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怀柔区 2018—2019 学年度第一学期初三期末质量检测
数 学 试 卷 2019.1
一、选择题(本题共 16 分,每小题 2 分)
下列各题均有四个选项,符合题意的选项只有..一个
1.已知∠A 为锐角,且 sin A= 1
2
,那么∠A 等于
A.15° B.30° C.45° D.60°
2.如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,∠A = 50,则∠BOC 的大小为
A.40° B.30° C.80° D.100°
3.已知△ ABC ∽△ ' ' 'A B C ,如果它们的相似比为 2∶3,那么它们的面积比是
A.3:2 B. 2:3 C.4:9 D.9:4
4.下面是一个反比例函数的图象,它的表达式可能是
A. 2y x B. 4y x
C. 3y x
D. 1
2y x
5.正方形 ABCD 内接于 O ,若 O 的半径是 2 ,则正方形的边长是
A.1 B. 2 C. 2 D. 2 2
6.如图,线段 BD,CE 相交于点 A,DE∥BC.若 BC 3,DE 1.5,AD 2,
则 AB 的长为
A.2 B.3 C.4 D.5
第 6 题图 第 8 题图
第 2 题图 第 4 题图 第5题图第 2 页 共 12 页
7.若要得到函数 21 +2y x 的图象,只需将函数 2y x 的图象
A.先向右平移 1 个单位长度,再向上平移 2 个单位长度
B.先向左平移 1 个单位长度,再向上平移 2 个单位长度
C.先向左平移 1 个单位长度,再向下平移 2 个单位长度
D.先向右平移 1 个单位长度,再向下平移 2 个单位长度
8. 如图,一条抛物线与 x 轴相交于 M,N 两点(点 M 在点 N 的左侧),其顶点 P 在线段 AB 上移动,点 A,B 的坐
标分别为(-2,-3),(1,-3),点 N 的横坐标的最大值为 4,则点 M 的横坐标的最小值为
A.-1 B.-3 C.-5 D.-7
二、填空题(本题共 16 分,每小题 2 分)
9.二次函数 2 4 1y x x -2 图象的开口方向是__________.
10.Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=4,BC=3,则 tanA 的值为 .
11. 如图,为了测量某棵树的高度,小颖用长为 2 m 的竹竿做测量工具,移动竹竿,使竹竿、树的顶端的影子恰好落
在地面的同一点. 此时竹竿与这一点距离相距 6 m ,与树相距 15 m ,那么这棵树的高度为 .
12.已知一个扇形的半径是 1,圆心角是 120°,则这个扇形的弧长是 .
13.如图所示 的网格是正方形 网格,则 sin∠ BAC 与 sin ∠DAE 的大小关 系
是 .
14.写出抛物线 y=2(x-1)2 图象上一对对称点的坐标,这对对称点的坐标
可以是 和 .
15.如图,为测量河内小岛 B 到河边公路l 的距离,在l 上顺次取 A,C,D 三点,在 A 点测得∠BAD=30°,在 C 点测
得∠BCD=60°,又测得 AC=50 米,则小岛 B 到公路l 的距离为 米.
16.在平面直角坐标系 xOy 内有三点:(0,-2),(1,-1),(2.17,0.37).则过这三个点 (填“能”或“不能”)
画一个圆,理由是 .
三、解答题(本题共 68 分,第 17-22 题,每小题 5 分,第 23-26 题,每小题 6 分,第 27,28 题,每小题 7 分)解答应
写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17.已知: 5
3
a
b
. 求: a b
b
.
18.计算: 2cos30 -4sin 45 + 8 .
11 题图 13 题图第 3 页 共 12 页
19.已知二次函数 y = x2-2x-3.
(1)将 y = x2-2x-3 化成 y = a (x-h)2 + k 的形式;
(2)求该二次函数图象的顶点坐标.
20.如图,在△ABC 中,∠B 为锐角, AB 3 2 ,BC 7, sin 2
2B ,求 AC 的长.
21. 如图,在四边形 ABCD 中,AD∥BC,AB⊥BC,点 E 在 AB 上,AD=1,AE=2,
BC=3,BE=1.5.
求证:∠DEC=90°.
22.下面是小东设计的“在三角形一边上求作一个点,使这点和三角形的两个顶点构
成的三角形与原三角形相似”的尺规作图过程.
已知: △ABC.
求作: 在 BC 边上求作一点 P, 使得△PAC∽△ABC.
作法:如图,
①作线段 AC 的垂直平分线 GH;
②作线段 AB 的垂直平分线 EF,交 GH 于点 O;
③以点 O 为圆心,以 OA 为半径作圆;
④以点 C 为圆心,CA 为半径画弧,交⊙O 于点 D(与点 A 不重合);
⑤连接线段 AD 交 BC 于点 P.
所以点 P 就是所求作的点.第 4 页 共 12 页
根据小东设计的尺规作图过程,
(1)使用直尺和圆规,补全图形;(保留作图痕迹)
(2)完成下面的证明.
