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阅读理解、图表信息(包括新定义,新运算)
一.填空题
（2018·湖北十堰·3 分）对于实数 a，b，定义运算“※”如下：a※b=a 2﹣ab，例如，
5※3=52﹣5×3=10．若（x+1）※（x﹣2）=6，则 x 的值为 1 ．
【分析】根据题意列出方程，解方程即可．
【解答】解：由题意得，（x+1）2﹣（x+1）（x﹣2）=6，
整理得，3x+3=6，
解得，x=1，
故答案为：1．
【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，根据题意正确得到方程是解题的关键．
二.解答题
1.（2018·湖北荆州·12 分）阅读理解：在平面直角坐标系中，若两点 P、Q 的坐标分别是
P（x1，y1）、
Q（x2，y2），则 P、Q 这两点间的距离为|PQ|= ．如 P（1，2），Q
（3，4），则|PQ|= =2 ．
对于某种几何图形给出如下定义：符合一定条件的动点形成的图形，叫做符合这个条件的点
的轨迹．如平面内到线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线．
解决问题：如图，已知在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=kx+ 交 y 轴于点 A，点 A 关于 x
轴的对称点为点 B，过点 B 作直线 l 平行于 x 轴．
（1）到点 A 的距离等于线段 AB 长度的点的轨迹是 ；
（2）若动点 C（x，y）满足到直线 l 的距离等于线段 CA 的长度，求动点 C 轨迹的函数表达
式；
问题拓展：（3）若（2）中的动点 C 的轨迹与直线 y=kx+ 交于 E.F 两点，分别过 E.F 作直
线 l 的垂线，垂足分别是 M、N，求证：①EF 是△AMN 外接圆的切线；② + 为定值．
【解答】解：（1）设到点 A 的距离等于线段 AB 长度的点 D 坐标为（x，y），2
∴AD2=x2+（y﹣ ）2，
∵直线 y=kx+ 交 y 轴于点 A，
∴A（0， ），
∵点 A 关于 x 轴的对称点为点 B，
∴B（0，﹣ ），
∴AB=1，
∵点 D 到点 A 的距离等于线段 AB 长度，
∴x2+（y﹣ ）2=1，
故答案为：x2+（y﹣ ）2=1；
（2）∵过点 B 作直线 l 平行于 x 轴，
∴直线 l 的解析式为 y=﹣ ，
∵C（x，y），A（0， ），
∴AC2=x2+（y﹣ ）2，点 C 到直线 l 的距离为：（y+ ），
∵动点 C（x，y）满足到直线 l 的距离等于线段 CA 的长度，
∴x2+（y﹣ ）2=（y+ ）2，
∴动点 C 轨迹的函数表达式 y= x2，
（3）①如图，
设点 E（m，a）点 F（n，b），
∵动点 C 的轨迹与直线 y=kx+ 交于 E.F 两点，
∴ ，
∴x2﹣2kx﹣1=0，
∴m+n=2k，mn=﹣1，
∵过 E.F 作直线 l 的垂线，垂足分别是 M、N，3
∴M（m，﹣ ），N（n，﹣ ），
∵A（0， ），
∴AM2+AN2=m2+1+n2+1=m2+n2+2=（m+n）2﹣2mn+2=4k2+4，
MN2=（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn=4k2+4，
∴AM2+AN2=MN2，
∴△AMN 是直角三角形，MN 为斜边，
取 MN 的中点 Q，
∴点 Q 是△AMN 的外接圆的圆心，
∴Q（k，﹣ ），
∵A（0， ），
∴直线 AQ 的解析式为 y=﹣ x+ ，
∵直线 EF 的解析式为 y=kx+ ，
∴AQ⊥EF，
∴EF 是△AMN 外接圆的切线；
②证明：∵点 E（m，a）点 F（n，b）在直线 y=kx+ 上，
∴a=mk+ ，b=nk+ ，
∵ME，NF，EF 是△AMN 的外接圆的切线，
∴AE=ME=a+ =mk+1，AF=NF=b+ =nk+1，
∴ + = + = = = =2，
即： + 为定值，定值为 2．4
2．（2018·重庆市 B 卷）（10.00 分）对任意一个四位数 n，如果千位与十位上的数字之和为
