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高二年级期末考试
数 学
（考试时间120分钟，试卷满分160分)＜
注意事项:
1．答题前，请您将自己的座位号填写在答题卡上规定的地方，准考证号的条形码粘贴在答题卡上规定的地方．
2．答题时，请使用0.5毫米的黑色 中性（签字）笔或碳素笔书写，字迹工整，笔迹清楚．
3．请按照题号在答题卡上各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．请保持卡面清洁，不折叠，不破损．
参考公式：
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上。
1. 写出命题“”的否定： ▲ .
2. 某中学生一周内每日睡眠时间分别是6，6，7，x，7，8，9(单位：小时)，若该组数据的平均数为7，则该组数据的方差为 ▲ .
3.在平面直角坐标系中，已知点M（3，0）到抛物线准线的距离为4，则p的值为 ▲ .
4. 运行如图所示的伪代码，其结果为 ▲ .
5. 如图，圆和其内接正三角形，若在圆面上任意取一点，则点恰好落在三角形外的概率为 ▲ .
6. 如图是某算法流程图，则程序运行后输出的值为 ▲ ．
7. 一只口袋中装有形状、大小都相同的6只小球，其中有3只红球、2只黄球和1只蓝球.
若从中1次随机摸出2只球，则2只球颜色相同的概率为 ▲ .
8. 若曲线在处切线的斜率为2，则实数的值为 ▲ .
9. 已知双曲线C: 的一个焦点坐标为(2,0)，且它的一条渐近线与直线垂直，则双曲线C的标准方程为 ▲ .
10. 若从甲、乙、丙、丁4位同学中选出2名代表参加学校会议，则甲、乙两人至少有一人被选中的概率为 ▲ .
11. 若直线与方程所表示的曲线恰有两个不同的交点，则实数t的取值范围为 ▲ .
12. 已知椭圆的左焦点为F，左顶点为A，上顶点为B.若点F到直线AB的距离为，则该椭圆的离心率为 ▲ .
13. 在平面直角坐标系中，已知圆,圆.若圆C1上存在点P，过点P作圆C2的切线，切点为Q，且，则实数t的取值范围为 ▲ .
14. 已知函数 (a为常数，e为自然对数的底数)，若对任意的，恒成立，则实数a的取值范围为 ▲ .
二、解答题：本大题共6小题，15—17每题14分，18—20每题16分，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.命题：指数函数是减函数；命题，使关于的方程有实数解，其中.
(1)当a=0时，若为真命题，求的取值范围；
(2)当a=-2时，若且为假命题，求的取值范围.
16．随着“互联网＋交通”模式的迅猛发展，“共享助力单车”在很多城市相继出现．某“共享助力单车”运营公司为了解某地区用户对该公司所提供的服务的满意度，随机调查了100名用户，得到用户的满意度评分（满分10分），现将评分分为5组，如下表：
(1)求表格中的a，b，c的值；
(2)估计用户的满意度评分的平均数；
(3)若从这100名用户中随机抽取25人，估计满意度评分低于6分的人数为多少？
17．在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别是A（0，0），B（2，2），C，
记外接圆为圆M.
(1)求圆M的方程；
(2)在圆M上是否存在点P，使得？若存在，求点P的个数；若不存在，
说明理由。
18. 如图，已知A、B两个城镇相距20公里，设M是中点，在AB的中垂线上有一高铁站P，PM的距离为10公里.为方便居民出行，在线段PM上任取一点O（点O与、P、M不重合）建设交通枢纽，从高铁站铺设快速路到O处，再铺设快速路分别到A、B两处.因地质条件等各种因素，其中快速路PO造价为1.5百万元/公里，快速路OA造价为1百万元/公里，快速路OB造价为2百万元/公里，设,总造价为 (单位：百万元).
(1)求关于的函数关系式，并指出函数的定义域；
(2)求总造价的最小值，并求出此时的值.
19.如图，在平面直角坐标系中，点在椭圆M上，且
椭圆M的离心率为.
