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眉山一中办学共同体2020届第三期12月月考试题
数学（理科）
第I卷（选择题）
一、选择题：（共60分，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．经过点(，2)，倾斜角为60°的直线方程是（ C ）
A． B． C． D．
【解析】 由点斜式可知直线方程为 【答案】C
2．平面内动点到定点的距离之和为6，则动点的轨迹是（ C ）
A. 双曲线 B. 椭圆 C.线段 D.不存在
3．方程y＝ax＋表示的直线可能是( B )
4．已知a＝(－2,1,3)，b＝(－1,2,1)，若a⊥(a－λb)，则实数λ的值为( D )
A．－2 B．－ C. D．2
【解析】 由题意知a·(a－λb)＝0，即a2－λa·b＝0，所以14－7λ＝0，解得λ＝2. 答案 D
5．已知双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（ D ）
A. B. C. D.
6．设是三条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若，则；
②若，则；
③若是两条异面直线，且，则；
④若，则；
其中正确命题的序号是( A )
A．①③ B.①④ C.②③ D.②④
7．若动点分别在直线：和：上移动，则中点的轨迹方程为（ D ）
A． B． C． D．
8． 直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M、N分别是A1B1、A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为( C )
A. B. C. D.
解析 方法一 由于∠BCA＝90°，三棱柱为直三棱柱，且BC＝CA＝CC1，
可将三棱柱补成正方体．建立如图(1)所示空间直角坐标系．
设正方体棱长为2，则可得A(0,0,0)，B(2,2,0)，M(1,1,2)，N(0,1,2)，
∴＝(－1，－1,2)，＝(0,1,2)．
∴cos〈，〉＝＝＝＝.
方法二 通过平行关系找出两异面直线的夹角，再根据余弦定理求解．
如图(2)，取BC的中点D，连接MN，ND，AD，由于MNB1C1BD，因此有NDBM，则ND与NA所成的角即为异面直线BM与AN所成的角．设BC＝2，则BM＝ND＝，AN＝
，AD＝，
因此cos∠AND＝＝.
9．已知圆，点是圆内的一点，过点的圆的最短弦在直线上，直线的方程为，那么直线满足（ ）
A．且与圆相交 B.且与圆相切
C．且与圆相离 D.且与圆相离
10．已知直线y=﹣2x+1与椭圆交于A、B两点，且线段AB的中点在直线x﹣4y=0上，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【解答】设A（x1，y1），B（x2，y2），由A、B在椭圆上：+=1， +=1，
两式相减，得： + =0，
∴kAB = =﹣×，
由题意可知：，解得：，则线段AB的中点（，），则：x1+x2=，y1+y2=，
∴kAB =﹣ =﹣2， 即: =2， ∴a2=2b2，
∴椭圆的离心率e===，故选D．
11．如图所示，三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长为3，底面边长A1C1＝B1C1＝1，
且∠A1C1B1＝90°，D点在棱AA1上且AD＝2DA1，P点在棱C1C上，
则·的最小值为( B )
A. B．－ C. D．－
解析 建立如图所示的空间直角坐标系，则D(1,0,2)，B1(0,1,3)，
设P(0,0，z)，则＝(1,0,2－z)，＝(0,1,3－z)，
∴·＝0＋0＋(2－z)(3－z)＝(z－)2－，
故当z＝时，·取得最小值为－.
12．如图，是椭圆与双曲线的公共焦点，分别是在第二、四象限的公共点．若四边形为矩形，则的离心率是 ( D )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（共20分，每小题5分）
13．过点 且平行于直线 的直线方程为_________．
14．若变量满足约束条件则的最大值是__7__．
15．若直线y＝kx＋1与曲线x＝有两个不同的交点，则k的取值范围是_________．
解析：由x＝，得x2＋4y2＝1(x≥0)，
又∵直线y＝kx＋1过定点(0,1)，
故问题转化为过定点(0,1)的直线与椭圆在y轴右侧的部分有两个公共点，
当直线与椭圆(右侧部分)相切时，k＝－，则相交时k＜－.
