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莲山课件http://www.5ykj.com/‎ 怀柔区2018—2019学年度第一学期初三期末质量检测 ‎ 数 学 试 卷 2019.1 ‎ 一、选择题（本题共16分，每小题2分）‎ 下列各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个 ‎1．已知∠A为锐角，且sin A＝，那么∠A等于 ‎ A．15° B．30° C．45° D．60°‎ ‎2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A =，则∠BOC的大小为 A．40° B．30° C．80° D．100°‎ ‎3．已知△∽△，如果它们的相似比为2∶3，那么它们的面积比是 A．3:2 B． 2:3 C．4:9 D．9:4‎ ‎4．下面是一个反比例函数的图象，它的表达式可能是 A． B． C． D． ‎ 第2题图 第4题图 第5题图 ‎5．正方形ABCD内接于，若的半径是，则正方形的边长是 A． B． C． D．‎ ‎6．如图，线段BD，CE相交于点A，DE∥BC．若BC3，DE1.5，AD2， ‎ 则AB的长为 A．2 B．3 C．4 D．5‎ 第6题图 第8题图 莲山课件http://www.5ykj.com/‎ 莲山课件http://www.5ykj.com/‎ ‎7．若要得到函数的图象，只需将函数的图象 A．先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 B．先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 C．先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 D．先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 ‎8. 如图，一条抛物线与x轴相交于M，N两点（点M在点N的左侧），其顶点P在线段AB上移动，点A，B的坐标分别为（-2，-3），（1，-3），点N的横坐标的最大值为4，则点M的横坐标的最小值为 A.-1 B.-3 C.-5 D.-7‎ 二、填空题（本题共16分，每小题2分）‎ ‎9．二次函数图象的开口方向是__________.‎ ‎10．Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，则tanA的值为 .‎ ‎11. 如图，为了测量某棵树的高度，小颖用长为2的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点. 此时竹竿与这一点距离相距6，与树相距15，那么这棵树的高度为 . ‎ ‎13题图 ‎ ‎ ‎11题图 ‎12.已知一个扇形的半径是1，圆心角是120°，则这个扇形的弧长是 .‎ ‎13.如图所示的网格是正方形网格，则sin∠BAC与sin∠DAE的大小关系是 .‎ ‎14.写出抛物线y=2(x-1)2图象上一对对称点的坐标，这对对称点的坐标 可以是 和 . ‎ ‎15.如图，为测量河内小岛B到河边公路的距离，在上顺次取A，C，D三点，在A点测得∠BAD=30°，在C点测得∠BCD=60°，又测得AC=50米，则小岛B到公路的距离为 米．‎ ‎16.在平面直角坐标系xOy内有三点：（0，-2），（1，-1），（2.17，0.37）.则过这三个点 （填“能”或“不能”）画一个圆，理由是 .‎ 三、解答题(本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.‎ ‎17．已知：. 求：.‎ 莲山课件http://www.5ykj.com/‎ 莲山课件http://www.5ykj.com/‎ ‎18．计算：.‎ ‎19．已知二次函数 y = x2-2x-3.‎ ‎（1）将y = x2-2x-3化成y = a (x－h)2 + k的形式； ‎ ‎（2）求该二次函数图象的顶点坐标.‎ ‎20．如图，在△ABC中，∠B为锐角， AB，BC7，，求AC的长．‎ ‎21. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，点E在AB上，AD=1，AE=2，BC=3，BE=1.5.‎ 求证：∠DEC=90°．‎ ‎22.下面是小东设计的“在三角形一边上求作一个点，使这点和三角形的两个顶点构成的三角形与原三角形相似”的尺规作图过程.‎ 已知: △ABC.‎ 求作: 在BC边上求作一点P, 使得△PAC∽△ABC. ‎ 作法:如图，‎ ‎ ‎ ‎①作线段AC的垂直平分线GH；‎ ‎②作线段AB的垂直平分线EF,交GH于点O；‎ ‎③以点O为圆心，以OA为半径作圆；‎ ④以点C为圆心，CA为半径画弧，交⊙O于点D(与点A不重合)；‎ 莲山课件http://www.5ykj.com/‎ 莲山课件http://www.5ykj.com/‎ ⑤连接线段AD交BC于点P.