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动态问题
一.选择题
1．(2018·辽宁省葫芦岛市) 如图，在▱ABCD 中，AB=6，BC=10，AB⊥AC，点 P 从点 B 出
发沿着 B→A→C 的路径运动，同时点 Q 从点 A 出发沿着 A→C→D 的路径以相同的速度运动，
当点 P 到达点 C 时，点 Q 随之停止运动，设点 P 运动的路程为 x，y=PQ2，下列图象中大致
反映 y 与 x 之间的函数关系的是（ ）
A． B． C．
D．
【解答】解：在 Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AB=6，BC=10，∴AC= =8．
当 0≤x≤6 时，AP=6﹣x，AQ=x，∴y=PQ2=AP2+AQ2=2x2﹣12x+36；
当 6≤x≤8 时，AP=x﹣6，AQ=x，∴y=PQ2=（AQ﹣AP）2=36；
当 8≤x≤14 时，CP=14﹣x，CQ=x﹣8，∴y=PQ2=CP2+CQ2=2x2﹣44x+260．
故选 B．
2. （2018•广安•3 分）已知点 P 为某个封闭图形边界上的一定点，动点 M 从点 P 出发，沿
其边界顺时针匀速运动一周，设点 M 的运动时间为 x，线段 PM 的长度为 y，表示 y 与 x 的函
数图象大致如图所示，则该封闭图形可能是（ ）
A． B． C． D．2
【分析】先观察图象得到 y 与 x 的函数图象分三个部分，则可对有 4 边的封闭图形进行淘汰，
利用圆的定义，P 点在圆上运动时，PM 总上等于半径，则可对 D 进行判断，从而得到正确选
项．
【解答】解：y 与 x 的函数图象分三个部分，而 B 选项和 C 选项中的封闭图形都有 4 条线段，
其图象要分四个部分，所以 B.C 选项不正确；D 选项中的封闭图形为圆，y 为定中，所以 D
选项不正确；A 选项为三角形，M 点在三边上运动对应三段图象，且 M 点在 P 点的对边上运
动时，PM 的长有最小值．
故选：A．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，
通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能
力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．
3. （2018•莱芜•3 分）如图，边长为 2 的正△ABC 的边 BC 在直线 l 上，两条距离为 l 的平
行直线 a 和 b 垂直于直线 l，a 和 b 同时向右移动（a 的起始位置在 B 点），速度均为每秒 1
个单位，运动时间为 t（秒），直到 b 到达 C 点停止，在 a 和 b 向右移动的过程中，记△ABC
夹在 a 和 b 之间的部分的面积为 s，则 s 关于 t 的函数图象大致为（ ）
A． B． C ．
D．
【分析】依据 a 和 b 同时向右移动，分三种情况讨论，求得函数解析式，进而得到当 0≤t＜
1 时，函数图象为开口向上的抛物线的一部分，当 1≤t＜2 时，函数图象为开口向下的抛物
线的一部分，当 2≤t≤3 时，函数图象为开口向上的抛物线的一部分．
【解答】解：如图①，当 0≤t＜1 时，BE=t，DE= t，3
∴s=S△BDE= ×t× t= ；
如图②，当 1≤t＜2 时，CE=2﹣t，BG=t﹣1，
∴DE= （2﹣t），FG= （t﹣1），
∴s=S 五 边 形 AFGED=S △ ABC﹣S △ BGF﹣S △ CDE= ×2× ﹣ ×（t﹣1）× （t﹣1）﹣ ×
（2﹣t）× （2﹣t）=﹣ +3 t﹣ ；
如图③，当 2≤t≤3 时，CG=3﹣t，GF= （3﹣t），
∴s=S△CFG= ×（3﹣t）× （3﹣t）= ﹣3 t+ ，
