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揭阳市2018-2019学年度高中毕业班学业水平考试
数学（文科）
本试卷共23题，共150分，共4页，考试结束后将本试卷和答题卡一并收回．
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚.
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.
3.请按照题目的顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试卷上答题无效.
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.
5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则
A． B． C． D．
2．复数的虚部是
A．3 B．2 C． D．
3．“”是“与的夹角为锐角”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知函数，，则
A．1 B． C． D．
5.记等比数列的前项和为，已知，且公比，则=
A．-2 B．2 C．-8 D．-2或-8
6. 若点在抛物线上，记抛物线的焦点为，则直线的斜率为
A． B． C． D．
7. 已知，且，则=
A． B． C． D．2
8. 右图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．
则下列结论中表述不正确的是
A.从2000年至2016年，该地区环境基础
设施投资额逐年增加；
B.2011年该地区环境基础设施的投资额比
2000年至2004年的投资总额还多；
C.2012年该地区基础设施的投资额比2004年的投资额翻了两番 ；
D.为了预测该地区2019年的环境基础设施投资额，根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为）建立了投资额y与时间变量t的线性回归模型，根据该模型预测该地区2019的环境基础设施投资额为256.5亿元.
9.函数的图象大致为
1
1
-1
-1
x
y
A．
1
1
-1
-1
x
y
B．
1
1
-1
-1
x
y
C．
1
1
-1
-1
x
y
D．
10．若满足约束条件，则的最小值为
A． -1 B．-2 C．1 D． 2
11．某几何体示意图的三视图如图示，已知其主视图的周长为8，
则该几何体侧面积的最大值为
A． B． C． D．
12．已知函数，其中是自然对数的底，
若，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知向量、，若，则 _____；
14．已知双曲线的一条渐近线方程为，
则该双曲线的离心率为____；
15. 如图，圆柱O1 O2 内接于球O，且圆柱的高等于球O的半径，则从
球O内任取一点，此点取自圆柱O1 O2 的概率为 ；
16. 已知数列满足，，则数列中最大项的值为 .
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题~第23题为选考题，考生根据要求做答．
（一）必考题：共60分
17.（12分）
在中，内角、、所对的边分别是、、，且，
（1）求；
（2）当函数取得最大值时，试判断的形状．
18.（12分）
如图，在三棱锥P-ABC中，正三角形PAC所在平面与等腰三角形
ABC所在平面互相垂直，AB＝BC，O是AC中点，OH⊥PC于H.
（1）证明：PC⊥平面BOH；
（2）若，求三棱锥A-BOH的体积．
19.（12分）
某公司培训员工某项技能，培训有如下两种方式，方式一：周一到周五每天培训1小时，周日测试；方式二：周六一天培训4小时，周日测试．公司有多个班组，每个班组60人，现任选两组(记为甲组、乙组)先培训；甲组选方式一，乙组选方式二，并记录每周培训后测试达标的人数如下表：
第一周
第二周
第三周
第四周
甲组
20
25
10
5
乙组
8
16
20
16
（1）用方式一与方式二进行培训，分别估计员工受训的平均时间（精确到0.1），并据此判断哪种培训方式效率更高？
（2）在甲乙两组中，从第三周培训后达标的员工中采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人中至少有1人来自甲组的概率.
20.（12分）
设椭圆的右顶点为A，下顶点为B，过A、O、B（O为坐标原点）三点的圆的圆心坐标为．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知点M在x轴正半轴上，过点B作BM的垂线与椭圆交于另一点N，若∠BMN=60°，求点M的坐标．
21.（12分）
已知函数.
（1）求函数的单调递减区间；
（2）求实数的值，使得是函数唯一的极值点．
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22. [选修4-4：坐标系与参数方程] （10分）
已知曲线C的参数方程为，（t为参数），以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，过极点的两射线、相互垂直，与曲线C分别相交于A、B两点（不同于点O），且的倾斜角为锐角.
（1）求曲线C和射线的极坐标方程；
（2）求△OAB的面积的最小值，并求此时的值．
23. [选修45：不等式选讲] (10分）
已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围．
揭阳市2018-2019学年度高中毕业班学业水平考试数学
（文科）参考答案及评分说明
一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四、只给整数分数．
一、选择题
题序
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
B
B
D
C
C
B
D
A
A
C
D
解析：
11. 三视图知，该几何体为圆锥，设底面的半径为r，母线的长为，则，
S侧=（当且仅当时“=”成立）
12. 由，知在R上单调递增，
且，即函数为奇函数，
故，
解得.
二、填空题
题序
13
14
15
16
答案
2
解析：16. 由得，
即数列是公差为8的等差数列，故，所以，
当时；当时，，数列递减，故最大项的值为.
