江苏省常州市2019届高三上学期期末考试数学试题Word版含答案.doc

江苏省常州市2019届高三上学期期末考试 数 学 参考公式：样本数据的方差，其中.‎ 柱体的体积，其中为柱体的底面积，为高．‎ Read x If x≥1 Then y←x2－2x－2‎ Else y← End If Print y 一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.‎ ‎1.已知集合，则________.‎ ‎2.已知复数满足（是虚数单位），则复数________.‎ 3. 已知5位裁判给某运动员打出的分数为，‎ 且这5个分数的平均数为，则实数________.‎ 4. 一个算法的伪代码如右图所示，执行此算法，若输出的值为，‎ 则输入的实数的值为________.‎ ‎ (第4题)‎ ‎5. 函数的定义域为________.‎ ‎6. 某校开设5门不同的选修课程，其中3门理科类和2门文科类，某同学从中选修2门课程，则该同学恰好选中1文1理的概率为________.‎ ‎（第8题）‎ ‎7. 已知双曲线的离心率为2，直线经过双的焦点，则双曲线的渐近线方程为________.‎ 8. 已知圆锥，过的中点作平行于圆锥底面的截面，以截面为上底面作圆 柱，圆柱的下底面落在圆锥的底面上（如图），则圆柱的体积与圆锥的 体积的比值为________.‎ ‎9. 已知正数满足，则的最小值为________.‎ 10. 若直线与曲线（是自然对数的底数）相切，则实数 ‎________.‎ 10. 已知函数是偶函数，点是函数图象 的对称中心，则最小值为________.‎ 11. 平面内不共线的三点，满足，点为线段的中点，的平分线交线段于，若|，则________.‎ 12. 过原点的直线与圆交于两点，点是该圆与轴负半轴的交点，以为直径的圆与直线有异于的交点，且直线与直线的斜率之积等于，那么直线的方程为________.‎ 13. 数列满足，且数列的前项和为，已知数列的前项和为1，那么数列的首项________.‎ 二、 解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15. (本小题满分14分)如图，在正三棱柱ABCA1B‎1C1中，点M，N分别是AB，CC1的中点．‎ ‎(1) 求证：CM∥平面AB1N；‎ ‎(2) 求证：平面A1BN⊥平面AA1B1B.‎ ‎(第15题)‎ ‎16. (本小题满分14分)已知在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且b2－bcsinA＋c2＝a2.‎ ‎(1) 求角A的大小；‎ ‎(2) 若tanBtanC＝3，且a＝2，求△ABC的周长．‎ ‎17. (本小题满分14分)已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆C1：＋＝1的焦点在椭圆C2：＋＝1上，其中a＞b＞0，且点是椭圆C1，C2位于第一象限的交点．‎ ‎(1) 求椭圆C1，C2的标准方程；‎ ‎(2) 过y轴上一点P的直线l与椭圆C2相切，与椭圆C1交于点A，B，已知＝，求直线l的斜率．‎ ‎18. (本小题满分16分)某公园要设计如图(1)所示的景观窗格(其结构可以看成矩形在四个角处对称地截去四个全等三角形所得，如图(2)中所示的多边形ABCDEFGH)，整体设计方案要求：内部井字形的两根水平横轴AF＝BE＝‎1.6 m，两根竖轴CH＝DG＝‎1.2 m，记景观窗格的外框(图(2)中实线部分，轴和边框的粗细忽略不计)总长度为l m.