° １３．设有一组圆Ck:(x－１)２ ＋(y－k)２ ＝k４(k∈N∗ )．下列四个命题正确的是 A．存在k,使圆与x 轴相切 B． 存在一条直线与所有的圆均相交 C． 存在一条直线与所有的圆均不相交 D． 所有的圆均不经过原点 高二数学试题 　 第 ２ 页(共 ４ 页)第 Ⅱ 卷(共 ９８ 分) 三、填空题:本大题共 ４ 小题,每小题 ４ 分． １４．若两条平行直线l１:x－y＋１＝０ 与l２:２x－２y＋a＝０(a＞０)之间的距离为３ ２ ４ ,则a＝ 　　　　． １５．已知圆C１:(x＋３)２ ＋(y＋３)２ ＝３６ 与圆C２:x２ ＋y２ －２x＋m＝０(m≥０)内切,则m＝　　　, 点P 是圆C１ 上一动点,则点P 到直线 ３x＋４y＋２６＝０ 距离的最大值为 　　　　． １６．抛物线y２ ＝４x 的焦点为F,点 A(２,１),M 为抛物线上一点,且 M 不在直线AF 上,则 △MAF 周长的最小值为 　　　　． １７．在三棱锥OＧABC 中,三条棱OA、OB、OC 两两垂直,且OA＝OB＝OC,M 是AB 边的中 点,则OM 与平面ABC 所成角的正弦值是 　　　　． 四、解答题:本大题共 ６ 小题．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤． １８．(本小题满分 １２ 分) 已知 m∈R,命题 p:方 程 x２ m－１＋ y２ ７－m ＝１ 表 示 焦 点 在 y 轴 上 的 椭 圆;命 题q:“方 程 x２ ＋y２ －２x＋(２m－６)y＋m２ －１４m＋２６＝０ 表示圆心在第一象限的圆”． (１)若命题p 是真命题,求实数 m 的取值范围; (２)若命题p 和q 均为假命题,求实数 m 的取值范围． １９．(本小题满分 １４ 分) 已知圆C:x２ ＋y２ ＋４x－５＝０． (１)若直线 m 过原点且不与y 轴重合,与圆C 交于A(x１,y１)、B(x２,y２),试求直线 l:y＝(１x１＋１x２ )x－２ 在x 轴上的截距; (２)若斜率为 －１ 的直线n与圆C(C 为圆心)交于 D、E 两点,求 △CDE 面积的最大值及 此时直线n 的方程． ２０．(本小题满分 １４ 分) 如图,在四棱锥 PＧABCD 中,其中底面 ABCD 为等腰 梯形, BC∥AD 且BC＝２AD＝４,PA＝PD＝AB＝ ５,E 为PB 的 中点,O 为AD 的中点． (１)求证:AE∥ 平面PCD; (２)若平面PAD⊥ 平面 ABCD,求证:BO⊥PC． 高二数学试题 　 第 ３ 页(共 ４ 页) ２１．(本小题满分 １４ 分) 设抛物线C:x２ ＝２y,点 A(０,２)、B(０,－２),过点 A 的直线l与C 交于M 、N 两点． (１)若 △OMN(O 为坐标原点)的面积为 ４,求直线 MN 的方程; (２)求证:y 轴平分 ∠MBN． ２２．(本小题满分 １４ 分) 如图所示,以 ２ 为半径的半圆弧 AB︵ 所在平面垂直于矩形ABCD 所在平面,S 是圆弧 AB︵ 上异于A、B 的点． (１)证明:平面SBD⊥ 平面SAD; (２)当 四 棱 锥 SＧABCD 的 体 积 最 大 为 ８ 时,求 平 面 SAD 与 平面SCD 所成的锐二面角的余弦值． ２３．(本小题满分 １４ 分) 已知椭圆C: x２ a２ ＋ y２ b２ ＝１(a＞b＞０)的离心率e＝ ２ ２,椭圆上的点到左焦点 F１ 的距离的 最大值为 ２＋１． (１)求椭圆C 的标准方程; (２)已知直 线l:y＝kx＋t(k≠０)与 椭 圆 C 交 于 M 、N 两 点．在 y 轴 上 是 否 存 在 点 P(０,m),使得 |MP|＝|NP| 且 |MN|＝２．