三、解答题
17.解：（1）由正弦定理得，----------------------------------2分
又,
∴,即，------------------------------------------------------------------------4分
∵ ∴.-----------------------------------------------------------------------------6分
（2）解法一：∵ ∴,从而， ------------------------------7分
∴------------------------------------------8分
---------------------------------------------10分
∵,∴当时，函数取得最大值，
这时,即是直角三角形. -------------------------------------------12分
【解法二：∵ ∴, -----------------------------------------------------------------7分
∴
--------------------------------------------------------------------------------------10分
∵,∴当时，函数取得最大值，
∴是直角三角形.------------------- --------------------------------------------------------12分】
18.解：（1）∵AB＝BC，O是AC中点，
∴ BO⊥AC， -------------------------------------------------------------------------------------------1分
又平面PAC⊥平面ABC，
且平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，
∴ BO⊥平面PAC，----------------------------------------------3分
∴ BO⊥PC，------------------------------------------------------4分
又OH⊥PC，BO∩OH＝O，
∴ PC⊥平面BOH；---------------------------------------------6分
（2）解法1：∵△HAO与△HOC面积相等，
∴,
∵BO⊥平面PAC, ∴, -------------------------------------------------8分
∵,∠HOC=30° ∴,
∴,-----------------------------------------------------------------------10分
∴,即.----------------------------------------------------12分
【其它解法请参照给分】
19.解:（1）设甲乙两组员工受训的平均时间分别为、，则
（小时） ----------------------------------------2分
（小时）----------------------------------------4分
据此可估计用方式一与方式二培训，员工受训的平均时间分别为10小时和10.9小时，因，据此可判断培训方式一比方式二效率更高；---------------------------------------------6分
（2）从第三周培训后达标的员工中采用分层抽样的方法抽取6人,
则这6人中来自甲组的人数为：，--------------------------------------------------7分
来自乙组的人数为：，----------------------------------------------------------------8分
记来自甲组的2人为：；来自乙组的4人为：，则从这6人中随机抽取
2人的不同方法数有：，，，，共15种，----------------------------------------------10分
其中至少有1人来自甲组的有：，
共9种，故所求的概率.----------------------------------------------------------------------12分
20.解：（1）依题意知,,------------------------------------------------------------------1分
∵△AOB为直角三角形，∴过A、O、B三点的圆的圆心为斜边AB的中点，
∴，即，--------------------------------3分
∴椭圆的方程为.-----------------------------------------4分
（2）由（1）知，依题意知直线BN的斜率存在且小于0，
设直线BN的方程为，
则直线BM的方程为：，------------------------------------------------------------5分
由消去y得，----------------------------------------------6分
解得：，,---------------------------------------------------------------7分
∴
∴,------------------------------------------------8分
【注：学生直接代入弦长公式不扣分！】
在中，令得，即
∴，-----------------------------------------------------------------------------------9分
在Rt△MBN中，∵∠BMN=60°，∴,
即，整理得，
解得，∵，∴，------------------------------------------------------11分
∴点M的坐标为.---------------------------------------------------------------------------12分
21．解：（1），-----------------------------------------------------------------1分
令，得或，-----------------------------------------------------2分
由得，而不等式组的解集为-----------------------------3分
∴函数的单调递减区间为；----------------------------------------------------------4分
（2）依题意得，显然，---5分
记，，则，
当时，；当时，；
由题意知，为使是函数唯一的极值点，则必须在上恒成立；----------7分
只须，因，
①当时，，即函数在上单调递增，
而，与题意不符； --------------------------------------------------------8分
②当时，由，得，即在上单调递减，
由，得，即在上单调递增，
故， ------------------------------------------------------------------------10分
若，则，符合题意；------------------------------------11分
若，则，不合题意；
综上所述，．----------------------------------------------------------------------------------12分
【或由，及，得，
∴，解得． -----------------------------------------------------------------12分】
22. 解：（1）由曲线C的参数方程，得普通方程为，
由，，得，
所以曲线C的极坐标方程为，[或] --------------------------3分
的极坐标方程为；----------------------------------------------------------------------5分
（2）依题意设，则由（1）可得，
同理得，即，--------------------------------------------------7分
∴
∵∴，∴， ----------------9分
△OAB的面积的最小值为16，此时，
得，∴． -------------------------------------------------------------------------10分
23.解：（1）①当时，，
解得，-------------------------------------------------------------------------------------------1分
②当时，，
解得，--------------------------------------------------------------------------------------2分
③当时，
解得，---------------------------------------------------------------------------------------------3分
上知，不等式的解集为；-----------------------------------5分
（2）解法1：当时，，------------6分
设，则，恒成立，
只需，-------------------------------------------------------------------------------------8分
即，解得--------------------------------------------------------------------10分
【解法2：当时，，----------------------------------------------6分
，即，即---------------------------------7分
①当时，上式恒成立，；------------------------------------------8分
②当时，得恒成立，
只需，
综上知，．----------------------------------------------------------------10分】
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