证明: ∵CD=AC,
∴CD = .
∴∠ =∠ .
又∵∠ =∠ ,
∴△PAC∽△ABC ( )(填推理的依据).
23.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 y=x+2
与双曲线 ky x
相交于点 A(m,3).
(1)求反比例函数的表达式;
(2)画出直线和双曲线的示意图;
(3)若 P 是坐标轴上一点,当 OA=PA 时.
直接写出点 P 的坐标.
24. 如图,AB 是 O 的直径,过点 B 作 O 的切线 BM,点 A,C,D 分别为 O 的三等分点,连接 AC,AD,DC,
延长 AD 交 BM 于点 E, CD 交 AB 于点 F.
(1)求证: / /CD BM ;
(2) 连接 OE,若 DE=m,求△OBE 的周长.第 5 页 共 12 页
25. 在如图所示的半圆中,P 是直径 AB 上一动点,过点 P 作 PC⊥AB 于点 P,交半圆于点 C,连接 AC.已知 AB=6cm,
设 A,P 两点间的距离为 xcm,P,C 两点间的距离为 y1cm,A,C 两点间的距离为 y2cm.
小聪根据学习函数的经验,分别对函数 y1,y2 随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究.
下面是小聪的探究过程,请补充完整:
(1)按照下表中自变量 x 的值进行取点、画图、测量,分别得到了 y1,y2 与 x 的几组对应值;
x/cm 0 1 2 3 4 5 6
y1/cm 0 2.24 2.83 2.83 2.24 0
y2/cm 0 2.45 3.46 4.24 4.90 5.48 6
(2)在同一平面直角坐标系 xOy 中,描出补全后的表中各组数值所对应的点(x,y1),
(x,y2),并画出函数 y1,y2 的图象;
(3)结合函数图象,解决问题:当△APC 有一个角是 30°时,AP 的长度约为 cm.第 6 页 共 12 页
26. 在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 2 2y ax ax c (其中 a 、c 为常数,且 a <0)与 x 轴交于点 A 3,0 ,与
y 轴交于点 B,此抛物线顶点 C 到 x 轴的距离为 4.
(1)求抛物线的表达式;
(2)求 CAB 的正切值;
(3)如果点 P 是 x 轴上的一点,且 ABP CAO ,直接写出点 P 的坐标.第 7 页 共 12 页
27. 在菱形 ABCD 中,∠ADC=60°,BD 是一条对角线,点 P 在边 CD 上(与点 C,D 不重合),连接 AP,平移 ADP ,
使点 D 移动到点 C,得到 BCQ ,在 BD 上取一点 H,使 HQ=HD,连接 HQ,AH,PH.
(1) 依题意补全图 1;
(2)判断 AH 与 PH 的数量关系及∠AHP 的度数,并加以证明;
(3)若 141AHQ ,菱形 ABCD 的边长为 1,请写出求 DP 长的思路. (可以不写出计算结果.........)
图 1 备用图第 8 页 共 12 页
28. 在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(x,0),B(x,y),若线段 AB 上存在一点 Q 满足 1
2
QA
QB
,则称点 Q 是线段
AB 的“倍分点”.
(1)若点 A(1,0),AB=3,点 Q 是线段 AB 的“倍分点”.
①求点 Q 的坐标;
②若点 A 关于直线 y= x 的对称点为 A′,当点 B 在第一象限时,求 'QA
QB
;
(2)⊙T 的圆心 T(0, t),半径为 2,点 Q 在直线 3
3y x 上,⊙T 上存在点 B,使点 Q 是线段 AB 的“倍分点”,
直接写出 t 的取值范围.第 9 页 共 12 页
2018-2019 学年度第一学期期末初三质量检测
数学试卷评分标准
一、选择题(本题共 16 分,每小题 2 分)
下列各题均有四个选项,符合题意的选项只有..一个
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D C B B C A C
二、填空题(本题共 16 分,每小题 2 分)
9.下 10. 3
4 11. m7 12.
3
2 13.sin∠BAC>sin∠DAE
14.(2,2),(0,2)(答案不唯一)15. 25 3 16.能,因为这三点不在一条直线上.
三、解答题(本题共 68 分,第 17-22 题,每小题 5 分,第 23-26 题,每小题 6 分,第 27,28 题,每小题 7 分)
17.解:∵ 5
3
a
b
,∴ 1a b a
b b
= 5
3 +1= 8
3 .………………………5 分
3 2=2 -4 +2 22 2
18.解:原式 ………………………3 分
= 3-2 2+2 2 ………………………4 分
= 3 ………………………5 分
19.解:(1)y=x2-2x-3
=x2-2x+1-1-3……………………………2 分
=(x-1)2-4.……………………3 分
(2)∵y=(x-1)2-4,
∴该二次函数图象的顶点坐标是(1,-4).………………………5 分
20.解:作 AD⊥BC 于点 D,∴∠ADB=∠ADC=90°.
