江苏省镇江市2019届高三第一次模拟考试数学Word版含答案.doc

‎2019届高三年级第一次模拟考试 数学 ‎(满分160分，考试时间120分钟)‎ 参考公式：‎ 锥体体积公式：V＝Sh，其中S为底面积，h为高．‎ 圆锥侧面积公式：S＝πrl，其中r为底面半径，l为母线长．‎ 一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．‎ ‎1. 已知集合A＝{0，1，2}，集合B＝{－1，0，2，3}，则A∩B＝________．‎ ‎2. 函数f(x)＝的定义域为________．‎ ‎3. 从1，2，3，4，5这5个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为6的概率是________．‎ ‎4. 根据如图所示的伪代码，最后输出的i的值为________．‎ ‎5. 已知一个圆锥的底面积为π，侧面积为2π，则该圆锥的体积为________．‎ ‎6. 抛物线y2＝8x的焦点到双曲线－＝1渐近线的距离为________．‎ ‎7. 设Sn是等比数列{an}的前n项的和，若＝－，则＝________．‎ ‎8. 已知函数f(x)＝－2x，则满足f(x2－5x)＋f(6)>0的实数x的取值范围是________．‎ ‎9. 若2cos 2α＝sin，α∈，则sin 2α＝________．‎ ‎10. 已知△ABC是边长为2的等边三角形，D，E分别是边AB，BC的中点，连结DE并延长到点F，使得DE＝3EF，则·的值为________．‎ ‎11. 已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，前n项和为Sn，且数列{}也为公差为d的等差数列，则d＝________．‎ ‎12. 已知x>0，y>0，x＋y＝＋，则x＋y的最小值为________．‎ ‎13. 已知圆O：x2＋y2＝1，圆M：(x－a)2＋(y－2)2＝2.若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得PA⊥PB，则实数a的取值范围为________．‎ ‎14. 设函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a，b，c∈R，a≠0)．若不等式xf′(x)－af(x)≤2对一切x∈R恒成立，则的取值范围为________．‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎15. (本小题满分14分)‎ 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且ccos B＋bcos C＝3acos B.‎ ‎(1) 求cos B的值；‎ ‎ (2) 若|－|＝2，△ABC的面积为2，求边b.‎ ‎16. (本小题满分14分)‎ 如图，在四棱锥VABCD中，底面ABCD是矩形，VD⊥平面ABCD，过AD的平面分别与VB，VC交于点M，N.‎ ‎(1) 求证：BC⊥平面VCD；‎ ‎ (2) 求证：AD∥MN.‎ ‎17. (本小题满分14分)‎ ‎ 某房地产商建有三栋楼宇A，B，C，三楼宇间的距离都为2千米，拟准备在此三楼宇围成的区域ABC外建第四栋楼宇D，规划要求楼宇D对楼宇B，C的视角为120°，如图所示，假设楼宇大小高度忽略不计．‎ ‎ (1) 求四栋楼宇围成的四边形区域ABDC面积的最大值；‎ ‎(2) 当楼宇D与楼宇B，C间距离相等时，拟在楼宇A，B间建休息亭E，在休息亭E和楼宇A，D间分别铺设鹅卵石路EA和防腐木路ED，如图．已知铺设鹅卵石路、防腐木路的单价分别为a，2a(单位：元/千米，a为常数)．记∠BDE＝θ，求铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用的最小值．‎ ‎18. (本小题满分16分)‎ ‎ 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的长轴长为4，两准线间距离为4.设A为椭圆C的左顶点，直线l过点D(1，0)，且与椭圆C相交于E，F两点．‎ ‎(1) 求椭圆C的方程；‎ ‎(2) 若△AEF的面积为，求直线l的方程；‎ ‎(3) 已知直线AE，AF分别交直线x＝3于点M，N，线段MN的中点为Q，设直线l和QD的斜率分别为k(k≠0)，k′.求证：k·k′为定值．‎ ‎19. (本小题满分16分)‎ ‎ 设数列{an}是各项均为正数的等比数列，a1＝2，a2a4＝64，数列{bn}满足：对任意的正整数n，都有a1b1＋a1b2＋…＋anbn＝(n－1)·2n＋1＋2.‎ ‎ (1) 分别求数列{an}与{bn}的通项公式；‎ ‎ (2) 若不等式λ…0，θ∈，n为正整数，cos θ＝，sin θ＝，记An＝(x2＋y2)ncos nθ，Bn＝(x2＋y2)nsin nθ.‎ ‎(1) 试用x，y分别表示A1，B1；‎ ‎(2) 用数学归纳法证明：对一切正整数n，An均为整数．‎ ‎2019届高三年级第一次模拟考试(二)(镇江)‎ 数学参考答案 ‎1. {0，2}　2. {x|x≤2}　3. 　4. 8　5. 6. 　7. 　8. (2，3)　9. －　10. 11. 　12. 3　13. [－2，2]　14. ‎15. (1) 由正弦定理＝＝，(1分)‎ 且ccos B＋bcos C＝3acos B，得sin Ccos B＋sin Bcos C＝3sin Acos B，(3分)‎ 则3sin Acos B＝sin(B＋C)＝sin (π－A)＝sin A，(5分)‎ 又A∈(0，π)，则sin A>0，(6分)‎ 则cos B＝.