9，百位与个位上的数字之和也为 9，则称 n 为“极数”．
（1）请任意写出三个“极数”；并猜想任意一个“极数”是否是 99 的倍数，请说明理由；
（2）如果一个正整数 a 是另一个正整数 b 的平方，则称正整数 a 是完全平方数．若四位数 m
为“极数”，记 D（m）= ，求满足 D（m）是完全平方数的所有 m．
【分析】（1）先直接利用“极数”的意义写出三个，设出四位数 n 的个位数字和十位数字，
进而表示出 n，即可得出结论；
（2）先确定出四位数 m，进而得出 D（m），再再根据完全平方数的意义即可得出结论．
【解答】解：（1）根据“极数”的意义得，1287，2376，8712，
任意一个“极数”都是 99 的倍数，
理由：设对于任意一个四位数且是“极数”n 的个位数字为 x，十位数字为 y，（x 是 0 到 9
的整数，y 是 0 到 8 的整数）
∴百位数字为（9﹣x），千位数字为（9﹣y），
∴四位数 n 为：1000（9﹣y）+100（9﹣x）+10y+x=9900﹣990y﹣99x=99（100﹣10y﹣x），
∵x 是 0 到 9 的整数，y 是 0 到 8 的整数，
∴100﹣10y﹣x 是整数，
∴99（100﹣10y﹣x）是 99 的倍数，
即：任意一个“极数”都是 99 的倍数；
（2）设四位数 m 为“极数”的个位数字为 x，十位数字为 y，（x 是 0 到 9 的整数，y 是 0
到 8 的整数）
∴m=99（100﹣10y﹣x），
∴D（m）= =3（100﹣10y﹣x），
而 m 是四位数，
∴99（100﹣10y﹣x）是四位数，
即 1000≤99（100﹣10y﹣x）＜10000，5
∴30 ≤3（100﹣10y﹣x）≤303
∵D（m）完全平方数，
∴3（100﹣10y﹣x）既是 3 的倍数也是完全平方数，
∴3（100﹣10y﹣x）只有 36，81，144，225 这四种可能，
∴D（m）是完全平方数的所有 m 值为 1188 或 2673 或 4752 或 7425．
【点评】此题主要考查了完全平方数，新定义的理解和掌握，整除问题，掌握新定义和熟记
300 以内的完全平方数是解本题的关键．
3. （2018•陕西•13 分） 问题提出
(1)如图①，在△ABC 中，∠A＝120°，AB＝AC＝5，则△ABC 的外接圆半径 R 的值为 ．
问题探究
(2)如图②，⊙O 的半径为 13，弦 AB＝24，M 是 AB 的中点，P 是⊙O 上一动点，求 PM 的最大
值．
问题解决
(3)如图③所示，AB.AC.BC 是某新区的三条规划路其中，AB＝6km，AC＝3km，∠BAC＝60°，
BC 所对的圆心角为 60°．新区管委会想在 BC 路边建物资总站点 P，在 AB.AC 路边分别建物
资分站点 E.F．也就是，分别在 、线段 AB 和 AC 上选取点 P、E.F．由于总站工作人员每
天要将物资在各物资站点间按 P→E→F→P 的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规
划道路 PE.EF 和 FP．为了快捷环保和节约成本要使得线段 PE.EF、FP 之和最短，试求 PE＋EF
＋FP 的最小值(各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计)．
图① 图② 图③
【答案】（1）5；（2）18；（3）（3 －9）km．
【解析】【分析】（1）如图（1），设外接圆的圆心为 O，连接 OA， OB，根据已知条件
可得△AOB 是等边三角形，由此即可得半径；
（2）如图（2）所示，连接 MO 并延长交⊙O 于 N，连接 OP，显然，MN 即为 MP 的
最大值，根据垂径定理求得 OM 的长即可求得 MN 的最大值；
（3） 如图（3）所示，假设 P 点即为所求点，分别作出点 P 关于 AB.AC 的对称点
P´、P＂连接 PP´、P´E，PE，P＂F，PF，PP＂，则 P´P＂即为最短距离，其长度取
决于 PA 的长度，根据题意正确画出图形，得到点 P 的位置，根据等边三角形、勾6
股定理等进行求解即可得 PE＋EF＋FP 的最小值.
