2018高考数学考点突破——集合与常用逻辑用语：命题及其关系、充分条件与必要条件全国通用Word版含解析.doc

命题及其关系、充分条件与必要条件 ‎【考点梳理】‎ ‎1．命题 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．‎ ‎2．四种命题及其相互关系 ‎(1)四种命题间的相互关系 图121‎ ‎(2)四种命题的真假关系 ‎①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；‎ ‎②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．‎ ‎3．充分条件与必要条件 ‎(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．‎ ‎(2)如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．‎ ‎(3)如果pq，且qp，则p是q的既不充分也不必要条件．‎ ‎4．集合与充要条件 设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，则有：‎ ‎(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件．‎ ‎(2)若B⊆A，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件．‎ ‎ (3)若A＝B，则p是q的充要条件．‎ ‎【考点突破】‎ 考点一、四种命题的关系及其真假判断 ‎【例1】　(1)命题“若x2－3x－4＝0，则x＝‎4”‎的逆否命题及其真假性为 ‎(　　)‎ A．“若x＝4，则x2－3x－4＝‎0”‎为真命题 B．“若x≠4，则x2－3x－4≠‎0”‎为真命题 C．“若x≠4，则x2－3x－4≠‎0”‎为假命题 D．“若x＝4，则x2－3x－4＝‎0”‎为假命题 ‎(2)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是(　　)‎ A．真，假，真　　　　 B．假，假，真 C．真，真，假 D．假，假，假 答案] (1)C　(2)B 解析] (1)根据逆否命题的定义可以排除A，D，由x2－3x－4＝0，得x＝4或－1，所以原命题为假命题，所以其逆否命题也是假命题．‎ ‎(2)由共轭复数的性质，原命题为真命题，因此其逆否命题也为真命题．‎ 当z1＝1＋2i，z2＝2＋i时，显然|z1|＝|z2|，但z1与z2不共轭，所以逆命题为假命题，从而它的否命题亦为假命题．‎ ‎【类题通法】‎ ‎1.已知原命题写出该命题的其他命题时，先要分清命题的条件与结论．特别注意的是，如果命题不是“若p，则q”形式的命题，需先改写为“若p，则q”的形式．‎ ‎2．给出一个命题，要判断它是真命题，需经过严格的推理证明；而要说明它是假命题，只需举一反例即可．‎ ‎3．由于原命题与其逆否命题的真假性相同，所以有时可以利用这种等价性间接地证明命题的真假．‎ ‎【对点训练】‎ ‎1. 原命题为“若＜an，n∈N*，则{an}为递减数列”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是(　　)‎ A．真，真，真 B．假，假，真 C．真，真，假 D．假，假，假 答案] A 解析] 由＜an，得an＋an＋1＜2an，即an＋1＜an.‎ 所以当＜an时，必有an＋1＜an，‎ 则{an}是递减数列．‎ 反之，若{an}是递减数列，必有an＋1＜an，‎ 从而有＜an.‎ 所以原命题及其逆命题均为真命题，从而其否命题及其逆否命题也均是真命题．‎ 考点二、充分条件与必要条件的判断 ‎【例2】　(1)函数f(x)在x＝x0处导数存在．若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的极值点，则(　　)‎ A．p是q的充分必要条件 B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件 C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件 D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件 ‎(2)设x∈R，则“1＜x＜‎2”‎是“|x－2|＜‎1”‎的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案] (1)C　(2)A 解析] (1)当f′(x0)＝0时，x＝x0不一定是f(x)的极值点，‎ 比如，y＝x3在x＝0时，f′(0)＝0，但在x＝0的左右两侧f′(x)的符号相同，因而x＝0不是y＝x3的极值点．‎ 由极值的定义知，x＝x0是f(x)的极值点必有f′(x0)＝0.‎ 综上知，p是q的必要条件，但不是充分条件．‎ ‎(2)|x－2|＜1⇔1＜x＜3.‎ 由于{x|1＜x＜2}是{x|1＜x＜3}的真子集，‎ 所以“1＜x＜‎2”‎是“|x－2|＜‎1”‎的充分不必要条件．‎ ‎【类题通法】‎ 充分条件、必要条件的三种判断方法 ‎(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．‎ ‎(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母的范围的推断问题．‎ ‎(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题．‎ ‎【对点训练】‎ ‎2．设集合M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝‎1”‎是“N⊆M”的(　　) ‎ A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案] B 解析]　若a＝1，则集合N＝{1}，此时满足N⊆M.若N⊆M，则a2＝1或2，所以a＝±1或a＝±.故“a＝‎1”‎是“N⊆M”的充分不必要条件．‎ 考点三、充分条件、必要条件的应用 ‎【例3】　已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围．‎ 解析]　由x2－8x－20≤0得 ‎－2≤x≤10，‎ ‎∴P＝{x|－2≤x≤10}.‎ ‎∵x∈P是x∈S的必要条件，‎ 则S⊆P，‎ ‎∴∴0≤m≤3.‎ 综上，可知0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件.‎ ‎【类题通法】‎ 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：‎ ‎(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．‎ ‎(2)要注意区间端点值的检验．‎ ‎【对点训练】‎ ‎3．(1)已知命题p：a≤x≤a＋1，命题q：x2－4x