(1)求椭圆M的标准方程；
(2)记椭圆M的左、右顶点分别为A1、A2,点C是轴上任意一点(异于A1、A2，O点)，过点C的直线与椭圆M相交于E,F两点.
①若点C的坐标为，直线EF的斜率为-1，求的面积;
②若点C的坐标为(1,0)，连结A1E,A2F交于点G，记直线A1E,GC,A2F的斜率分别为，证明：是定值.
20.设函数，.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)求函数在上的最小值(e为自然对数的底数)；
(3)是否存在实数a，使得对任意正实数均成立？若存在，求出所有满足条件的实数的值；若不存在，请说明理由.
高二数学参考答案与评分标准
1. 2. 3.2 4.19 5. 6，41
7. 8. 9. 10. 11. 12.
13. 14.
15.解（1）当时，指数函数化为
因为指数函数是减函数，所以 ..................4分
即
所以实数的取值范围为.......................................6分
(2)当时，指数函数化为
若命题为真命题，则，即
所以为假命题时的取值范围是或......................8分
命题为真命题时，即关于的方程有实数解，
所以，解得，
所以命题为假命题时的取值范围为........................10分
因为且为假命题，所以为假命题或者为假命题................12分
所以实数满足或或，即或
所以实数的取值范围为..........................14分
16.解:(1)，，....................................3分
(2)...................9分
(3).....................................13分
答：(1)表格中的，，；
(2)估计用户的满意度评分的平均数为5.88；
(3)若从这100名用户中随机抽取25人，估计满意度评分低于6分的人数为13
....................................................................14分
17.解:(1)设外接圆的方程为,
将代入上述方程得： ............2分
解得 .............................................4分
则圆的方程为 ..................................6分
(2)设点的坐标为，
因为，所以
化简得：.................................................8分
即考察直线与圆的位置关系 .............................10分
点到直线的距离为 .................12分
所以直线与圆相交，故满足条件的点有两个。 . .........14分
18.解：(1),
，......................2分
....................................7分
（定义域不写扣1分）
(2)设
则
....................................................10分
令，又，所以.
当,,,单调递减；
当,,,单调递增；....................14分
所以的最小值为.......................................15分
答：的最小值为(百万元)，此时..........................16分
19.解:(1)因为，得，
所以椭圆的标准方程是.......................................2分
（2）设的坐标分别为，
①直线:代入椭圆方程得：，
所以 .........4分
所以
= ......................... .......................6分
②直线 ，联立方程组得：
则，
所以 .....................................8分
同理可得： ....................................9分
又因为三点共线，所以，即，将三点坐标
代入上式得：，化简得
整理得： ，因为，所以即..11分
又联立得 ......................12分
所以
所以...............................................14分
当时，点或，均满足
.
所以为定值......................................... ........ 16分
20.解:(1)因为函数，且，
所以，
所以....................................................1分
所以，
所以曲线在处的切线方程是，即....2分
(2)因为函数，所以
1°当时，，所以在上单调递增.
所以函数在上的最小值是............................4分
2°当时，令，即，所以
令，即，所以
（i）当，即时，在上单调递增，
所以在上的最小值是
（ii）当，即时，在上单调递减，在
上单调
递增，所以在上的最小值是
（iii）当，即时，在上单调递减，
所以在上的最小值是............................7分
综上所述，当时，在上的最小值是
当时，在上的最小值是
当时，在上的最小值是...................8分
(3)令，
则，且=0
若，即，得.................................9分
若时，，
令，则，则在上是增函数，
而，则有
当时，，当时，，
所以当时，有极小值，也是最小值，则有
成立........................................10分
当时， ，（），
则，
所以在内存在，使，即当时，有，
则在是减函数，则有，即这与
不符，
则不成立；……………………………………………………………………14分
当时，
，
则在是增函数，则有，即这与不符；
当时，则，则有
，这与不符合.
绽上所述，当且仅当时，在定义域上恒成立. ………………16分
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