【详解】（1）如图（1），设外接圆的圆心为 O，连接 OA， OB，
∵O 是等腰三角形 ABC 的外心，AB=AC，
∴∠BAO=∠OAC= ∠BAC= =60°，
∵OA=OB，
∴△AOB 是等边三角形，
∴OB=AB=5，
故答案为：5；
（2）如图（2）所示，连接 MO 并延长交⊙O 于 N，连接 OP，
显然，MP≤OM＋OP＝OM＋ON＝MN，ON＝13，OM＝ ＝5，MN＝18，
∴PM 的最大值为 18；
（3） 如图（3）所示，假设 P 点即为所求点，分别作出点 P 关于 AB.AC 的对称点
P´、P＂连接 PP´、P´E，PE，P＂F，PF，PP＂
由对称性可知 PE＋EF＋FP＝P´E＋EF＋FP＂＝P´P＂，且 P´、E.F、P＂在一条直线
上，所以 P´P＂即为最短距离，其长度取决于 PA 的长度， 7
如图（4），作出弧 BC 的圆心 O，连接 AO，与弧 BC 交于 P，P 点即为使得 PA 最短
的点，∵AB＝6km，AC＝3km，∠BAC＝60°，
∴∆ABC 是直角三角形，∠ABC＝30°，BC＝3 ，
BC 所对的圆心角为 60°，∴∆OBC 是等边三角形，∠CBO＝60°，BO＝BC＝3 ，
∴∠ABO＝90°，AO＝3 ，PA＝3 －3 ，
∠P´AE＝∠EAP，∠PAF＝∠FAP＂，
∴∠P´AP＂＝2∠ABC＝120°，P´A＝AP＂，
∴∠AP´E＝∠AP＂F＝30°，
∵P´P＂＝2P´Acos∠AP´E＝ P´A＝3 －9，
所以 PE＋EF＋FP 的最小值为 3 －9km．
【点睛】本题考查了圆的综合题，涉及到垂径定理、最短路径问题等，正确添加
辅助线、灵活应用相关知识是解题的关键.
4.（2018·辽宁大连·12 分）阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：
如图 1，△ABC 中，∠ACB=90°，点 D 在 AB 上，且∠BAC=2∠DCB，求证：AC=AD．
小明发现，除了直接用角度计算的方法外，还可以用下面两种方法：
方法 1：如图 2，作 AE 平分∠CAB，与 CD 相交于点 E．
方法 2：如图 3，作∠DCF=∠DCB，与 AB 相交于点 F．
（1）根据阅读材料，任选一种方法，证明 AC=AD．
用学过的知识或参考小明的方法，解决下面的问题：
（2）如图 4，△ABC 中，点 D 在 AB 上，点 E 在 BC 上，且∠BDE=2∠ABC，点 F 在 BD 上，且
∠AFE=∠BAC，延长 DC.FE，相交于点 G，且∠DGF=∠BDE．
①在图中找出与∠DEF 相等的角，并加以证明；
②若 AB=kDF，猜想线段 DE 与 DB 的数量关系，并证明你的猜想．8
解：（1）方法一：如图 2 中，作 AE 平分∠CAB，与 CD 相交于点 E．
∵∠CAE=∠DAE，∠CAB=2∠DCB，∴∠CAE=∠CDB．
∵∠CDB+∠ACD=90°，∴∠CAE+∠ACD=90°，∴∠AEC=90°．
∵AE=AE，∠AEC=∠AED=90°，∴△AEC≌△AED，∴AC=AD．
方法二：如图 3 中，作∠DCF=∠DCB，与 AB 相交于点 F．
∵∠DCF=∠DCB，∠A=2∠DCB，∴∠A=∠BCF．
∵∠BCF+∠ACF=90°，∴∠A+∠ACF=90°，∴∠AFC=90°．
∵∠ACF+∠BCF=90°，∠BCF+∠B=90°，∴∠ACF=∠B．
∵∠ADC=∠DCB+∠B=∠DCF+∠ACF=∠ACD，∴AC=AD．
（2）①如图 4 中，结论：∠DEF=∠FDG．
理由：在△DEF 中，∵∠DEF+∠EFD+∠EDF=180°．在△DFG 中，
∵∠GFD+∠G+∠FDG=180°．
∵∠EFD=∠GFD，∠G=∠EDF，∴∠DEF=∠FDG．