若存在,求出实数 m 的取值范围;若不存在, 说明理由． 高二数学试题 　 第 ４ 页(共 ４ 页)高二数学试题参考答案 ２０１９．１ 一、单项选择题:本大题共 １０ 小题,每小题 ４ 分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求． １．C　２．C　３．D　４．D　５．A　６．A　７．B　８．C　９．B　１０．A二、多项选择题:本大题共 ３ 小题,每小题 ４ 分．在每小题给出的四个选项中,有多项符合题 目要求．全部选对的得 ４ 分,选对但不全的得 ２ 分,有选错的得 ０ 分． １１．AC　１２．BC　１３．ABD三、填空题:本大题共 ４ 小题,每小题 ４ 分． １４．５　１５．０　７　１６．３＋ ２　１７．６ ３四、解答题:本大题共 ６ 小题．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤． １８．解:(１)若命题p 是真命题,则 m－１＞０ ７－m＞０ ７－m＞m－１ ì î í ïï ïï , ３ 分………………………………………… 解得 １＜m＜４; ５ 分………………………………………………………………………… (２)x２ ＋y２ －２x＋(２m－６)y＋m２ －１４m＋２６＝０ 化为(x－１)２ ＋[y＋(m－３)]２ ＝８m－１６ ７ 分……………………………………………………………………………………… ∵“方程x２ ＋y２ －２x＋(２m－６)y＋m２ －１４m＋２６＝０ 表示圆心在第一象限的圆．”为真 命题 ∴ ３－m＞０ ８m－１６＞０ { , ８ 分………………………………………………………………………… 解得 ２＜m＜３,即q:２＜m＜３． ９ 分………………………………………………………… p 为假命题则m≤１ 或 m≥４ １０ 分………………………………………………………… q为假命题则m≤２ 或 m≥３ １１ 分………………………………………………………… 由p 和q 均为假命题,∴m≤１ 或 m≥４ ∴ 实数 m 的取值范围为(－∞,１]∪[４,＋∞) １２ 分……………………………………… １９．解:(１)圆C:(x＋２)２ ＋y２ ＝９,设直线 m:y＝kx,联立 y＝kx (x＋２)２ ＋y２ ＝９ { , 得:(１＋k２)x２ ＋４x－５＝０, ２ 分…………………………………………………………… 故x１＋x２＝－ ４ １＋k２,x１x２＝－ ５ １＋k２, 则１x１＋１x２＝ x１＋x２ x１x２ ＝４ ５, ４ 分……………………………………………………………… 故直线l:y＝４ ５ x－２, ６ 分………………………………………………………………… 令y＝０,得x＝５ ２ 为直线l在x 轴上的截距． ７ 分………………………………………… 高二数学试题答案 　 第 １ 页(共 ４ 页) (２)设直线n的方程为:y＝－x＋b,圆心C 到直线n 的距离为d＝|b＋２| ２ , 弦长 |DE|＝２ ９－d２, ９ 分………………………………………………………………… 则 △CDE 的面积为S△CDE ＝１ ２|DE|d＝ ９－d２d≤９ ２, １０ 分…………………………… 当且仅当 ９－d２ ＝d,即d＝３ ２ ２ 时,S△CDE 的最大值为９ ２, １２ 分………………………… 此时|b＋２| ２ ＝３ ２ ２ ,解得b＝１ 或b＝－５, １３ 分…………………………………………… 直线n的方程为y＝－x＋１ 或y＝－x－５． １４ 分………………………………………… ２０．