综上所述，当 0≤t＜1 时，函数图象为开口向上的抛物线的一部分；当 1≤t＜2 时，函数图
象为开口向下的抛物线的一部分；当 2≤t≤3 时，函数图象为开口向上的抛物线的一部分，
故选：B．
【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，函数图象是典型的数形结合，通过看图获取
信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．
二.填空题
1．（2018·辽宁省盘锦市）如图①，在矩形 ABCD 中，动点 P 从 A 出发，以相同的速度，沿4
A→B→C→D→A 方向运动到点 A 处停止．设点 P 运动的路程为 x，△PAB 面积为 y，如果 y
与 x 的函数图象如图②所示，则矩形 ABCD 的面积为 24 ．
【解答】解：从图象②和已知可知：AB=4，BC=10﹣4=6，所以矩形 ABCD 的面积是
4×6=24．
故答案为：24．
三.解答题
1. （2018·广西贺州·12 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx+c 交 x 轴于
A.B 两点（A 在 B 的左侧），且 OA=3，OB=1，与 y 轴交于 C（0，3），抛物线的顶点坐标为 D
（﹣1，4）．
（1）求 A.B 两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）过点 D 作直线 DE∥y 轴，交 x 轴于点 E，点 P 是抛物线上 B.D 两点间的一个动点（点 P
不与 B.D 两点重合），PA.PB 与直线 DE 分别交于点 F、G，当点 P 运动时，EF+EG 是否为定值？
若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．
【解答】解：（1）由抛物线 y=ax2+bx+c 交 x 轴于 A.B 两点（A 在 B 的左侧），且 OA=3，
OB=1，得
A 点坐标（﹣3，0），B 点坐标（1，0）；
（2）设抛物线的解析式为 y=a（x+3）（x﹣1），
把 C 点坐标代入函数解析式，得
a（0+3）（0﹣1）=3，
解得 a=﹣1，
抛物线的解析式为 y=﹣（x+3）（x﹣1）=﹣x2﹣2x+3；5
（3）EF+EG=8（或 EF+EG 是定值），理由如下：
过点 P 作 PQ∥y 轴交 x 轴于 Q，如图．
设 P（t，﹣t2﹣2t+3），
则 PQ=﹣t2﹣2t+3，AQ=3+t，QB=1﹣t，
∵PQ∥EF，
∴△AEF∽△AQP，
∴ = ，
∴EF= = = ×（﹣t2﹣2t+3）=2（1﹣t）；
又∵PQ∥EG，
∴△BEG∽△BQP，
∴ = ，
∴EG= = =2（t+3），
∴EF+EG=2（1﹣t）+2（t+3）=8．
2. （2018·湖北江汉·12 分）抛物线 y=﹣ x2+ x﹣1 与 x 轴交于点 A，B（点 A 在点 B 的
左侧），与 y 轴交于点 C，其顶点为 D．将抛物线位于直线 l：y=t（t＜ ）上方的部分沿
直线 l 向下翻折，抛物线剩余部分与翻折后所得图形组成一个“M”形的新图象．
（1）点 A，B，D 的坐标分别为 （ ，0） ， （3，0） ， （ ， ） ；
（2）如图①，抛物线翻折后，点 D 落在点 E 处．当点 E 在△ABC 内（含边界）时，求 t 的
取值范围；
（3）如图②，当 t=0 时，若 Q 是“M”形新图象上一动点，是否存在以 CQ 为直径的圆与 x
轴相切于点 P？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．6
【分析】（1）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点 A.B 的坐标，再利用配方法即可找
出抛物线的顶点 D 的坐标；
