麓山国际实验学校2016—2017学年新高二暑假作业测试
数学试卷
命题人：李 操
时量：120分钟 满分：150分
一．选择题（共15小题，每小题4分）
1．设集合A={x||x﹣a|＜1}，B={x|1＜x＜5，x∈R}，A∩B=∅，则实数a的取值范围是（ ）
A．{a|0≤a≤6} B．{a|a≤2或a≥4}
C．{a|a≤0或a≥6} D．{a|2≤a≤4}
2．设x1，x2分别是方程xax=1和xlogax=1的根（其中a＞1），则x1+2x2的取值范围（ ）
A．（2，+∞） B．[2，+∞） C．（3，+∞） D．[3，+∞）
3．已知函数（a＞0，且a≠1）的值域为R，则实数a的取值范围是（ ）
A．（0，1）∪（1，2] B．（2，+∞） C．（4，+∞） D．（0，1）∪（1，4]
4．在△ABC中，已知a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，S为△ABC的面积．若向量，满足，则tan=（ ）
A． B． C．2 D．4
5．已知A，B，C三点不在同一条直线上，O是平面ABC内一定点，P是△ABC内的一动点，若，λ∈[0，+∞），则直线AP一定过△ABC的（ ）
A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心
6．三棱柱的侧棱AA1和BB1上各有一动点P，Q满足A1P=BQ，过P、Q、C三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积比为（ ）
A．3：1 B．2：1 C．4：1 D．
7．完成下列两项调查：
①一项对“小彩旗春晚连转四小时”的调查中有10 000人认为这是成为优秀演员的必经之路，有9 000人认为太残酷，有1 000人认为无所谓．现要从中随机抽取200人做进一步调查．
②从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况，宜采用的抽样方法依次是（ ）
A．①简单随机抽样，②系统抽样 B．①分层抽样，②简单随机抽样
C．①系统抽样，②分层抽样 D．①②都用分层抽样
8．已知等比数列{an}的前n项和Sn=2n﹣1，则数列{an2}的前n项和Tn=（ ）
A．（2n﹣1）2 B．4n﹣1 C． D．
9．已知程序框图如图：如果上述程序运行的结果为S=132，那么判断框中应填入（ ）
A．k≤10 B．k≤9 C．k＜10 D．k＜9
10．若a＞b＞0，且ab=1，则下列不等式成立的是（ ）
A．a+＜＜log2（a+b）） B．＜log2（a+b）＜a+
C．a+＜log2（a+b）＜ D．log2（a+b））＜a+＜
11．设x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
12．已知直线l：（m+2）x+（m﹣1）y+4﹣4m=0上总存在点M，使得过M点作的圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0的两条切线互相垂直，则实数m的取值范围是（ ）
A．m≤1或m≥2 B．2≤m≤8 C．﹣2≤m≤10 D．m≤﹣2或m≥8
13．若α，β是两个不同平面，m，n是两条不同直线，则下列结论错误的是（ ）
A．如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等
B．如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β
C．如果α∥β，m⊂α，那么m∥β
D．如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n
14．一个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是全等的等腰三角形，则此三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B．9π C．4π D．π
15．已知定义在R上的函数f（x）是奇函数且满足f（﹣x）=f（x），f（﹣2）=﹣3，数列{an}满足a1=﹣1，且=2×+1，（其中Sn为{an}的前n项和）．则f（a5）+f（a6）=（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．3 D．2
二．填空题（共5小题，每小题5分）