②结论：BD=k•DE．
理由：如图 4 中，如图延长 AC 到 K，使得∠CBK=∠ABC．9
∵∠ABK=2∠ABC，∠EDF=2∠ABC，∴∠EDF=∠ABK．
∵∠DFE=∠A，∴△DFE∽△BAK，∴ = = ，∴BK=k•DE，∴∠AKB=∠DEF=∠FDG．
∵BC=BC，∠CBD=∠CBK，∴△BCD≌△BCK，∴BD=BK，∴BD=k•DE
5.（2018·江苏常州·10 分）阅读材料：各类方程的解法
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为 x=a 的形式．求解二元一次方程组，
把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程
组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整
式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不
尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想转化，把未知转化为已知．
用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程 x3+x2﹣2x=0，
可以通过因式分解把它转化为 x（x 2+x﹣2）=0，解方程 x=0 和 x 2+x﹣2=0，可得方程
x3+x2﹣2x=0 的解．
（1）问题：方程 x3+x2﹣2x=0 的解是 x1=0，x2= ﹣2 ，x3= 1 ；
（2）拓展：用“转化”思想求方程 =x 的解；
（3）应用：如图，已知矩形草坪 ABCD 的长 AD=8m，宽 AB=3m，小华把一根长为 10m 的绳子
的一端固定在点 B，沿草坪边沿 BA，AD 走到点 P 处，把长绳 PB 段拉直并固定在点 P，然后
沿草坪边沿 PD.DC 走到点 C 处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点 C．求 AP
的长．
【分析】（1）因式分解多项式，然后得结论；
（2）两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，注意验根；
（3）设 AP 的长为 xm，根据勾股定理和 BP+CP=10，可列出方程，由于方程含有根号，两边
平方，把无理方程转化为整式方程，求解，
【解答】解：（1）x3+x2﹣2x=0，
x（x2+x﹣2）=0，
x（x+2）（x﹣1）=0
所以 x=0 或 x+2=0 或 x﹣1=0
∴x1=0，x2=﹣2，x3=1；
故答案为：﹣2，1；
（2） =x，10
方程的两边平方，得 2x+3=x2
即 x2﹣2x﹣3=0
（x﹣3）（x+1）=0
∴x﹣3=0 或 x+1=0
∴x1=3，x2=﹣1，
当 x=﹣1 时， = =1≠﹣1，
所以﹣1 不是原方程的解．
所以方程 =x 的解是 x=3；
（3）因为四边形 ABCD 是矩形，
所以∠A=∠D=90°，AB=CD=3m
设 AP=xm，则 PD=（8﹣x）m
因为 BP+CP=10，
BP= ，CP=
∴ + =10
∴ =10﹣
两边平方，得（8﹣x）2+9=100﹣20 +9+x2
整理，得 5 =4x+9
两边平方并整理，得 x2﹣8x+16=0
即（x﹣4）2=0
所以 x=4．
经检验，x=4 是方程的解．
答：AP 的长为 4m．
【点评】本题考查了转化的思想方法，一元二次方程的解法．解无理方程是注意到验根．解
决（3）时，根据勾股定理和绳长，列出方程是关键．
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