‎ 所以点P就是所求作的点.‎ 根据小东设计的尺规作图过程，‎ ‎（1）使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹)‎ ‎（2）完成下面的证明.‎ 证明: ∵CD=AC，‎ ‎∴ = .‎ ‎∴∠ =∠ .‎ 又∵∠ =∠ ，‎ ‎∴△PAC∽△ABC ( )(填推理的依据).‎ ‎23.在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+2‎ 与双曲线相交于点A(m，3).‎ ‎（1）求反比例函数的表达式；‎ ‎（2）画出直线和双曲线的示意图；‎ ‎（3）若P是坐标轴上一点，当OA=PA时. ‎ 直接写出点P的坐标．‎ ‎24. 如图，AB是的直径，过点B作的切线BM，点A，C，D分别为的三等分点，连接AC，AD，DC，延长AD交BM于点E， CD交AB于点F. ‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2） 连接OE，若DE=m，求△OBE的周长. ‎ 莲山课件http://www.5ykj.com/‎ 莲山课件http://www.5ykj.com/‎ ‎25. 在如图所示的半圆中， P是直径AB上一动点，过点P作PC⊥AB于点P，交半圆于点C，连接AC.已知AB=6cm，设A，P两点间的距离为xcm，P，C两点间的距离为y1cm，A，C两点间的距离为y2cm.‎ 小聪根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.‎ 下面是小聪的探究过程，请补充完整:‎ ‎（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值；‎ x/cm ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ y1/cm ‎0‎ ‎2.24‎ ‎2.83‎ ‎2.83‎ ‎2.24‎ ‎0‎ y2/cm ‎0‎ ‎2.45‎ ‎3.46‎ ‎4.24‎ ‎4.90‎ ‎5.48‎ ‎6‎ ‎（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点(x，y1)，‎ ‎(x，y2)，并画出函数y1，y2的图象;‎ ‎（3）结合函数图象，解决问题：当△APC有一个角是30°时，AP的长度约为 cm.‎ 莲山课件http://www.5ykj.com/‎ 莲山课件http://www.5ykj.com/‎ ‎26. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线（其中、为常数，且＜0）与x轴交于点A，与y轴交于点B，此抛物线顶点C到x轴的距离为4．‎ ‎（1）求抛物线的表达式；‎ ‎（2）求的正切值；‎ ‎（3）如果点是x轴上的一点，且，直接写出点P的坐标．‎ 莲山课件http://www.5ykj.com/‎ 莲山课件http://www.5ykj.com/‎ ‎27. 在菱形ABCD中，∠ADC=60°，BD是一条对角线，点P在边CD上（与点C，D不重合），连接AP，平移，使点D移动到点C，得到，在BD上取一点H，使HQ=HD，连接HQ，AH，PH. ‎ ‎（1） 依题意补全图1；‎ ‎（2）判断AH与PH的数量关系及∠AHP的度数，并加以证明；‎ ‎（3）若，菱形ABCD的边长为1，请写出求DP长的思路. （可以不写出计算结果）‎ 图1‎ 备用图 莲山课件http://www.5ykj.com/‎ 莲山课件http://www.5ykj.com/‎ ‎28. 在平面直角坐标系xOy中，点A（x，0），B（x，y），若线段AB上存在一点Q满足，则称点Q 是线段AB 的“倍分点”．‎ ‎（1）若点A（1，0），AB=3，点Q 是线段AB 的“倍分点”．‎ ①求点Q的坐标；‎ ②若点A关于直线y= x的对称点为A′，当点B在第一象限时，求；‎ ‎（2）⊙T的圆心T（0， t），半径为2，点Q在直线上，⊙T上存在点B，使点Q 是线段AB 的“倍分点”，直接写出t的取值范围． ‎ 莲山课件http://www.5ykj.com/‎ 莲山课件http://www.5ykj.com/‎ ‎ ‎ ‎2018-2019学年度第一学期期末初三质量检测 数学试卷评分标准 一、选择题（本题共16分，每小题2分）‎ 下列各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答案 B D C B B C A C 二、填空题（本题共16分，每小题2分）‎ ‎9.下10. 11. 12.13.sin∠BAC>sin∠DAE ‎14.(2，2)，(0，2)(答案不唯一)15.16.能，因为这三点不在一条直线上.‎ 三、解答题(本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分)‎ ‎17．解：∵，∴=+1=.