16．已知sinα，cosα是关于x的方程x2﹣ax+a=0的两个根，则sin3α+cos3α= ．
17．已知两点A（﹣1，0），B（1，3），向量=（2k﹣1，2），若∥，则实数k的值为 ．
18．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1，AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成角的余弦值等于 ．
19．在平面直角坐标系xOy中，若直线l：x+2y=0与圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=5相切，且圆心C在直线l的上方，则ab最大值为 ．
20．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若△ABC为锐角三角形，且满足b2﹣a2=ac，则﹣的取值范围是 ．
三．解答题（共5小题）（12+12+13+14+14）
21．已知函数f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数
（1）求k的值；
（2）设g（x）=log4（a•2x﹣a），若函数f（x）与g（x
）的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．
22．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点，
（Ⅰ）证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；
（Ⅱ）若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥F﹣AEC的体积．
23．已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1+x2=3，x3﹣x2=2．
（Ⅰ）求数列{xn}的通项公式；
（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1（x1，1），P2（x2，2）…Pn+1（xn+1，n+1）得到折线P1 P2…Pn+1，求由该折线与直线y=0，x=x1，x=xn+1所围成的区域的面积Tn．
24．已知直线x﹣y+3=0与圆心为（3，4）的圆C相交，截得的弦长为2．
（1）求圆C的方程；
（2）设Q点的坐标为（2，3），且动点M到圆q的切线长与|MQ|的比值为常数k（k＞0）．若动点M的轨迹是一条直线，试确定相应的k值，并求出该直线的方程．
25．如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图
（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；
（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2017年我国生活垃圾无害化处理量．
参考数据：yi=9.32，tiyi=40.17，=0.55，≈2.646．
参考公式：相关系数r= 回归方程=+t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．
麓山国际实验学校2016—2017学年新高二暑假作业测试
数学试卷参考答案
1．解：由|x﹣a|＜1得﹣1＜x﹣a＜1，即a﹣1＜x＜a+1．如图
由图可知a+1≤1或a﹣1≥5，所以a≤0或a≥6．故选C
2．解：由题意可得，x1ax1=1，x2logax2=1；故ax1=，=x2，
又∵y=ax在（0，+∞）上单调递增，故=x2，x2＞1；故x1+2x2=+2x2，而y=+2x2在（1，+∞） 上是增函数，故+2x2＞3；故选C．
3．解：函数（a＞0，且a≠1）的值域为R⇔y=（a＞0，且a
≠1）的值域为（0，+∞）⇔y=x2﹣4x+a（a＞0，且a≠1）的值域为（0，+∞）⇔△=（﹣4）2﹣4a≥0，a＞0且a≠1．解得0＜a≤4且a≠1．故选D．
4．解：∵向量，，由，得S=（a+b）2﹣c2=2ab+a2+b2﹣c2，
即，也就是，∴．则．故选：D．
5．解：如图，取BC的中点P并连结AD，则+=、﹣=，
∵，λ∈[0，+∞），∴=λ，即A、P、D三点共线，
又∵AD为BC边上的中线，∴直线AP一定过△ABC的重心，故选：A．