∵sin 2
2B ,
∴∠B=∠BAD=45°.………………2 分
∵AB 3 2 ,
∴AD=BD=3.…………………………3 分
∵BC 7,∴DC=4.
∴在 Rt△ACD 中,
2 2 5AC AD DC .…………………………5 分第 10 页 共 12 页
21.(1)证明:∵AB⊥BC,∴∠B=90°.
∵AD∥BC,∴∠A=90°.∴∠A=∠B.………………2 分
∵AD=1,AE=2,BC=3,BE=1.5,
∴ 1 2
1.5 3
.∴ AD AE
BE BC
∴△ADE∽△BEC.∴∠3=∠2.………………3 分
∵∠1+∠3=90°,∴∠1+∠2=90°.
∴∠DEC=90°.………………5 分
22.(1)补全图形如图所示:………………2 分
(2) AC ,∠CAP=∠B,∠ACP=∠ACB,
有两组角对应相等的两个三角形相似.………………5 分
23.解:(1)∵直线 y=x+2 与双曲线 ky x
相交于点 A(m,3)
∴3=m+2,解得 m=1.
∴A(1,3)……………………………………1 分
把 A(1,3)代入 ky x
解得 k=3,
3y x
……………………………………2 分
(2)如图……………………………………4 分
(3)P(0,6)或 P(2,0) ……………………………………6 分
24.证明:(1)∵点 A、C、D 为 O 的三等分点,
∴ AD DC AC , ∴AD=DC=AC.
∵AB 是 O 的直径,
∴AB⊥CD.
∵过点 B 作 O 的切线 BM,
∴BE⊥AB.
∴ / /CD BM .…………………………3 分
(2) 连接 DB.
由双垂直图形容易得出∠DBE=30°,在 Rt△DBE 中,由 DE=m,解得 BE=2m,DB= 3 m.
在 Rt△ADB 中利用 30°角,解得 AB=2 3 m,OB= 3 m.…………………4 分
在 Rt△OBE 中,由勾股定理得出 OE= 7 m.………………………………5 分
④计算出△OBE 周长为 2m+ 3 m+ 7 m.………………………………6 分
25.(1)3.00…………………………………1 分第 11 页 共 12 页
(2)…………………………………………4 分
(3)1.50 或 4.50……………………………2 分
26.解:(1)由题意得,抛物线 2 2y ax ax c 的对称轴是直线 2 12
ax a
.………1 分
∵a<0,抛物线开口向下,又与 x 轴有交点,∴抛物线的顶点 C 在 x 轴的上方.
由于抛物线顶点 C 到 x 轴的距离为 4,因此顶点 C 的坐标是 1,4 .
可设此抛物线的表达式是 21 4y a x ,
由于此抛物线与 x 轴的交点 A 的坐标是 3,0 ,可得 1a .
因此,抛物线的表达式是 2 2 3y x x .………………………2 分
(2)点 B 的坐标是 0,3 .
联结 BC .∵ 2 18AB , 2 2BC , 2 20AC ,得 2 2 2AB BC AC .
∴△ ABC 为直角三角形, 90ABC .
所以 1tan 3
BCCAB AB
.
即 CAB 的正切值等于 1
3 .………………4 分
(3)点 p 的坐标是(1,0).………………6 分
27.(1)补全图形,如图所示.………………2 分
(2)AH 与 PH 的数量关系:AH=PH,∠AHP=120°.
证明:如图,由平移可知,PQ=DC.
∵四边形 ABCD 是菱形,∠ADC=60°,
∴AD=DC,∠ADB=∠BDQ=30°.∴AD=PQ.
∵HQ=HD,∴∠HQD=∠HDQ=30°.∴∠ADB=∠DQH,∠DHQ=120°.
∴△ADH≌△PQH.∴AH=PH,∠AHD=∠PHQ.∴∠AHD+∠DHP =∠PHQ+∠DHP.
∴∠AHP=∠DHQ. ∵∠DHQ=120°,∴∠AHP=120°.………………5 分
(3)求解思路如下:第 12 页 共 12 页
由∠AHQ=141°,∠BHQ=60°解得∠AHB=81°.
a.在△ABH 中,由∠AHB=81°,∠ABD=30°,解得∠BAH=69°.
b.在△AHP 中,由∠AHP=120°,AH=PH,解得∠PAH=30°.
c.在△ADB 中,由∠ADB=∠ABD= 30°,解得∠BAD=120°.
由 a、b、c 可得∠DAP=21°.
在△DAP 中,由∠ADP= 60°,∠DAP=21°,AD=1,可解△DAP,
从而求得 DP 长.…………………………………7 分
28.解:(1)∵A(1,0),AB=3
∴B(1,3)或 B(1,-3)
∵ 1
2
QA
QB
∴Q(1,1)或 Q(1,-1)………………3 分
(2)点 A(1,0)关于直线 y= x 的对称点为 A′(0,1)
∴QA =QA′
∴ QB
AQ
2
1
………………5 分
(3)-4≤t≤4………………7 分