………………………5分 ‎………………………3分 ‎………………………4分 ‎………………………5分 ‎19．解：（1）y=x2-2x-3‎ ‎=x2-2x+‎1-1-3‎……………………………2分 ‎=(x-1)2-4．……………………3分 ‎（2）∵y=(x-1)2-4，‎ ‎∴该二次函数图象的顶点坐标是（1，-4）．………………………5分 ‎20.解：作AD⊥BC于点D，∴∠ADB=∠ADC=90°.‎ ‎∵，‎ ‎∴∠B=∠BAD=45°.………………2分 ‎∵AB，‎ 莲山课件http://www.5ykj.com/‎ 莲山课件http://www.5ykj.com/‎ ‎∴AD=BD=3.…………………………3分 ‎∵BC7，∴DC=4.‎ ‎∴在Rt△ACD中，‎ ‎.…………………………5分 ‎21.（1）证明：∵AB⊥BC，∴∠B=90°．‎ ‎∵AD∥BC，∴∠A=90°．∴∠A=∠B．………………2分 ‎∵AD=1，AE=2，BC=3，BE=1.5，‎ ‎∴.∴‎ ‎∴△ADE∽△BEC.∴∠3=∠2．………………3分 ‎∵∠1+∠3=90°,∴∠1+∠2=90°．‎ ‎∴∠DEC=90°．………………5分 ‎22.（1）补全图形如图所示:………………2分 ‎（2）,∠CAP=∠B，∠ACP=∠ACB，‎ 有两组角对应相等的两个三角形相似.………………5分 ‎23.解：(1)∵直线y=x+2与双曲线相交于点A（m，3）.‎ ‎∴3=m+2，解得m=1.‎ ‎∴A（1，3）……………………………………1分 把A（1，3）代入解得k=3，‎ ‎……………………………………2分 ‎(2)如图……………………………………4分 ‎(3)P(0，6)或P(2，0) ……………………………………6分 ‎24.证明：(1)∵点A、C、D为的三等分点，‎ ‎∴ , ∴AD=DC=AC.‎ ‎∵AB是的直径，‎ ‎∴AB⊥CD.‎ ‎∵过点B作的切线BM，‎ ‎∴BE⊥AB.‎ ‎∴.…………………………3分 (2) 连接DB.‎ 由双垂直图形容易得出∠DBE=30°，在Rt△DBE中，由DE=m，解得BE=2m，DB=m.‎ 莲山课件http://www.5ykj.com/‎ 莲山课件http://www.5ykj.com/‎ ‚在Rt△ADB中利用30°角，解得AB=2m，OB=m.…………………4分 ƒ在Rt△OBE中，由勾股定理得出OE=m.………………………………5分 ‎④计算出△OBE周长为2m+m+m.………………………………6分 ‎25.（1）3.00…………………………………1分 ‎（2）…………………………………………4分 ‎（3）1.50或4.50……………………………2分 ‎26．解：（1）由题意得，抛物线的对称轴是直线.………1分 ‎∵a＜0，抛物线开口向下，又与轴有交点，∴抛物线的顶点C在x轴的上方.‎ 由于抛物线顶点C到x轴的距离为4，因此顶点C的坐标是.‎ 可设此抛物线的表达式是，‎ 由于此抛物线与轴的交点的坐标是，可得.‎ 因此，抛物线的表达式是.………………………2分 ‎（2）点B的坐标是.‎ 联结.∵，，，得.‎ ‎∴△为直角三角形，.‎ 所以.‎ 即的正切值等于.………………4分 ‎（3）点p的坐标是（1，0）.………………6分 ‎27.（1）补全图形，如图所示.………………2分 ‎（2）AH与PH的数量关系：AH=PH，∠AHP=120°.‎ 莲山课件http://www.5ykj.com/‎ 莲山课件http://www.5ykj.com/‎ 证明：如图，由平移可知，PQ=DC.‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，∠ADC=60°，‎ ‎∴AD=DC，∠ADB=∠BDQ=30°.∴AD=PQ.‎ ‎∵HQ=HD，∴∠HQD=∠HDQ=30°.∴∠ADB=∠DQH，∠DHQ=120°.‎ ‎∴△ADH≌△PQH.∴AH=PH，∠AHD=∠PHQ.∴∠AHD+∠DHP =∠PHQ+∠DHP.‎ ‎∴∠AHP=∠DHQ. ∵∠DHQ=120°，∴∠AHP=120°.………………5分 ‎（3）求解思路如下：‎ 由∠AHQ=141°，∠BHQ=60°解得∠AHB=81°.‎ a.在△ABH中，由∠AHB=81°，∠ABD=30°，解得∠BAH=69°.‎ b.在△AHP中，由∠AHP=120°，AH=PH，解得∠PAH=30°.‎ c.在△ADB中，由∠ADB=∠ABD= 30°，解得∠BAD=120°.‎ 由a、b、c可得∠DAP=21°.‎ 在△DAP中，由∠ADP= 60°，∠DAP=21°，AD=1，可解△DAP，‎ 从而求得DP长.…………………………………7分 ‎28.解：（1）∵A（1，0），AB=3‎ ‎∴B（1，3）或B（1，-3）‎ ‎∵‎ ‎∴Q（1，1）或Q（1，-1）………………3分 ‎（2）点A（1，0）关于直线y= x的对称点为A′（0，1）‎ ‎∴QA =QA′‎ ‎∴………………5分 ‎（3）-4≤t≤4………………7分 ‎ ‎ 莲山课件http://www.5ykj.com/‎