‎ ‎(1) 若∠ABC＝，且两根横轴之间的距离为‎0.6 m，求景观窗格的外框总长度；‎ ‎(2) 由于预算经费限制，景观窗格的外框总长度不超过‎5 m，当景观窗格的面积(多边形ABCDEFGH的面积)最大时，给出此景观窗格的设计方案中∠ABC的大小与BC的长度．‎ 图(1) 图(2)‎ ‎(第18题)‎ ‎19. (本小题满分16分)已知在数列{an}中，a1＝1，且an＋1＋3an＋4＝0，n∈N*.‎ ‎(1) 求证：{an＋1}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2) 数列{an}中是否存在不同的三项按照一定顺序重新排列后，构成等差数列？若存在，求出满足条件的项；若不存在，请说明理由．‎ ‎20. (本小题满分16分)已知函数m(x)＝x2，函数n(x)＝aln x＋1(a∈R)．‎ ‎(1) 若a＝2，求曲线y＝n(x)在点(1，n(1))处的切线方程；‎ ‎(2) 若函数f(x)＝m(x)－n(x)有且只有一个零点，求实数a的取值范围；‎ ‎(3) 若函数g(x)＝n(x)－1＋ex－ex≥0对x∈[1，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围．(e是自然对数的底数，e＝2.718 28…)‎ 江苏省常州市2019届高三上学期期末考试 数学参考答案及评分标准 ‎1. {1}　2. －i　3. 9.5　4. 3　5. (0，e]　6. ‎7. y＝±x　8. 　9. 4　10. e2‎ ‎11. 　12. 　13. y＝±x　14. ‎(第15题)‎ ‎15. (1) 令AB1交A1B于点O，连接OM，ON，在正三棱柱ABCA1B‎1C1中，BB1∥CC1，BB1＝CC1，且四边形AA1B1B是平行四边形，所以O为AB1的中点，又因为M为AB的中点，所以OM∥BB1，且OM＝BB1.因为N为CC1的中点，CN＝CC1，所以OM＝CN，且OM∥CN，所以四边形CMON是平行四边形，(5分)‎ 所以CM∥ON，又ON⊂平面AB1N，CM⊄平面AB1N，所以CM∥平面AB1N.(7分)‎ ‎(2) 在正三棱柱ABCA1B‎1C1中，BB1⊥平面ABC，CM⊂平面ABC，所以BB1⊥CM.(9分)‎ 因为CA＝CB，M为AB的中点，所以CM⊥AB，又由(1)知CM∥ON，所以ON⊥AB，ON⊥BB1.又因为AB∩BB1＝B，AB，BB1⊂平面AA1B1B，所以ON⊥平面AA1B1B.(12分)‎ 又ON⊂平面A1BN，所以平面A1BN⊥平面AA1B1B.(14分)‎ ‎16. (1) 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，又b2－bcsinA＋c2＝a2，‎ 所以b2－2bccos A＋c2＝b2－bcsinA＋c2，即2bccos A＝bcsin A，(3分)‎ 从而sinA＝cosA，若cosA＝0，则sinA＝0，与sin‎2A＋cos‎2A＝1矛盾，所以cos A≠0，‎ 所以tanA＝.又A∈(0，π)，所以A＝.(7分)‎ ‎(2) ＝tan(B＋C)＝tan(π－A)＝tan＝－.(9分)‎ 又tanBtan C＝3，所以tanB＋tanC＝－×(－2)＝2，解得tanB＝tanC＝.(11分)‎ 又B，C∈(0，π)，所以B＝C＝.又因为A＝，所以△ABC是正三角形，‎ 由a＝2，得△ABC的周长为6.(14分)‎ ‎17. (1) 椭圆C1：＋＝1的焦点坐标为(±c，0)，代入椭圆C2的方程有＝1，‎ 点P的坐标代入椭圆C1，C2的方程有C1：＋＝1，‎ 所以解得a2＝2，b2＝c2＝1，(3分)‎ 所以椭圆C1，C2的标准方程分别为＋y2＝1，＋x2＝1.