（2）由点 D 的坐标结合对称找出点 E 的坐标，根据点 B.C 的坐标利用待定系数法可求出直
线 BC 的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可得出关于 t 的一元一次不等式组，
解之即可得出 t 的取值范围；
（3）假设存在，设点 P 的坐标为（ m，0），则点 Q 的横坐标为 m，分 m＜ 或 m＞3 及 ≤m≤3
两种情况，利用勾股定理找出关于 m 的一元二次方程，解之即可得出 m 的值，进而可找出点
P 的坐标，此题得解．
【解答】解：（1）当 y=0 时，有﹣ x2+ x﹣1=0，
解得：x1= ，x2=3，
∴点 A 的坐标为（ ，0），点 B 的坐标为（3，0）．
∵y=﹣ x2+ x﹣1=﹣ （x2﹣ x）﹣1=﹣ （x﹣ ）2+ ，
∴点 D 的坐标为（ ， ）．
故答案为：（ ，0）；（3，0）；（ ， ）．
（2）∵点 E.点 D 关于直线 y=t 对称，
∴点 E 的坐标为（ ，2t﹣ ）．
当 x=0 时，y=﹣ x2+ x﹣1=﹣1，
∴点 C 的坐标为（0，﹣1）．
设线段 BC 所在直线的解析式为 y=kx+b，
将 B（3，0）、C（0，﹣1）代入 y=kx+b，7
，解得： ，
∴线段 BC 所在直线的解析式为 y= x﹣1．
∵点 E 在△ABC 内（含边界），
∴ ，
解得： ≤t≤ ．
（3）当 x＜ 或 x＞3 时，y=﹣ x2+ x﹣1；
当 ≤x≤3 时，y= x2﹣ x+1．
假设存在，设点 P 的坐标为（ m，0），则点 Q 的横坐标为 m．
①当 m＜ 或 m＞3 时，点 Q 的坐标为（m，﹣ x2+ x﹣1）（如图 1），
∵以 CQ 为直径的圆与 x 轴相切于点 P，
∴CP⊥PQ，
∴CQ2=CP2+PQ2，即 m2+（﹣ m2+ m）2= m2+1+ m2+（﹣ m2+ m﹣1）2，
整理，得：m1= ，m2= ，
∴点 P 的坐标为（ ，0）或（ ，0）；
②当 ≤m≤3 时，点 Q 的坐标为（m， x2﹣ x+1）（如图 2），
∵以 CQ 为直径的圆与 x 轴相切于点 P，
∴CP⊥PQ，
∴CQ2=CP2+PQ2，即 m2+（ m2﹣ m+2）2= m2+1+ m2+（ m2﹣ m+1）2，
整理，得：11m2﹣28m+12=0，
解得：m3= ，m4=2，
∴点 P 的坐标为（ ，0）或（1，0）．8
综上所述：存在以 CQ 为直径的圆与 x 轴相切于点 P，点 P 的坐标为（ ，0）、（ ，
0）、（1，0）或（ ，0）．
3.（2018·四川省攀枝花）如图，在△ABC 中，AB=7.5，AC=9，S△ABC= ．动点 P 从 A 点出
发，沿 AB 方向以每秒 5 个单位长度的速度向 B 点匀速运动，动点 Q 从 C 点同时出发，以相
同的速度沿 CA 方向向 A 点匀速运动，当点 P 运动到 B 点时，P、Q 两点同时停止运动，以 PQ
为边作正△PQM（P、Q、M 按逆时针排序），以 QC 为边在 AC 上方作正△QCN，设点 P 运动时
间为 t 秒．
（1）求 cosA 的值；
（2）当△PQM 与△QCN 的面积满足 S△PQM= S△QCN 时，求 t 的值；
（3）当 t 为何值时，△PQM 的某个顶点（Q 点除外）落在△QCN 的边上．
解：（1）如图 1 中，作 BE⊥AC 于 E．
∵S△ABC= •AC•BE= ，∴BE= ．在 Rt△ABE 中，AE= =6，∴coaA= =9
= ．
（2）如图 2 中，作 PH⊥AC 于 H．
∵PA=5t，PH=3t，AH=4t，HQ=AC﹣AH﹣CQ=9﹣9t，∴PQ2=PH2+HQ2=9t2+（9﹣9t）2．
∵S△PQM= S△QCN，∴ •PQ2= × •CQ2，∴9t2+（9﹣9t）2= ×（5t）2，整理得：
5t2﹣18t+9=0，解得 t=3（舍弃）或 ，∴当 t= 时，满足 S△PQM= S△QCN．
