2018高考数学考点突破——数列：等比数列及其前n项和全国通用Word版含解析.doc

等比数列及其前n项和 ‎【考点梳理】‎ ‎1．等比数列的有关概念 ‎(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为＝q(n∈N*，q为非零常数)．‎ ‎(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即G是a与b的等比中项⇒a，G，b成等比数列⇒G2＝ab.‎ ‎2．等比数列的有关公式 ‎(1)通项公式：an＝a1qn－1.‎ ‎(2)前n项和公式：‎ Sn＝ ‎3．等比数列的常用性质 ‎(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N*)．‎ ‎(2)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝ap·aq＝a；‎ ‎(3)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，，{a}，{an·bn}，(λ≠0)仍然是等比数列；‎ ‎ (4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.‎ ‎【考点突破】‎ 考点一、等比数列的基本运算 ‎【例1】　(1)已知Sn是各项为正数的等比数列{an}的前n项和，a2·a4＝16，S3＝7，则a8＝(　　)‎ A．32　　　　　 B．64‎ C．128 D．256‎ ‎(2)已知数列{an}是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a‎2a3＝8，则数列{an}的前n项和等于__________．‎ 答案] (1)C　(2)2n－1‎ 解析] (1)∵{an}为等比数列，a2·a4＝16，∴a3＝4.∵a3＝a1q2＝4，S3＝7，∴S2＝＝3，∴(1－q2)＝3(1－q)，即3q2－4q－4＝0，‎ ‎∴q＝－或q＝2.∵an>0，∴q＝2，则a1＝1，∴a8＝27＝128.‎ ‎(2)设等比数列的公比为q，则有 解得或 又{an}为递增数列，∴∴Sn＝＝2n－1.‎ ‎【类题通法】‎ ‎1.等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，体现了方程思想的应用．‎ ‎2．在使用等比数列的前n项和公式时，应根据公比q的情况进行分类讨论，在运算过程中，应善于运用整体代换思想简化运算．‎ ‎【对点训练】‎ ‎1. (1)在等比数列{an}中，a3＝7，前3项和S3＝21，则公比q的值为(　　)‎ A．1 B．－ C．1或－ D．－1或 ‎(2)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若‎27a3－a6＝0，则＝__________.‎ 答案] (1)C　(2)28‎ 解析] (1)根据已知条件得 ‎②÷①得＝3.‎ 整理得2q2－q－1＝0，‎ 解得q＝1或q＝－.‎ ‎(2)由题可知{an}为等比数列，设首项为a1，公比为q，所以a3＝a1q2，a6＝a1q5，所以‎27a1q2＝a1q5，所以q＝3，由Sn＝，得S6＝，S3＝，所以＝·＝28.‎ 考点二、等比数列的判定与证明 ‎【例2】　已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.‎ ‎(1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式；‎ ‎(2)若S5＝，求λ.‎ 解析] (1)证明：由题意得a1＝S1＝1＋λa1，‎ 故λ≠1，a1＝，故a1≠0.‎ 由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1得an＋1＝λan＋1－λan，‎ 即an＋1(λ－1)＝λan.‎ 由a1≠0，λ≠0得an≠0，所以＝.‎ 因此{an}是首项为，公比为的等比数列，‎ 于是an＝n－1.‎ ‎(2)由(1)得Sn＝1－n.‎ 由S5＝得1－5＝，即5＝.‎ 解得λ＝－1.‎ ‎【类题通法】‎ 等比数列的判定方法 ‎(1)定义法：若＝q(q为非零常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．‎ ‎(2)等比中项法：若数列{an}中，an≠0，且a＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列．‎ ‎(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．‎ ‎【对点训练】‎ ‎2．已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n.‎ ‎(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；‎ ‎(2)求数列{bn}的通项公式．‎ 解析]　 (1)证明：∵an＋Sn＝n，①‎ ‎∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1，②‎ ‎②－①得an＋1－an＋an＋1＝1，即2an＋1＝an＋1，‎ ‎∴2(an＋1－1)＝an－1，即2cn＋1＝cn.‎ 由a1＋S1＝1得a1＝，∴c1＝a1－1＝－，‎ 从而cn≠0，∴＝.‎ ‎∴数列{cn}是以－为首项，为公比的等比数列.‎ ‎(2)由(1)知cn＝－×n－1＝－n，‎ 又cn＝an－1，∴an＝cn＋1＝1－n，‎ ‎∴当n≥2时，‎ bn＝an－an－1＝1－n－＝n.‎ 又b1＝a1＝，适合上式，故bn＝n.‎ 考点三、等比数列的性质及应用 ‎【例3】　(1)在各项均为正数的等比数列{an}中，若am＋1·am－1＝2am(m≥2)，数列{an}的前n项积为Tn，若T‎2m－1＝512，则m的值为(　　)‎ A．4 B．5‎ C．6 D．7‎ ‎(2)设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q