(7分)‎ ‎(2) 因为B∈(0，π)，则sin B>0，sin B＝＝＝.(9分)‎ 因为|－|＝||＝c＝2，(10分)‎ 又S＝acsin B＝a×2×＝2，‎ 解得a＝3.(12分)‎ 由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accos B＝9＋4－2×3×2×＝9，则b＝3.(14分)‎ 故边b的值为3.‎ ‎16. (1) 在四棱锥VABCD中，‎ 因为VD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，‎ 所以VD⊥BC.(3分)‎ 因为底面ABCD是矩形，所以BC⊥CD.(4分)‎ 又CD⊂平面VCD，VD⊂平面VCD，CD∩VD＝D，‎ 则BC⊥平面VCD.(7分)‎ ‎(2) 因为底面ABCD是矩形，所以AD∥BC，(8分)‎ 又AD⊄平面VBC，BC⊂平面VBC，‎ 则AD∥平面VBC，(11分)‎ 又平面ADNM∩平面VBC＝MN，AD⊂平面ADNM，‎ 则AD∥MN.(14分)‎ ‎17. (1) 因为三楼宇间的距离都为2千米，‎ 所以AB＝AC＝BC＝2，(1分)‎ 因为楼宇D对楼宇B，C的视角为120°，‎ 所以∠BDC＝120°，(2分)‎ 在△BDC中，因为BC2＝BD2＋DC2－2BD·DC·cos∠BDC，(3分)‎ 所以22＝BD2＋CD2－2BD·CD·cos 120o＝BD2＋CD2＋BD·CD≥2BD·CD＋BD·CD＝3BD·CD，‎ 则BD·CD≤，(4分)‎ 当且仅当BD＝CD时等号成立，‎ 此时∠DBC＝∠DCB＝30°，BD＝CD＝＝.‎ 区域最大面积S＝S△ABC＋S△BCD＝×2×2×sin 60°＋BD·CD·sin 120°＝(平方千米)．(7分)‎ ‎(或者：因为直角三角形△ABD，△ACD全等，区域最大面积S＝S△ABD＋S△ACD＝2S△ABD＝2×AB·BD＝(平方千米)．(7分))‎ ‎(2)设铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用为y元，‎ 在Rt△BDE中，由(1)知，∠BDE＝θ∈，(8分)‎ 则DE＝，BE＝tan θ，AE＝AB－BE＝2－tan θ，(9分)‎ 所以y＝2a·ED＋a·AE＝2a＋a·＝＋2a，θ∈.(10分)‎ 记f(θ)＝，令f′(θ)＝＝0，‎ 解得θ＝∈.(11分)‎ 当θ∈时，f′(θ)0，函数f(θ)为增函数．‎ 所以当θ＝时，f(θ)取最小值，‎ 此时ymin＝4a(元)．(12分)‎ 答：(1)四栋楼宇围成的四边形区域ABDC面积的最大值为平方千米；‎ ‎(2)铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用的最小值为4a元．(14分)‎ ‎18. (1)由长轴长2a＝4，准线间距离2×＝4，‎ 解得a＝2，c＝，(2分)‎ 则b2＝a2－c2＝2，‎ 即椭圆方程为＋＝1.①(4分)‎ ‎(2) 若直线l的斜率不存在，则EF＝，‎ ‎△AEF的面积S＝AD·EF＝不合题意；(5分)‎ 若直线l的斜率存在，设直线l：y＝k(x－1)，②代入①得，‎ ‎(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0，③‎ 因为点D(1，0)在椭圆内，所以Δ>0恒成立．‎ 设点E(x1，y1)，F(x2，y2)，‎ 则x1，2＝，④(6分)‎ EF＝＝|x1－x2|＝·.(7分)‎ 点A到直线l的距离d为，(8分)‎ 则△AEF的面积S＝d·EF＝···＝＝，(9分)‎ 解得k＝±1.‎ 综上，直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.(10分)‎ ‎(3)设直线AE：y＝(x＋2)，‎ 令x＝3，得点M，‎ 同理可得点N，‎ 所以点Q的坐标为.(12分)‎ 所以直线QD的斜率为k′＝，(13分)‎ 而＋＝＋＝‎ k.(14分)‎ 由(2)中③得，x1＋x2＝，x1x2＝，代入上式得，(15分)‎ ＋＝k＝‎ ＝－.‎ 则k′＝－，‎ 所以k·k′＝－为定值．(16分)‎ ‎19. (1) 设等比数列{an}的公比为q(q>0)，‎ 因为a1＝2，a2a4＝a1q·a1q3＝64，‎ 解得q＝2，则an＝2n.(1分)‎ 当n＝1时，a1b1＝2，则b1＝1，(2分)‎ 当n≥2时，a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝(n－1)·2n＋1＋2，①‎ a1b1＋a2b2＋…＋an－1bn－1＝(n－2)·2n＋2，②‎ 由①－②得，anbn＝n·2n，则bn＝n.‎ 综上，bn＝n.(4分)‎ ‎(2)不等式λ…0时，则不等式等价于…f(3)>…>f(n)>…，‎ 所以>f(n)max＝f(1)＝，‎ 则00，则函数f(x)的单调增区间为；(7分)‎ 当x∈时，f′(x)0时，函数f(x)的单调增区间为，单调减区间为.‎ ‎(3) 因为x1，x2分别是方程aln x－x＝0的两个根，即aln x1＝x1，aln x2＝x2.‎ 两式相减a(ln x2－ln x1)＝x2－x1，‎ 则a＝，(9分)‎ 则不等式a0)，可变为0在t∈(1，＋∞)上恒成立，(11分)‎ 令k(t)＝ln t－，则k′(t)＝＝，‎ ‎①当≤1，即m≥时，‎ k′(t)>0在(1，＋∞)上恒成立，‎ 则k(x)在(1，＋∞)上单调递增，‎ 又k(1)＝0，则k(t)>0在(1，＋∞)上恒成立；(13分)‎ ‎②当>1，即0