(5分)‎ ‎(2) 由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0，m)，‎ 由消去y，得＋x2＝1，‎ 即x2＋kmx＋－1＝0，‎ Δ＝k‎2m2‎－4＝0，‎ 即k2＋2－m2＝0.(7分)‎ 由消去y，得＋(kx＋m)2＝1，‎ 即x2＋2kmx＋m2－1＝0，‎ 因为直线l与椭圆C1相交，有Δ＝4k‎2m2‎－4(m2－1)＝4>0(*)，‎ x1，2＝.(9分)‎ 因为＝，即(x1，y1－m)＝(x2，y2－m)，则5x1＝3x2，所以5＝‎ ‎3或 ‎5＝‎ ‎3化简得，km＝‎ ‎4或km＝－4，‎ 即k‎2m2‎＝16.(12分)‎ 又因为k2＋2－m2＝0，解得或符合(*)式，所以直线l的斜率为±或±2.(14分)‎ ‎18. (1) 记CH与AF，BE的交点为M，N，‎ 由∠ABC＝，得在△BCN中，∠CBN＝，‎ 其中CN＝HM＝(1.2－0.6)＝‎0.3 m，‎ 所以BC＝＝＝m，‎ BN＝＝＝m，(2分)‎ 所以CD＝BE－2BN＝1.6－＝，则 AB＋BC＋CD＋DE＋EF＋FG＋GH＋ HA＝2AB＋2CD＋4BC＝1.2＋＋＝.(5分)‎ 答：景观窗格的外框总长度为 m．(6分)‎ ‎(2) AB＋BC＋CD＋DE＋EF＋FG＋GH＋HA＝2AB＋2CD＋4BC≤5，‎ 设∠CBN＝α，α∈，BC＝r，‎ 则CN＝rsinα，BN＝rcosα，‎ 所以AB＝CH－2CN＝1.2－2rsinα， CD＝BE－2BN＝1.6－2rcosα，‎ 所以2(1.2－2rsinα)＋2(1.6－2rcosα)＋4r≤5，即4r(sinα＋cosα－1)≥.(8分)‎ 设景观窗格的面积为S，有S＝1.2×1.6－2r2sinα·cosα≤－ .(9分)‎ 令t＝sinα＋cosα∈(1，]，则sinαcosα＝，‎ 所以S≤－＝－·，其中1＋≥1＋，(12分)‎ 所以S≤－≤－·＝－(3＋2)＝－，‎ 即S≤－ ，‎ 所以当且仅当r＝且α＝时，S取到最大值．(15分)‎ 答：当景观窗格的面积最大时，此景观窗格的设计方案中∠ABC＝且BC＝ m．(16分)‎ ‎19. (1) 由an＋1＋3an＋4＝0，得an＋1＋1＝－3(an＋1)，n∈N*，(2分)‎ 其中a1＝1，所以a1＋1＝2≠0，可得an＋1≠0，n∈N*，(4分)‎ 所以＝－3，n∈N*，所以{an＋1}是以2为首项，－3为公比的等比数列，(6分)‎ 所以an＋1＝2(－3)n－1，‎ 所以数列{an}的通项公式为an＝2(－3)n－1，n∈N*.(8分)‎ ‎(2) 若数列{an}中存在三项am，an，ak(m0，令f′(x)＝0，得x＝或x＝－(舍去)．‎ 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：‎ x f′(x)‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎ ‎?‎ 极小值 ‎?‎ ‎1°.若>1，即a>2，此时a>，则f0对a∈[2，＋∞)恒成立，‎ 所以F2(a)＝‎2a－ln a－1在[2，＋∞)上单调递增，‎ 所以F2(a)≥F2(2)＝3－ln 2>0，‎ 即F1′(a)>0对a∈[2，＋∞)恒成立，‎ 所以F1(a)＝a2－aln a－1在[2，＋∞)上单调递增，‎ 所以F1(a)≥F1(2)＝3－2ln 2>0，‎ 即f(a)>0，又因为ff(1)＝0，‎ 函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以f(x)>f(1)＝0，‎ 故函数f(x)在(0，＋∞)上有且只有一个零点，符合题意．‎ ‎3°.若