6．解：设三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为V
∵侧棱AA1和BB1上各有一动点P，Q满足A1P=BQ，∴四边形PQBA与四边形PQB1A1的面积相等
故四棱椎C﹣PQBA的体积等于三棱锥C﹣ABA1的体积等于V则四棱椎C﹣PQB1A1的体积等于V
故过P、Q、C三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积比为2：1故选B
7．解：①一项对“小彩旗春晚连转四小时”的调查中有10 000人认为这是成为优秀演员的必经之路，有9 000人认为太残酷，有1 000人认为无所谓．现要从中随机抽取200人做进一步调查，此项抽查的总体数目较多，而且差异很大，符合分层抽样的适用范围；②从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况，此项抽查的总体个数不多，而且差异不大，符合简单随机抽样的适用范围．∴宜采用的抽样方法依次是：①分层抽样，②简单随机抽样．故选；B．
8．解：等比数列{an}的前n项和Sn=2n﹣1，∴a1=S1=1，a1+a2=22﹣1=3，解得a2=2．∴公比q=2．∴an=2n﹣1．∴=4n﹣1，则数列{an2}为等比数列，首项为1，公比为4．其前n项和Tn==．故选：C．
9．解：按照程序框图依次执行：k=12，s=1；进入循环，s=1×12=12，k=11；s=12×11=132， k=10，跳出循环，故k=10满足判断框内的条件，而k=11不满足，故判断框内的条件应为k≤10或k＜11故选A
10．解：∵a＞b＞0，且ab=1，∴可取a=2，b=．
则=4，==，log2（a+b）==∈（1，2），∴＜log2
（a+b）＜a+．
故选：B．
11．解：x，y满足约束条件的可行域如图：，则z=x+y经过可行域的A时，目标函数取得最大值，
由解得A（3，0），所以z=x+y 的最大值为：3．故选：D．
12．解：如图，设切点分别为A，B．连接AC，BC，MC，由∠AMB=∠MAC=∠MBC=90°及MA=MB知，四边形MACB为正方形，故，若直线l上总存在点M使得过点M的两条切线互相垂直，只需圆心（﹣1，2）到直线l的距离，即m2﹣8m﹣20≤0，∴﹣2≤m≤10，故选：C．
13．解：A、如果m∥n，α∥β，那么m，n与α所成的角和m，n与β所成的角均相等，故正确；B、如果m⊥n，m⊥α，n∥β，不能得出α⊥β，故错误；C、如果α∥β，m⊂α，那么m与β无公共点，则m∥β．故正确；D、如果n∥α，则存在直线l⊂α，使n∥l，由m⊥α，可得m⊥l，那么m⊥n．故正确，故选B．
14．解：由题意，三棱锥的一个侧面垂直于底面，底面是等腰直角三角形，顶点在底面中的射影是底面斜边的中点，设三棱锥外接球的半径为r，则r2=（1﹣r）2+（）2，∴r=，∴三棱锥外接球的表面积为4=，故选：A．
15．解：∵函数f（x）是奇函数∴f（﹣x）=﹣f（x）∵f（﹣x）=f（x），∴f（﹣x）=﹣f（﹣x）
∴f（3+x）==﹣f（）=﹣f[]=﹣f（﹣x）=f（x）
∴f（x）是以3为周期的周期函数．∵数列{an}满足a1=﹣1，且=2×+1，
∴a1=﹣1，且Sn=2an+n，∴a5=﹣31，a6=﹣63∴f（a5）+f（a6）=f（﹣31）+f（﹣63）=f（2）+f（0）=f（2）=﹣f（﹣2）=3故选C．
16．解：由题意利用韦达定理可得sinα+cosα=a，sinα•cosα=a，∴1+2a=a2，解得 a=1±．
再根据判别式△=a2﹣4a≥0，可得 a≤0，或 a≥4，∴a=1﹣．∴sin3α+cos3α=（sinα+cosα）（1﹣sinαcosα）=a（1﹣a）=a﹣a2 =（1﹣）﹣（1﹣）2=﹣2+，故答案为：．
17．解：两点A（﹣1，0），B（1，3），向量=（2k﹣1，2），=（2，3），∥，3（2k﹣1）=4，
解得：k=故答案为：．
18．解：取BC的中点G．连接GC1，则GC1∥FD1，再取GC的中点H，连接HE、OH，则
∵E是CC1的中点，∴GC1∥EH∴∠OEH为异面直线所成的角．
在△OEH中，OE=，HE=，OH=．由余弦定理，可得cos∠OEH===．
故答案为：
19．解：∵直线和圆相切，∴，∵圆心C在直线l的上方，∴a+2b＞0，从而a+2b=5，
∴ab，当且仅当a=2b，即a=，b=时取等号，故ab的最大值为，故答案为：