（3）①如图 3 中，当点 M 落在 QN 上时，作 PH⊥AC 于 H．
易知：PM∥AC，∴∠MPQ=∠PQH=60°，∴PH= HQ，∴3t= （9﹣9t），∴t= ．
②如图 4 中，当点 M 在 CQ 上时，作 PH⊥AC 于 H．
同法可得 PH= QH，∴3t= （9t﹣9），∴t= ．10
综上所述：当 t= s 或 s 时，△PQM 的某个顶点（Q 点除外）落在△QCN 的
边上．
4.（2018·吉林长春·10 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，动点 P
从点 A 出发，沿 AB 以每秒 2 个单位长度的速度向终点 B 运动．过点 P 作 PD⊥AC 于点 D（点
P 不与点 A.B 重合），作∠DPQ=60°，边 PQ 交射线 DC 于点 Q．设点 P 的运动时间为 t 秒．
（1）用含 t 的代数式表示线段 DC 的长；
（2）当点 Q 与点 C 重合时，求 t 的值；
（3）设△PDQ 与△ABC 重叠部分图形的面积为 S，求 S 与 t 之间的函数关系式；
（4）当线段 PQ 的垂直平分线经过△ABC 一边中点时，直接写出 t 的值．
【分析】（1）先求出 AC，用三角函数求出 AD，即可得出结论；
（2）利用 AD+DQ=AC，即可得出结论；
（3）分两种情况，利用三角形的面积公式和面积差即可得出结论；
（4）分三种情况，利用锐角三角函数，即可得出结论．
【解答】解：（1）在 Rt△ABC 中，∠A=30°，AB=4，
∴AC=2 ，
∵PD⊥AC，
∴∠ADP=∠CDP=90°，
在 Rt△ADP 中，AP=2t，
∴DP=t，AD=APcosA=2t× = t，
∴CD=AC﹣AD=2 ﹣ t（0＜t＜2）；
（2）在 Rt△PDQ 中，∵∠DPC=60°，
∴∠PQD=30°=∠A，
∴PA=PQ，
∵PD⊥AC，
∴AD=DQ，
∵点 Q 和点 C 重合，
∴AD+DQ=AC，
∴2× t=2 ，11
∴t=1；
（3）当 0＜t≤1 时，S=S△PDQ= DQ×DP= × t×t= t2；
当 1＜t＜2 时，如图 2，
CQ=AQ﹣AC=2AD﹣AC=2 t﹣2 =2 （t﹣1），
在 Rt△CEQ 中，∠CQE=30°，
∴CE=CQ•tan∠CQE=2 （t﹣1）× =2（t﹣1），
∴S=S△PDQ﹣S△ECQ= × t×t﹣ ×2 （t﹣1）×2（t﹣1）=﹣ t2+4 t﹣2 ，
∴S= ；
（4）当 PQ 的垂直平分线过 AB 的中点 F 时，如图 3，
∴∠PGF=90°，PG= PQ= AP=t，AF= AB=2，
∵∠A=∠AQP=30°，
∴∠FPG=60°，
∴∠PFG=30°，
∴PF=2PG=2t，
∴AP+PF=2t+2t=2，
∴t= ；
当 PQ 的垂直平分线过 AC 的中点 M 时，如图 4，
∴∠QMN=90°，AN= AC= ，QM= PQ= AP=t，
在 Rt△NMQ 中，NQ= = t，
∵AN+NQ=AQ，
∴ + t=2 t，
∴t= ，
当 PQ 的垂直平分线过 BC 的中点时，如图 5，
∴BF= BC=1，PE= PQ=t，∠H=30°，
∵∠ABC=60°，12
∴∠BFH=30°=∠H，
∴BH=BF=1，
在 Rt△PEH 中，PH=2PE=2t，
∴AH=AP+PH=AB+BH，
∴2t+2t=5，
∴t= ，
即：当线段 PQ 的垂直平分线经过△ABC 一边中点时，t 的值为 秒或 秒或 秒．
【点评】此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的判定和性质，锐角三角函数，垂直
平分线的性质，正确作出图形是解本题的关键．
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