安徽六校教育研究会2019届高三第二次联考
数学试题（文）
命题：安徽师范大学附属中学
考试时间：120 分钟；试卷分值：150 分
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合R，，则( )
A． B． C． D．
2．设，是的共轭复数，则( )
A． B． C．1 D．4
3． 钝角三角形ABC的面积是1，且AB= ，AC= 2，则( )
A． B． C．1 D．
4．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌” 就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，记这位公公的第个儿子的年龄为，则( )
A．23 B．32 C．35 D． 38
5．将函数的图象向左平移0 ＜2的单位后，得到函数y=sin的图象，则等于( )
A． B． C． D．
6．两个非零向量满足，则向量与夹角为( )
A. B. C. D.
7．某个微信群某次进行的抢红包活动中，群主所发红包的总金额为10元，被随机分配为2.49
元、1.32元、2.19元、0.63元、3.37元，共5份，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则
甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率是( )
A． B． C． D．
8．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A． B． C． D．
（第8题图） （第10题图）
9．已知双曲线的左焦点，过点作倾斜角为的直线与圆相交的弦长为，则双曲线的离心率为( )
A． B． C． D．
10．执行如图所示的程序框图，若输出的的值等于11，那么输入的N的值可以是( )
A．121 B．120 C．11 D．10
11．下列命题是假命题的是( )
A．某企业有职工150人，其中高级职称15人，中级职称45人，一般职员90人，若用分层抽样的方法抽出一个容量为30的样本，则一般职员应抽出18人
B．用独立性检验（2×2列联表法）来考察两个分类变量是否有关系时，算出的随机变量K2的值越大，说明“X与Y有关系”成立的可能性越大
C．已知向量，，则是的必要条件
D．若，则点的轨迹为抛物线
12．若对于函数图象上任意一点处的切线，在函数的图象上总存在一条切线，使得，则实数的取值范围为( )
A． B．
C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．设满足不等式组，则的所有值构成的集合中元素个数为____个．
B
C
D
A
P
14．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．今有抛物线（），如图，一平行轴的光线射向抛物线上的点P，反射后又射向抛物线上的点，再反射后又沿平行轴方向射出，且两平行光线间的最小距离为3，则抛物线的方程为 ．
（第14题图） （第16题图）
15．已知等比数列的首项为，公比为，前项和为，且对任意的*，都有恒成立，则的最小值为______________．
16．如图，在侧棱长为3的正三棱锥A-BCD中，每个侧面都是等腰直角三角形，在该三棱锥的表面上有一个动点P，且点P到点B的距离始终等于，则动点P在三棱锥表面形成的曲线的长度为_____________．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．(本小题满分12分)已知在锐角中，角，，的对边分别为，，，且．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）已知函数，且方程有解，求实数的取值范围．
18．(本小题满分12分)詹姆斯·哈登（James Harden）是美国NBA当红球星，自2012年10月加盟休斯顿火箭队以来，逐渐成长为球队的领袖．2017-18赛季哈登当选常规赛MVP(最有价值球员)．
年份
2012-13
2013-14[
2014-15
2015-16
2016-17
2017-18
年份代码t
1
2
3
4
5
6
常规赛场均得分y
25.9
25.4
27.4
29.0
29.1
30.4
（Ⅰ）根据表中数据，求y关于t的线性回归方程（，*）；
（Ⅱ）根据线性回归方程预测哈登在2019-20赛季常规赛场均得分．
【附】对于一组数据，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，． (参考数据:，计算结果保留小数点后一位）
19、(本小题满分12分)如图，ABCD为矩形，点A、E、B、F共面，且和均为等腰直角三角形，且90°．
（Ⅰ）若平面ABCD平面AEBF，证明平面
BCF平面ADF；
（Ⅱ）问在线段EC上是否存在一点G，使得
BG∥平面CDF，若存在，求出此时三棱锥G-ABE
与三棱锥G-ADF的体积之比．
20．(本小题满分12分)已知函数．