答案：(－∞，－)
16．如图所示，已知二面角α—l—β的平面角为θ ，，AB⊥BC，BC⊥CD，AB在平面β内，BC在l上，CD在平面α内，若AB＝BC＝CD＝1，则AD的长为_________．
解析 因为＝＋＋，____
所以2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·
＝1＋1＋1＋2cos(π－θ)＝3－2cos θ.
所以||＝，即AD的长为.
三、解答题：(共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17.（本题满分10分）已知直角的顶点的坐标为，直角顶点的坐标为，顶点在x轴上．
（1）求边所在直线的方程； （2）求直线的斜边中线所在的直线的方程．
【答案】（1）； （2）直角的斜边中线的方程为．
（2）∵lBC: ，点在坐标轴上，
由，得：，即， 斜边的中点为，
故直角的斜边中线为（为坐标原点），
设直线，代入，得，
直角的斜边中线的方程为．
18．（本题满分12分）已知、分别是双曲线的左、右焦点，焦距为，渐近线方程为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过右焦点作倾斜角为的直线交双曲线于、两点，求线段的长度.
解：（1）由题意：；
（2）由双曲线的方程得：，，
所以直线AB的方程为，
将其代入双曲线方程消去y得，，解之得.
将代入①，得，故,，
故.
19．（本小题满分12分）已知线段AB的端点B的坐标，端点A在圆上运动，C为圆心．
（1）求线段AB的中点M的轨迹；
（2）过B点的直线l与圆有两个交点M、N. 当CMCN时，求l的斜率．
解：（1）设动点M，端点A，则有:
代入圆中得到：
（2） 设直线l的方程为：，
由CMCN知：点C到直线l的距离等于,
即:，
．
20.（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，动点到两点、的距离之和等于4．设点的轨迹为．
(1)求曲线C的方程； (2)设直线与交于两点，若，求的值.
解：（1）设P（x，y）,由椭圆定义可知:
点P的轨迹C是以、为焦点，a=2，c=的椭圆.
短半轴
故曲线C的方程为. 4分
（2）设，其坐标满足，
消去y并整理得:—3=0，(*) 6分
故
若即 则:
， 10分
化简得所以
满足(*)中，故为所求. 12分
21.（本题满分12分）如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD＝CD＝1，AA1＝AB＝2，E为棱AA1的中点．
(1)证明：B1C1⊥CE；
(2)求二面角B1－CE－C1的正弦值；
(1)证明 如图，以点A为原点，分别以AD，AA1，AB所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，依题意得A(0,0,0)，B(0,0,2)，C(1,0,1)，B1(0,2,2)，C1(1,2,1)，E(0,1,0)．
易得＝(1,0，－1)，＝(－1,1，－1)，于是·＝0，所以
B1C1⊥CE.
(2)解 ＝(1，－2，－1)．
设平面B1CE的法向量m＝(x，y，z)，
则即消去x，得y＋2z＝0，
不妨令z＝1，可得一个法向量为m＝(－3，－2,1)．
由(1)知，B1C1⊥CE，又CC1⊥B1C1，可得B1C1⊥平面CEC1，
故＝(1,0，－1)为平面CEC1的一个法向量．
于是cos〈m，〉＝＝＝－，从而sin〈m，〉＝，
所以二面角B1－CE－C1的正弦值为.
22.（本小题满分12分）已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为E，过F1与x轴垂直的直线与椭圆C相交，其中一个交点为M(，)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设过定点（1，0）的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，直线AE、BE的斜率为k1、k2（k1≠0，k2≠0），证明：k1•k2为定值．
【解】（1）由已知中过F1于x轴垂直的直线与椭圆C相交，其中一个交点为M（﹣，）．
可得：c=， =，a2﹣b2=c2，解得：a=2，b=1，
∴椭圆C的方程为：；
【证明】（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），
∵直线l过定点（1，0），设x=my+1，
由得：（m2+4）y2+2my﹣3=0， ∴y1+y2=，y1y2=，
∵右顶点为E（2，0），
∴k1•k2=• =
===﹣，
∴k1•k2为定值；
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