相似三角形的判定
(满分100分，30分钟完成)
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题(每题5分,共40分)
1．如图，这是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射到桌面后在地面上形成（圆形）的示意图．已知桌面直径为1.2米，桌面离地面1米．若灯泡离地面3 米，则地面上阴影部分的面积为（ ）
A．0..36π米2 B． 0.81π米2 C．2π米2 D．3. 24π米2
【答案】B
【解析】
试题分析：如图设C，D分别是桌面和其地面影子的圆心，依题意可以得到△OBC∽△OAD，然后由它们的对应边成比例可以得，再把OD=3，CD=1代入可求出OC= OD-CD=3-1=2，BC=×1.2=0.6，然后求出地面影子的半径AD=0.9，这样可以求出阴影部分的面积S⊙D=π×0.92=0.81πm2，这样地面上阴影部分的面积为0.81πm2．
故选：B
考点：1、相似三角形的性质，2、圆的面积.
2．如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值（ ）
A．只有1个 B．可以有2个 C．有2个以上但有限 D．有无数个
【答案】B
【解析】
试题分析：本题需要分两种情况来进行讨论，即6和8为直角边以及6为直角边，8为斜边，然后根据相似三角形的性质得出x的两种值．
考点：相似三角形
3. 下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（ ）
【答案】B．
【解析】
试题分析：图中的三角形的三边长分别为，，．选项A中的三角形的三边长分别为2，
8
，；选项B中的三角形的三边长分别为2，4，；选项C中的三角形的三边长分别为2，3，；选项D中的三角形的三边长分别为，，4；只有选项B中的三角形的三边长与题图中的三角形的三边长对应成比例.
故选:B．
考点：格点三角形；相似三角形的判定．
4. 如图，在▱ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC等于（ ）
A．3：2 B．3：1 C．1：1 D．1：2
【答案】D
【解析】
试题分析：根据题意得出△DEF∽△BCF，进而得出=，利用点E是边AD的中点得出答案即可．
∵▱ABCD，故AD∥BC，
∴△DEF∽△BCF，
∴=，
∵点E是边AD的中点，
∴AE=DE=AD，
∴=．
故选：D．
考点：相似三角形的判定．
5.如图，正方形ABCD的边长为25，内部有6个全等的正方形，小正方形的顶点E、F、G、H分别落在边AD、AB、BC、CD上，则每个小正方形的边长为（ ）.
A.6 B.5 C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：如图，过点G作GP⊥AD，垂足为P，所以四边形ABGP是矩形，因为∠1+∠PEG=90°，∠DEH+∠PEG=90°,∠1=∠DEH,又因为∠D=∠4=90°，所以△DEH∽△PGE，所以，所以
8
,根据题意可证，BG=DE=PA=5,所以PE=15,在Rt△PEG中，,所以小正方形的边长为.
故选:D．
考点：1.正方形的性质;2.相似三角形的判定与性质；3.勾股定理.
6. 如图，下列条件中不能判定的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
试题分析：根据三角形相似的判定方法可得：选项A无法判定．
考点：三角形相似的判定．
7.
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
试题分析：设小正方形的边长为1，根据已知可求出△ABC
8
三边的长，同理可求出阴影部分的各边长，从而根据相似三角形的三边对应成比例即可得到答案．
∵小正方形的边长均为1
∴△ABC三边分别为2，，
同理：A中各边的长分别为：，3，；
B中各边长分别为：，1，；
C中各边长分别为：1、2，；
D中各边长分别为：2，，；
∵只有B项中的三边与已知三角形的三边对应成比例，且相似比为
故选B．
考点：相似三角形的判定．
8. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，则下列三角形中，与△BOC一定相似的是（ ）
A．△ABD B．△DOA C．△ACD D．△ABO
【答案】B
【解析】
试题分析：∵AD∥BC，
∴∠OBC=∠ODA，∠OCB=∠OAD，
∵∠AOD=∠BOC，
∴△BOC∽△DOA，
故选:B．
考点：相似三角形的判定．
二、填空题(每题6分,共30分)
9. 如图，AB与CD相交于点O，OA=3，OB=5，0D=6．当OC= 时，图中的两个三角形相似．（只需写出一个条件即可）
【答案】．
【解析】
试题解析：∵OA=3，OB=5，0D=6，
∴当OC=时，则，
而∠AOC=∠DOB（公共角），
∴△AOC∽△DOB．
∴当OC=时，图中的两个三角形相似．
考点：相似三角形的判定．
8
10. 已知，如图△ABC∽△AED，AD=5cm，EC=3cm，AC=13cm，则AB= cm．
【答案】26
【解析】
试题分析：有△ABC∽△AED，可以得到比例线段，再通过比例线段可求出AB的值．
∵△ABC∽△AED
∴
又∵AE=AC﹣EC=10
∴
∴AB=26．
考点：相似三角形的判定和性质．
11. 如图，在△ABC中，若DE∥BC，=，DE=4cm，则BC的长为 _________ ．
【答案】12 cm
【解析】
试题分析：∵=，
∴
DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
又∵DE=4cm，
∴BC=12 cm
故答案为：12 cm
8
考点：三角形相似
12. 在综合实践课上，小明同学设计了如图测河塘宽AB的方案：在河塘外选一点O，连结AO，BO，测得m，m，延长AO，BO分别到D，C两点，使m，m，又测得m，则河塘宽AB= m．
【答案】15
【解析】
试题分析：根据题意可得：，∠DOC=∠BOA，则△OCD∽△OAB，则，则AB=15m.