证明:(１)取线段PC 的中点F,连接EF、DF, ２ 分……………………………………… 已知E 为PB 的中点,所以在 △PBC 中,EF∥BC,EF＝１ ２ BC ４ 分…………………… 又因为 AD∥BC,AD＝１ ２ BC 所以EF∥AD 且EF＝AD 所以四边形 AEFD 为平行四边形 ６ 分…………………………………………………… 所以 AE∥DF 且AE⊄ 平面PCD、DF⊂ 平面PCD 所以 AE∥ 平面PCD ７ 分………………………………………………………………… (２)证明:连接点 PO,因为 PA＝PD,O 为AD 的中点,所以 PO⊥AD ８ 分………………………………………………… 已知平面PAD⊥ 平面 ABCD,且PO⊂ 平面PAD 所以PO⊥ 平面 ABCD,又BO⊂ 平面 ABCD 所以BO⊥PO １０ 分…………………………………………… 在等腰梯形 ABCD 中BC＝２AD＝４,AB＝CD＝ ５ 可求OB＝OC＝２ ２ 在 △BOC,OB２ ＋OC２ ＝BC２,所以BO⊥OC １２ 分…………… 又PO∩OC＝O,所以BO⊥ 平面POC 因为PC⊂ 平面POC 所以BO⊥PC １４ 分………………………………………………………………………… ２１．解:设直线l的方程为y＝kx＋２,M(x１,y１)、N(x２,y２) 由 y＝kx＋２ x２ ＝２y{ 联立可得x２ －２kx－４＝０ 所以x１＋x２＝２k,x１Űx２＝－４ ２ 分……………………………………………………… (１)|MN|＝ １＋k２ |x１－x２|＝ １＋k２ (x１＋x２)２ －４x１Űx２＝２ １＋k２ k２ ＋４ ４ 分 … ……………………………………………………………………………………… 高二数学试题答案 　 第 ２ 页(共 ４ 页)设点O 到直线MN 的距离d,则d＝ ２ １＋k２ ５ 分………………………………………… S△OMN ＝１ ２|MN|Űd＝２ k２ ＋４＝４,解得k＝０ ８ 分…………………………………… ∴ 直线 MN 的方程为:y＝２ ７ 分…………………………………………………………… (２)证明:设直线BM 的斜率为kBM ,直线BN 的斜率为kBN , 要证y 轴平分角 ∠MBN 只要证kBM ＋kBN ＝０ 即可 ８ 分………………………………… 因为 M(x１,y１)、N(x２,y２)在抛物线上,所以y１＝１ ２ x２ １,y２＝１ ２ x２ ２ 那么kBM ＝ y１＋２x１ ＝ １ ２ x２ １＋２ x１ ＝１ ２ x１＋２x１ , kBN ＝ y２＋２x２ ＝ １ ２ x２ ２＋２ x２ ＝１ ２ x２＋２x２ １０ 分…………………………………………………… 所以kBM ＋kBN ＝１ ２(x１＋x２)＋(２x１＋２x２ )＝１ ２(x１＋x２)＋２(x１＋x２)x１x２ １２ 分…………… 将x１Űx２＝－４ 带入上式,则有 kBM ＋kBN ＝１ ２(x１＋x２)＋２(x１＋x２) －４ ＝０ 即kBM ＋kBN ＝０ 成立 所以y 轴平分角 ∠MBN １４ 分…………………………………………………………… ２２．(１)证明:由已知,平面 ASB⊥ 平面 ABCD,交线为 AB, 且 DA⊥AB ,DA⊂ 平面 ABCD 所以 DA⊥ 平面SAB,故 DA⊥SB ２ 分…………………………………………………… S 是圆弧AB︵ 上异于A、B 的的点,且 AB 为直径,所以SA⊥SB 又SA∩AD＝A,所以SB⊥ 平面SAD ４ 分……………………………………………… 又SB⊂ 平面SBD,所以平面SBD⊥ 平面SAD ６ 分…………………………………… (２)显然当四棱锥SＧABCD 的体积最大时,S在圆弧AB︵ 的中点上, Vmax＝１ ３ ABŰADŰ１ ２ AB＝１ ３Ű４ŰADŰ１ ２Ű４＝８ ３ AD＝８,所 以 AD＝３ ８ 分……………………………………………………… 分别在 AB、CD 上取中点O、E,则可得 OE、OB、OS 三者两两垂 直,分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系． 