高二质量调研试题
数 学 2019.01
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、准考证号、考试科目及试卷类型用中性笔和2B铅笔分别涂写在答题卡上；
2.将所有试题答案及解答过程一律填写在答题卡上.试题不交，只交答题卡.
第I卷（选择题共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知等比数列中，，，则该数列的公比为
A. 2 B. 1 C. D.
2. 已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为
A. B. C. D.
3. 在三棱柱中，是的中点，是的中点，
且，则
A. B.
C. D.
4. 已知点在函数的图象上，则数列的前项和的最小值为
A. B. C. D.
5.“”是“方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
高二数学试题第8页 共4页
6. 下列结论错误的是
A. 命题：“，使得”，则：“，”
B.“”是“”的充分不必要条件
C. 等比数列中的
D. 已知，，则的最小值为8.
7. 若不等式对一切恒成立，则的最小值为
A. B. C. D.
8. 设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所
示，则下列结论中一定成立的是．
A. 函数有极大值和极小值
B. 函数有极大值和极小值
C. 函数有极大值和极小值
D. 函数有极大值和极小值
9. 如图，长方体中，，，点分别是，
，的中点，则异面直线与所成的角是
A. B. C. D.
10. 已知，且，则的取值范围是
A. B. C. D.
11.已知函数的定义域为，并且满足,且当时其导
函数满足，若则
A. B.
C. D.
12.已知点，分别是双曲线的左、右焦点，过且垂直
于轴的直线与双曲线交于，两点，若，则该双曲线的离心率的
高二数学试题第8页 共4页
取值范围是
A. B. C. D.
第II卷（非选择题共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题纸给定的横线上.
13. 已知向量,若,则的值为_______．
14. 若“”是“”的必要不充分条件，则的取值范围是_______．
15. 若数列的前项和为，则数列的通项公式是=______．
16. 设点和点分别是函数和图象上的点，且，，若直线轴，则，两点间的距离的最小值为_______．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程
17.（本小题满分10分）
已知是首项为的等比数列的前项的和，成等差数列，
（1）求的值；
（2）若，求．
18.（本小题满分12分）
已知函数在点处的切线方程是．
（1）求实数的值；
（2）求函数在上的最大值和最小值（其中是自然对数的底数）。
19.（本小题满分12分）
如图所示，在底面为平行四边形的四棱锥中，,平面
，且，，点是的中点．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的大小．
高二数学试题第8页 共4页
20.（本小题满分12分）
如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且对角线过点，已知米，米．
（1）要使矩形的面积大于平方米，则的长应在什么范围内?
（2）当的长度是多少时，矩形花坛的面积最小?并求出最小值．
21.（本小题满分12分）
已知椭圆的右焦点F与抛物线焦点重合，且椭圆的离心率为，过轴正半轴一点 且斜率为的直线交椭圆于两点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）是否存在实数使以线段为直径的圆经过点，若存在，求出实数的值；若不存在说明理由.
22.（本小题满分12分）
已知函数 ，其中为自然对数的底数，
（1）判断函数的单调性，并说明理由；
（2）若，不等式恒成立，求的取值范围．
高二数学试题第8页 共4页
高二质量调研试题
数学试题参考答案 2019.01
一、选择题： CBABC DCDAA CB
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 14.或 15. 16.
三、解答题：本大题共6小题，共70分.
17.解：（1）由题意，，
显然， …………………………………………………1分
∴， ………………………3分
解得. ………………………4分
（2）， ……………5分
∴，……………6分
两式相减，得 ……………7分
……………8分
， …………………9分
∴. ………………………………………10分
18.解：（1）因为，，………1分
则，，
函数在点处的切线方程为：，…………2分
（直线过点，则）
由题意得，即，.………………………………………4分
（2）由（1）得，函数的定义域为，……5分
∵，∴，，
∴在上单调递减，在上单调递增．……7分
故在上单调递减，在上单调递增，……………9分
高二数学试题第8页 共4页
∴在上的最小值为．………………………10分
又，，且．
∴在上的最大值为.………………………11分
综上，在上的最大值为，最小值为．……………12分
19.解：（1）∵平面，平面，平面，
∴，，且．…………………………………1分
以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系；
则，，，∴………………3分
∴，，……………4分
设平面的法向量为，
则取，．………5分
又，∴．…………………………………………6分
∵，∴，…………………………………………7分
又平面，
因此平面．……………………………………………………8分
（如果直接证明，第一问4分，第二问8分）
（2）因为平面的一个法向量为，…………………9分
由（1）知：平面的法向量为， ……………………10分
设二面角的平面角为（为钝角），
则，得：．………………………11分
∴二面角的大小为．……………………………………12分
20.解：（1）设的长为米，则米，………1分
∵，∴，……………………3分
∴，……………………………………4分
由，得，
又，得，解得或，
即长的取值范围是．…………………………………6分
高二数学试题第8页 共4页
（2）矩形花坛的面积为：
，……………………9分
当且仅当，即时，矩形花坛的面积取得最小值．…11分
故的长为米时，矩形的面积最小，最小值为平方米．……12分
21. 解：（1）∵抛物线的焦点是，
∴，∴，又∵椭圆的离心率为，即，
∴，则
故椭圆的方程为. ……………………………………4分
（2）由题意得直线的方程为
由消去得,
由，解得.
又，∴.
设，，则,.
∴.………6分
∵,,……………………………………………7分
∴
.………………………………10分
若存在使以线段为直径的圆经过点，则必有，
即， ………………………11分
解得或.又，∴.
即存在使以线段为直径的圆经过点. ……………………………………12分
22.解：（1）由，得，……………………………1分
当时，，为上的减函数；…………………2分
当时，令，得，…………………………3分
若，则，此时为单调减函数；……………4分
若，则，此时为单调增函数．
综上所述，当时，为上的减函数；
当时，若，为单调减函数；
高二数学试题第8页 共4页
若，为单调增函数．……………………………………5分
（2）由题意，，不等式恒成立，等价于恒成立，
即，恒成立．……………………………………………7分
令，则问题等价于不小于函数在上的最大值．
由，函数在上单调递减，……8分
令，，．………………9分
∴在上也是减函数，…………………………………10分
∴在上也是减函数，
∴在上的最大值为．…………………11分
故实数的取值范围是．……………………………………12分
高二数学试题第8页 共4页
微信/支付宝扫码支付