20．解：∵b2﹣a2=ac，∴由正弦定理得，sin2B﹣sin2A=sinAsinC，，
，由和差化积公式得cos2A﹣cos2B=﹣2sin（A+B）sin（A﹣B
），代入上式得，
﹣sin（A+B）sin（A﹣B）=sinAsinC，
∵sin（A+B）=sinC≠0，∴﹣sin（A﹣B）=sinA，即sin（B﹣A）=sinA，在△ABC中，B﹣A=A，得B=2A，则C=π﹣3A，∵△ABC为锐角三角形，∴，解得，则，
∴====，
由得，sinB∈（，1），则，∴取值范围是，
故答案为：．
21．解（1）∵函数f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R））是偶函数
∴f（﹣x）=log4（4﹣x+1）﹣kx）=log4（）﹣kx=log4（4x+1）+kx（k∈R）恒成立
∴﹣（k+1）=k，则k=．（5分）
（2）g（x）=log4（a•2x﹣a），函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，即方程f（x）=g（x）只有一个解由已知得log4（4x+1）x=log4（a•2x﹣a），
∴log4（）=log4（a•2x﹣a），方程等价于，
设2x=t，t＞0，则（a﹣1）t2﹣﹣1=0有一解，若a﹣1＞0，设h（t）=（a﹣1）t2﹣﹣1，
∵h（0）=﹣1＜0，∴恰好有一正解∴a＞1满足题意
若a﹣1=0，即a=1时，h（t）=﹣﹣1，由h（t）=0，得t=﹣＜0，不满足题意
若a﹣1＜0，即a＜1时，由，得a=﹣3或a=，
当a=﹣3时，t=满足题意
当a=时，t=﹣2（舍去）
综上所述实数a的取值范围是{a|a＞1或a=﹣3}．（12分）（少些a=-3扣2分）
22．（Ⅰ）证明：∵几何体是直棱柱，∴BB1⊥底面ABC，AE⊂底面ABC，∴AE⊥BB1，
∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E分别是BC的中点，
∴AE⊥BC，BC∩BB1=B，∴AE⊥平面B1BCC1，∵AE⊂平面AEF，∴平面AEF⊥平面B1BCC1；（6分）
（Ⅱ）解：取AB的中点G，连结A1G，CG，由（Ⅰ）可知CG⊥平面A1ABB1，
直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，就是∠CA1G，则A1G=CG=，∴AA1==，CF=．
三棱锥F﹣AEC的体积：×==．（12分）
23．解：（I）设数列{xn}的公比为q，则q＞0，由题意得，两式相比得：，解得q=2或q=﹣（舍），
∴x1=1，∴xn=2n﹣1．（6分）
（II）过P1，P2，P3，…，Pn向x轴作垂线，垂足为Q1，Q2，Q3，…，Qn，记梯形PnPn+1Qn+1Qn的面积为bn，
则bn==（2n+1）×2n﹣2，
∴Tn=3×2﹣1+5×20+7×21+…+（2n+1）×2n﹣2，①
∴2Tn=3×20+5×21+7×22+…+（2n+1）×2n﹣1，②
①﹣②得：﹣Tn=+（2+22+…+2n﹣1）﹣（2n+1）×2n﹣1=+﹣（2n+1）×2n﹣1=﹣+（1﹣2n）×2n﹣1．
∴Tn=．（13分）
24．解：（1）圆心C到直线l的距离为=，
∵截得的弦长为2，∴半径为2，∴圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4；（6分）
（2）设动点M（x， y），则由题意可得=k，即=k，
化简可得 （k2﹣1）•x2+（k2﹣1）•y2+（6﹣4k2）x+（8﹣6k2）y+13k2﹣21=0，
若动点M的轨迹方程是直线，则k2﹣1=0，∴k=1，直线的方程为x+y﹣4=0．（14分）
25．解：（Ⅰ）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，∵yi=9.32，tiyi=40.17，=0.55，
∴r≈≈0.993，
∵0.993＞0.75，
故y与t之间存在较强的正相关关系；（5分）
（Ⅱ）由≈1.331及（Ⅰ）得=≈0.103，=1.331﹣0.103×4=0.92．
所以，y关于t的回归方程为：=0.92+0.10t．（11分）
将2017年对应的t=10代入回归方程得：=0.92+0.10×10=1.92
所以预测2017年我国生活垃圾无害化处理量将约1.92亿吨．（14分）
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