则S(０,０,２),B(０,２,０),D(３,－２,０),C(３,２,０) SB→＝(０,２,－２)、SD→＝(３,－２,－２)、SC→＝(３,２,－２) ９ 分……………………………… 因为SB⊥ 平面SAD,可取n１＝１ ２ SB→＝(０,１,－１)是平面SAD 的一个法向量 １０ 分… 设n２＝(x,y,z)是平面SCD 的法向量 所以 n２ŰSC→＝０ n２ŰSD→＝０ { ⇒ ３x＋２y－２z＝０ ３x－２y－２z＝０ { , 高二数学试题答案 　 第 ３ 页(共 ４ 页) 取x＝２,可得y＝０,z＝３,n２＝(２,０,３) １２ 分……………………………………………… 设平面SAD 与平面SCD 所成的锐二面角大小为θ 则 cosθ＝|cos‹n１,n２›|＝| n１Űn２ |n１||n２||＝| －３ ２ １３ |＝３ ２６ ２６ １４ 分………………………… ２３．解:(１)由题设条件可得c a ＝ ２ ２,a＋c＝ ２＋１, ２ 分……………………………………… 解得a＝ ２,c＝１, ３ 分……………………………………………………………………… 所以,b２ ＝a２ －c２ ＝１, 椭圆的标准方程为: x２ ２＋y２ ＝１ ５ 分……………………………………………………… (２)设 M(x１,y１),N(x２,y２), 则 y＝kx＋t, x２ ２＋y２ ＝１,{ 整理得:(１＋２k２)x２ ＋４ktx＋２t２ －２＝０, 则Δ＝１６k２t２ －８(１＋２k２)(t２ －１)＞０, 则x１＋x２＝－ ４kt １＋２k２,x１x２＝２t２ －２ １＋２k２, ７ 分………………………………………………… 假设存在点P(０,m)满足题意,|MN|＝ １＋k２Ű (x１＋x２)２ －４x１x２, 则 |MN|＝２ ２ k２ ＋１Ű ２k２ ＋１－t２ ２k２ ＋１ ＝２, ８ 分………………………………………… 化简整理得t２ ＝ ２k２ ＋１ ２(k２ ＋１), ９ 分…………………………………………………………… 此时判别式Δ＝８(２k２ ＋１－t２)＝８[２k２ ＋１－ ２k２ ＋１ ２(k２ ＋１)]＞０ 恒成立, 所以k∈R且k≠０, １０ 分…………………………………………………………………… 设 MN 中点D(x０,y０),则x０＝ x１＋x２ ２ ＝－ ２kt ２k２ ＋１,y０＝ t ２k２ ＋１, １１ 分………………… 由 |MP|＝|NP|,则P 在线段MN 的中垂线上, 因为k≠０,直线PD 的方程为:y－ t ２k２ ＋１＝－１k(x＋ ２kt ２k２ ＋１), 令x＝０,则 m＝ －t ２k２ ＋１ １２ 分……………………………………………………………… ∴m２ ＝ t２ (２k２ ＋１)２ ∴m２ ＝ １ ２(２k２ ＋１)(k２ ＋１) ∵k≠０,∴k２ ＞０,∴(２k２ ＋１)(k２ ＋１)＞１ ∴０＜m２ ＜１ ２ ∴－ ２ ２＜m＜０ 或 ０＜m＜ ２ ２ ． 即:m∈(－ ２ ２,０)∪(０,２ ２)． １４ 分………………………………………………………… 高二数学试题答案 　 第 ４ 页(共 ４ 页)