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尺规作图
一.填空题
1．(2018·辽宁省葫芦岛市) 如图，OP 平分∠MON，A 是边 OM 上一点，以点 A 为圆心、大
于点 A 到 ON 的距离为半径作弧，交 ON 于点 B.C，再分别以点 B.C 为圆心，大于 BC 的长为
半径作弧，两弧交于点 D.作直线 AD 分别交 OP、ON 于点 E.F．若∠MON=60°，EF=1，则 OA=
2 ．
【解答】解：由 作法得 AD⊥ON 于 F，∴∠AOF=90°．∵OP 平分∠MON，∴∠EOF= ∠MON=
×60°=30°．在 Rt△OEF 中，OF= EF= ．在 Rt△AOF 中，∠AOF=60°，
∴OA=2OF=2 ．
故答案为：2 ．
2．（2018·辽宁省抚顺市）（3.00 分）如图，▱ABCD 中，AB=7，BC=3，连接 AC，分别以点 A
和点 C 为圆心，大于 AC 的长为半径作弧，两弧相交于点 M，N，作直线 MN，交 CD 于点 E，
连接 AE，则△AED 的周长是 10 ．
【分析】根据平行四边形的性质可知 AD=BC=3，CD=AB=7，再由垂直平分线的性质得出
AE=CE，据此可得出结论
【解答】解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，AB=7，BC=3，
∴AD=BC=3，CD=AB=7．
∵由作图可知，MN 是线段 AC 的垂直平分线，
∴AE=CE，
∴△ADE 的周长=AD+（DE+AE）=AD+CD=3+7=10．2
故答案为：10．
【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．
3.（2018·吉林长春·3 分）如图，在△ABC 中，AB=AC．以点 C 为圆心，以 CB 长为半径作
圆弧，交 AC 的延长线于点 D，连结 BD．若∠A=32°，则∠CDB 的大小为 37 度．
【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理在△ABC 中可求得∠ACB=∠ABC=74°，
根 据 等 腰 三 角 形 的 性 质 以 及 三 角 形 外 角 的 性 质 在 △BCD 中 可 求 得 ∠CDB=∠CBD=
∠ACB=37°．
【解答】解：∵AB=AC，∠A=32°，
∴∠ABC=∠ACB=74°，
又∵BC=DC，
∴∠CDB=∠CBD= ∠ACB=37°．
故答案为：37．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，掌握等边对等角是解题的关
键，注意三角形内角和定理的应用．
二.解答题
1.（2018·湖北江汉·5 分）图①、图②都是由边长为 1 的小菱形构成的网格，每个小菱形
的顶点称为格点．点 O，M，N，A，B 均在格点上，请仅用无刻度直尺在网格中完成下列画
图．
（1）在图①中，画出∠MON 的平分线 OP；
（2）在图②中，画一个 Rt△ABC，使点 C 在格点上．
【分析】（1）构造全等三角形，利用全等三角形的性质即可解决问题；
（2）利用菱形以及平行线的性质即可解决问题；
【解答】解：（1）如图所示，射线 OP 即为所求．3
（2）如图所示，点 C 即为所求；
2.（2018·湖北咸宁·8 分）已知：∠AOB．
求作：∠A'O'B'，使∠A'O′B'=∠AOB
（1）如图 1，以点 O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交 OA，OB 于点 C.D；
（2）如图 2，画一条射线 O′A′，以点 O′为圆心，OC 长为半径间弧，交 O′A′于点 C′；
（3）以点 C′为圆心，CD 长为半径画弧，与第 2 步中所而的弧交于点 D′；
（4）过点 D′画射线 O′B'，则∠A'O'B'=∠AOB．
根据以上作图步骤，请你证明∠A'O'B′=∠AOB．
【答案】证明见解析.
【解析】【分析】由基本作图得到OD=OC=O′D′=O′C′，CD=C′D′，则根据“SSS“可证
明△OCD≌△O′C′D′，然后利用全等三角形的性质可得到∠A'O'B′=∠AOB．
【详解】由作法得 OD=OC=O′D′=O′C′，CD=C′D′，
在△OCD 和△O′C′D′中
，
∴△OCD≌△O′C′D′，∴∠COD=∠C′O′D′，即∠A'O'B′=∠AOB．
【点睛】本题考查了基本作图——作一个角等于已知角，全等三角形的判定与性质，熟练掌
握基本作图的基本方法以及利用 SSS 判定三角形全等的方法是解题的关键.
3.（2018·江苏常州·10 分）（1）如图 1，已知 EK 垂直平分 BC，垂足为 D，AB 与 EK 相交
于点 F，连接 CF．求证：∠AFE=∠CFD．
（2）如图 2，在 Rt△GMN 中，∠M=90°，P 为 MN 的中点．
①用直尺和圆规在 GN 边上求作点 Q，使得∠GQM=∠PQN（保留作图痕迹，不要求写作法）；
②在①的条件下，如果∠G=60°，那么 Q 是 GN 的中点吗？为什么？4
【分析】（1）只要证明 FC=FB 即可解决问题；
（2）①作点 P 关于 GN 的对称点 P′，连接 P′M 交 GN 于 Q，连接 PQ，点 Q 即为所求．
②结论：Q 是 GN 的中点．想办法证明∠N=∠QMN=30°，∠G=∠GMQ=60°，可得 QM=QN，
QM=QG；
【解答】（1）证明：如图 1 中，
∵EK 垂直平分线段 BC，
∴FC=FB，
∴∠CFD=∠BFD，
∵∠BFD=∠AFE，
∴∠AFE=∠CFD．
（2）①作点 P 关于 GN 的对称点 P′，连接 P′M 交 GN 于 Q，连接 PQ，点 Q 即为所求．
②结论：Q 是 GN 的中点．
理由：设 PP′交 GN 于 K．
∵∠G=60°，∠GMN=90°，
∴∠N=30°，
∵PK⊥KN，
∴PK=KP′= PN，5
∴PP′=PN=PM，
∴∠P′=∠PMP′，
∵∠NPK=∠P′+∠PMP′=60°，
∴∠PMP′=30°，
∴∠N=∠QMN=30°，∠G=∠GMQ=60°，
∴QM=QN，QM=QG，
∴QG=QN，
∴Q 是 GN 的中点．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图、线段的垂直平分线的性质、直角三角形斜边中线的性质
等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
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