考点：三角形相似的应用
13. 如图，在△ABC中，AB=AC=10，点D是边BC上一动点（不与B，C重合），∠ADE=∠B=α，DE交AC于点E，且cosα=．下列结论：①△ADE∽△ACD；②当BD=6时，△ABD与△DCE全等；③△DCE为直角三角形时，BD为8；④0＜CE≤6.4．其中正确的结论是 ．（把你认为正确结论的序号都填上）
【答案】①、②、④.
【解析】
试题解析：①∵AB=AC，∴∠B=∠C，又∵∠ADE=∠B∴∠ADE=∠C，∴△ADE∽△ACD；故①正确，
②AB=AC=10，∠ADE=∠B=α，cosα=，∴BC=2ABcosB=2×10×=16，∵BD=6，∴DC=10，∴AB=DC，
在△ABD与△DCE中，∠BAD＝∠CDE ∠B＝∠C AB＝DC ∴△ABD≌△DCE（ASA）． 故②正确，
③当∠AED=90°时，由①可知：△ADE∽△ACD，∴∠ADC=∠AED，∵∠AED=90°，∴∠ADC=90°，即AD⊥BC，
∵AB=AC，∴BD=CD，∴∠ADE=∠B=α且cosα=，AB=10，BD=8．
当∠CDE=90°时，易△CDE∽△BAD，∵∠CDE=90°，∴∠BAD=90°，∵∠B=α且cosα=．AB=10，
∴cosB== ∴BD=． 故③错误．
8
④易证得△CDE∽△BAD，由②可知BC=16，设BD=y，CE=x，∴ ∴
整理得：-16y+64=64-10x， 即=64-10x， ∴0＜x≤6.4． 故④正确．
考点：（1）、三角形全等；（2）、三角形相似.
三、解答题(每题15分,共30分)
14. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1，P2，P3，P4，P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题：
（1）试证明三角形△ABC为直角三角形；
（2）判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；
（3）画一个三角形，使它的三个顶点为P1，P2，P3，P4，P5中的3个格点并且与△ABC相似（要求：不写作法与证明）．
【答案】（1）见解析；（2）△ABC∽△DEF．（3）见解析
【解析】
试题分析：（1）利用网格得出AB2=20，AC2=5，BC2=25，再利用勾股定理逆定理得出答案即可；
（2）利用AB=2，AC=，BC=5以及DE=4，DF=2，EF=2，利用三角形三边比值关系得出即可；
（3）根据△P2P4 P5三边与△ABC三边长度得出答案即可．
试题解析：（1）∵AB2=20，AC2=5，BC2=25；
∴AB2+AC2=BC2，
根据勾股定理的逆定理得△ABC 为直角三角形；
（2）△ABC和△DEF相似．
由（1）中数据得AB=2，AC=，BC=5，
DE=4，DF=2，EF=2．
====，
∴△ABC∽△DEF．
（3）如图：连接P2P5，P2P4，P4P5，
∵P2P5=，P2P4=，P4P5=2，
AB=2，AC=，BC=5，
∴===，
∴△ABC∽△P2P4 P5．
考点：作图—相似变换；勾股定理的逆定理；相似三角形的判定．
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15. 如图1，△ABC中，∠BAC=100°，AB=AC，P为BC边上任意一点.
若点E、F分别在AB、AC上，且∠EPF=40°，求证：△BPE∽△CFP；
如图2，点P在边CB的延长线上，点E在边AB上，点F在边AC的延长线上，仍有∠EPF=40°，探索PB·PC与BE·CF有怎样的关系？并说明理由.
【答案】（1）证明见解析；
（2）PB·PC=BE·CF，理由见解析.
【解析】
试题分析：（1）由已知条件可得∠B=∠C=40°，由∠EPC=∠B+∠BEP，得∠EPF+∠FPC=∠B+∠BEP，而∠EPF=∠B=40°，从而可得∠FPC=∠BEP，从而得到△BPE∽△CFP；
（2）同（1）的道理类似，可得△BPE∽△CFP，从而可得，即PB·PC=BE·CF.
试题解析：（1）∵△ABC中，∠BAC=100°，AB=AC，∴∠B=∠C=40°，∵∠EPC=∠B+∠BEP，∴∠EPF+∠FPC=∠B+∠BEP，又∵∠EPF=∠B=40°，∴∠FPC=∠BEP，∴△BPE∽△CFP；
相等，理由如下：
∵∠EBC=∠EPB+∠BEP，∴∠EPF=∠EPB+∠CPF，又∵∠EPF=∠B=40°，∴∠BEP=∠CPF，∵∠ABC=∠ACB，
∴∠EBP=∠PCF，∴△BPE∽△CFP，∴，∴PB·PC=BE·CF.
考点：相似三角形的判定与性质.
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