（Ⅰ）若f(x)在定义域内单调递增，求实数a的范围；
（Ⅱ）设函数，若至多有一个极值点，求a的取值集合．
21．(本小题满分12分)如图，C、D是离心率为的椭圆的左、右顶点，、是该椭圆的左、右焦点， A、B是直线4上两个动点，连接AD和BD，它们分别与椭圆交于点E、F两点，且线段EF恰好过椭圆的左焦点. 当时，点E恰为线段AD的中点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求证：以AB为直径的圆始终与直线EF相切．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，）. 以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系（且两种坐标系取相同的长度单位），曲线的极坐标方程为．
（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线与曲线C相交于A、B两点，若16，求角的取值范围．
23．已知关于的函数．
（Ⅰ）若对所有的R恒成立，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围．
安徽六校教育研究会2019届高三第二次联考数学试题（文）
参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
C
A
C
C
A
B
D
A
B
D
A
13、7 14、
15、 16、
17、解：（1）在中，由正弦定理得．……………（2分）
即，又角为三角形内角，，
所以，……………（4分）
又因为为三角形内角，所以．………………………………（6分）
（2）的图像关于对称，由，可得，，……………（9分）
又为锐角三角形，所以，……………（10分）
，，所以．………………………………（12分）
18、解：（1）由题意可知：，……………（1分）
，……………（2分）
，……………（4分）
∴，………………………………（6分）
又，
∴y关于t的线性回归方程为. （，）………（8分）
（2）由（1)可得，年份代码，……………（9分）
此时，所以，可预测哈登在2019-20赛季常规赛场均得分为32.4. ………………………………（12分）
19、证明：（1）∵ABCD为矩形，∴BC⊥AB，
又∵平面ABCD⊥平面AEBF，BC平面ABCD，平面ABCD∩平面AEBF=AB，
∴BC⊥平面AEBF， ……………（2分）
又∵AF平面AEBF，∴BC⊥AF. ……………（3分）
∵∠AFB=90°，即AF⊥BF，且BC、BF平面BCF，BC∩BF=B，
∴AF⊥平面BCF. ……………（5分）
又∵AF平面ADF，∴平面ADF平面BCF. ………………………………（6分）
（2）∵BC∥AD，AD平面ADF，∴BC∥平面ADF.
∵和均为等腰直角三角形，且90°，
∴∠FAB=∠ABE=45°，∴AF∥BE，又AF平面ADF，∴BE∥平面ADF，
∵BC∩BE=B，∴平面BCE∥平面ADF.
延长EB到点H，使得BH =AF，又BC AD，连CH、HF，易证ABHF是平行四边形，
∴HFABCD，∴HFDC是平行四边形，∴CH∥DF.
过点B作CH的平行线，交EC于点G，即BG∥CH∥DF，（DF平面CDF）
∴BG∥平面CDF，即此点G为所求的G点. ………………………………（9分）
又BE=，∴EG=，又，
，
故..………………………………（12分）
20、解：(1)由，……………（1分）
得， 令，.……………（3分）
得，当时，，当时，．故当时，．．………………………………（6分）
(2) ，．……………（7分）
当时，由且，故是唯一的极小值点；……………（9分）
令得.
当时，，恒成立，无极值点．故．………………………………（12分）
21. 解（1）∵当时，点E恰为线段AD的中点，
∴，又，联立解得：，，，……………（3分）
∴椭圆的方程为.………………………………（4分）
（2）设EF的方程为：，E（）、F（），
联立得：
∴，
∴……（*） ………………………………（6分）
又设，由A、E、D三点共线得，同理可得. ……………（8分）
∴∴. ………………………………（10分）
设AB中点为M，则M坐标为（）即（），
∴点M到直线EF的距离.
故以AB为直径的圆始终与直线EF相切. ………………………………（12分）
22. 解：（1）∵，∴，∴，……………（2分）
即. 故曲线C的直角坐标方程为. ………………………………（4分）
（2）将直线的参数方程代入曲线C中得 ，
∴，由题意，
……………（6分）
∴，……………（7分）
∴，∴且，
又， ∴角的取值范围为或
. ………………………………（10分）
23. 解：（1），∴或，
∴或.
故m的取值范围为. ………………………………（5分）
（2）∵的解集非空，∴，
∴，……………（7分）
①当时，，恒成立，即均符合题意；
②当时，，，
∴不等式可化为，解之得.
由①②得，实数的取值范围为. ………………………………（10分）
微信/支付宝扫码支付