2018高考数学考点突破——数列：等差数列及其前n项和Word版含解析.doc

等差数列及其前n项和 ‎【考点梳理】‎ ‎1．等差数列的有关概念 ‎(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．用符号表示为an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)．‎ ‎(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝，其中A叫做a，b的等差中项．‎ ‎2．等差数列的有关公式 ‎(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d，an＝am＋(n－m)d.‎ ‎(2)前n项和公式：Sn＝na1＋＝.‎ ‎3．等差数列的常用性质 ‎(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．‎ ‎(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.‎ ‎(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.‎ ‎(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．‎ ‎ (5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋‎2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．‎ ‎【考点突破】‎ 考点一、等差数列的基本运算 ‎【例1】　(1)已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和，若S8＝4S4，则a10＝(　　)‎ A.　　　　　　 B. C．10 D．12‎ ‎(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn，S11＝22，a4＝－12，若am＝30，则m＝(　　)‎ A．9 B．10‎ C．11 D．15‎ 答案] (1)B　(2)B 解析] (1)∵公差为1，‎ ‎∴S8＝‎8a1＋×1＝‎8a1＋28，S4＝‎4a1＋6.‎ ‎∵S8＝4S4，∴‎8a1＋28＝4(‎4a1＋6)，解得a1＝，‎ ‎∴a10＝a1＋9d＝＋9＝.‎ ‎(2)设等差数列{an}的公差为d，依题意解得 ‎∴am＝a1＋(m－1)d＝‎7m－40＝30，∴m＝10.‎ ‎【类题通法】‎ ‎1.等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知三求二，体现了方程思想的应用．‎ ‎2．数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法，称为基本量法．‎ ‎【对点训练】‎ ‎1. (1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足－＝1，则数列{an}的公差是(　　)‎ A. B．1‎ C．2 D．3‎ ‎(2)设Sn为等差数列{an}的前n项和，a12＝－8，S9＝－9，则S16＝__________.‎ 答案] (1)C　(2)－72‎ 解析] (1)∵Sn＝，∴＝，又－＝1，‎ 得－＝1，即a3－a2＝2，‎ ‎∴数列{an}的公差为2.‎ ‎(2)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，‎ 由已知，得解得 ‎∴S16＝16×3＋×(－1)＝－72.‎ 考点二、等差数列的判定与证明 ‎【例2】　已知数列{an}中，a1＝，an＝2－(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn＝(n∈N*)．‎ ‎(1)求证：数列{bn}是等差数列．‎ ‎(2)求数列{an}中的通项公式an.‎ 解析] (1)证明：因为an＝2－(n≥2，n∈N*)，‎ bn＝.‎ 所以n≥2时，bn－bn－1＝－ ‎＝－＝－＝1.‎ 又b1＝＝－，‎ 所以数列{bn}是以－为首项，1为公差的等差数列.‎ ‎(2)由(1)知，bn＝n－，‎ 则an＝1＋＝1＋.‎ ‎【类题通法】‎ ‎1.判断等差数列的解答题，常用定义法和等差中项法，而通项公式法和前n项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断．‎ ‎2．用定义证明等差数列时，常采用两个式子an＋1－an＝d和an－an－1＝d，但它们的意义不同，后者必须加上“n≥‎2”‎，否则n＝1时，a0无定义．‎ ‎【对点训练】‎ ‎2．(1)若{an}是公差为1的等差数列，则{a2n－1＋‎2a2n}是(　　) ‎ A．公差为3的等差数列 B．公差为4的等差数列 C．公差为6的等差数列 D．公差为9的等差数列 ‎(2)在数列{an}中，若a1＝1，a2＝，＝＋(n∈N*)，则该数列的通项为(　　)‎ A．an＝ B．an＝ C．an＝ D．an＝ 答案] (1)C　(2)A 解析]　 (1)∵a2n－1＋‎2a2n－(a2n－3＋‎2a2n－2)‎ ‎＝(a2n－1－a2n－3)＋2(a2n－a2n－2)‎ ‎＝2＋2×2＝6，‎ ‎∴{a2n－1＋‎2a2n}是公差为6的等差数列．‎ ‎(2) 由已知式＝＋可得－＝－，知是首项为＝1，公差为－＝2－1＝1的等差数列，所以＝n，即an＝.‎ 考点三、等差数列的性质与最值 ‎【例3】　(1)如图所示的数阵中，每行、每列的三个数均成等差数列，如果数阵中所有数之和等于63，那么a52＝(　　)‎ A．2　　 B．8‎ C．7 D．4‎ ‎(2)等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且a1>0，S3＝S11，则当n为多少时，Sn取得最大值．‎ 答案] (1)C (2) n＝7‎ 解析]　 (1) 法一：第一行三数成等差数列，由等差中项的性质有a41＋a42＋a43＝‎3a42，同理第二行也有a51＋a52＋a53＝‎3a52，第三行也有a61＋a62＋a63＝‎3a62，又每列也成等差数列，所以对于第二列，有a42＋a52＋a62＝‎3a52，所以a41＋a42＋a43＋a51＋a52＋a53＋a61＋a62＋a63＝‎3a42＋‎3a52＋‎3a62＝3×‎3a52＝63，所以a52＝7，故选C.‎ 法二：由于每行每列都成等差数列，不妨取特殊情况，即这9个数均相同，显然满足题意，所以有63÷9＝7，即a52＝7，故选C.‎ ‎(2)法一：由S3＝S11，可得‎3a1＋d＝‎11a1＋d，‎ 即d＝－a1.‎ 从而Sn＝n2＋n＝－(n－7)2＋a1，‎ 因为a1>0，所以－0，S3＝S11可知d0，a80，d