相似三角形应用举例
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，连接CE并延长与BA的延长线交于点F，若AE=2ED，CD=3cm，则BF的长为（ ）
A.5cm B．6cm C．8cm D．9cm
【答案】D．
【解析】
试题分析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴△AFE∽△DEC，∴AE：DE=AF：CD，
∵AE=2ED，CD=3cm，∴AF=2CD=6cm，∴BF的长为6+3=9．
故选D．
考点：1.平行四边形的性质；2.相似三角形的判定与性质．
2．如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在AB上，BC=BD，DE⊥AB交AC于点E，△ABC的周长为12，△ADE的周长为6，则BC的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A．
【解析】
试题分析：设BC=BD=x，AD=y，因为∠C=∠ADE=90°∠A=∠A，所以△ADE∽△ACB；两三角形的周长之比为1：2，所以AD：AC=1：2，则AC=2y；
根据三角形ABC的周长为12得：x+（x+y）+2y=12；即：2x+3y=12…①
根据勾股定理得：（2y）2+x2=（x+y）2，即：2x=3y…②
联合①②得：x=3，y=2；
故应选A．
考点:相似三角形的判定与性质应用．
3. 如图所示，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行．张强扛着箱子（人与箱子的总高度约为2.2m）乘电梯刚好安全通过，请你根据图中数据回答，两层楼之间的高约为（ ）
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A．5.5m
B．6.2m
C．11m
D．2.2m
【答案】A
【解析】如图，作DE⊥FC于点E，∴△ABC∽△CED，∴．
设AB＝x米，由题意得DE＝6米，EF＝2.2米．∴，解得x＝5.5．故选A．
考点：相似三角形的应用.
4. 如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C=∠E，AD：DE=3：5，AE=8，BD=4，则DC的长等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
试题分析：根据已知条件得出△ADC∽△BDE，然后依据对应边成比例即可求得．
∵∠C=∠E，∠ADC=∠BDE，
∴△ADC∽△BDE，
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∴=，
又∵AD：DE=3：5，AE=8，
∴AD=3，DE=5，
∵BD=4，
∴=，
∴DC=，
故应选：A．
考点:相似三角形的判定和性质应用.
5.如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，AB的垂直平分线OD交AB于点O，交AC于点D，连接BD，下列结论错误的是（ ）
A．∠C=2∠A B．BD平分∠ABC
C．S△BCD=S△BOD D．点D为线段AC的黄金分割点
【答案】C．
【解析】
试题解析：A、∵∠A=36°，AB=AC，
∴∠C=∠ABC=72°，
∴∠C=2∠A，正确，
B、∵DO是AB垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD=36°，
∴∠DBC=72°-36°=36°=∠ABD，
∴BD是∠ABC的角平分线，正确，
C，根据已知不能推出△BCD的面积和△BOD面积相等，错误，
D、∵∠C=∠C，∠DBC=∠A=36°，
∴△DBC∽△CAB，
∴，
∴BC2=CD•AC，
∵∠C=72°，∠DBC=36°，
∴∠BDC=72°=∠C，
∴BC=BD，
∵AD=BD，
∴AD=BC，
∴AD2=CD•AC，
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即点D是AC的黄金分割点，正确，
故选C．
考点：1.线段垂直平分线的性质；2.等腰三角形的性质应用；3.黄金分割
6. 如图，⊙O与Rt△ABC的斜边AB相切于点D，与直角边AC相交于点E，且DE∥BC．已知AE＝2，AC＝3，BC＝6，则⊙O的半径是
A．3 B．2 C．2 D．
【答案】C．
【解析】
试题分析：延长AC交⊙O于F，连接FD．
∵∠C=90°，DE∥BC，
∴∠DEF=90°，∴FD是圆的直径．
∵AB切⊙O于D，∴FD⊥AB．
∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．
∴，即，
∴DE=4．
∵∠ADF=90°，DE⊥AF，
∴△ADE∽△DFE，
∴DE2=AE•EF，即42= •EF，
∴EF=4 ．
∴DF==4，
∴半径为2．
10
故选C．
考点：1.切线的性质2.圆周角定理3.相似三角形的判定与性质应用．
二、填空题
7. 如果两个相似三角形的对应中线之比是1︰4，那么它们的周长比是 .
【答案】1:4
【解析】
试题分析：根据中线之比为1:4，可得三角形的相似比为1:4，周长之比等于相似比.
考点：三角形相似的应用.
8. 如图，正方形ABCD内有两点E、F满足AE=4，tanα=，AE⊥EF，CF⊥EF，EF=CF，则正方形的边长为 ．
【答案】10．
【解析】
试题分析：由AE⊥EF，CF⊥EF，AE=4，tanα=，可找出ME的长度以及用CF表示出FM的长度，再由EF=CF，可找出CF的长，结合勾股定理与正方形的性质即可得出正方形的边长．
令EF与AC的交点为点M，如图所示．
∵AE⊥EF，CF⊥EF，
∴∠AEM=∠CFM=90°，
∵∠AME=∠CMF，
∴△AME∽CMF，
∴∠EAM=∠FCM=α．
∵AE=4，tanα=，
∴EM=3，FM=CF，
∵EF=EM+FM=3+CF=CF，
∴CF=12，FM=9．
由勾股定理可知：AM==5，CM==15，
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∴AC=AM+CM=20．
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AC=10．
考点：相似三角形的判定与性质应用；正方形的性质；解直角三角形．
9.如图，在中，DE//BC，，的面积是8，则四边形DBCE的面积是_____．
A
D
E
C
B
【答案】10
【解析】
试题分析：根据DE∥BC可得：△ADE∽△ABC，根据，则△ADE的面积：△ABC的面积=4:9，根据题意可得：△ABC的面积为18，则四边形DECB的面积=18－8=10．
考点：三角形相似的应用
10. 如图，小明在打网球时，球恰好能打过网，而且落点恰好在离网6米的位置上，则球拍击球的高度h为________米．
【答案】
【解析】由题意得题图中的两个三角形相似，所以 ，
解得 ，即球拍击球的高度为 米．
考点：三角形相似的应用
三、解答题
11．小明想利用太阳光测量楼高。他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如示意图，小明边移动边观察，发现站到点
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处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度CD＝1.2m，CE＝0.8m，CA＝30m（点A、E、C在同一直线上）．已知小明的身高EF是1.7m，请你帮小明求出楼高AB（结果精确到0.1m）．（6分）
A
B
C
D
F
E
【答案】20.0m
【解析】
试题分析：过点D作DG⊥AB，分别交AB、EF于点G、H，
∵AB∥CD，DG⊥AB，AB⊥AC，
∴四边形ACDG是矩形，
∴EH=AG=CD=1.2，DH=CE=0.8，DG=CA=30，
∵EF∥AB，
∴，
由题意，知FH=EF﹣EH=1.7﹣1.2=0.5，
∴，解得，BG=18.75，
∴AB=BG+AG=18.75+1.2=19.95≈20.0．
∴楼高AB约为20.0米．
考点：相似三角形应用。
12.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB于点D．点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止．设运动时间为t秒．
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（1）求线段CD的长；
（2）设△CPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并确定在运动过程中是否存在某一时刻t，使得S△CPQ： =9：100？若存在，求出t的值；若不存在，则说明理由．
（3）是否存在某一时刻t，使得△CPQ为等腰三角形？若存在，求出所有满足条件的t的值；若不存在，则说明理由．
【答案】（1）4.8（2）t=秒或t=3（3）存在，t为2.4秒或秒或秒时
【解析】
试题分析：（1）利用勾股定理可求出AB长，再用等积法就可求出线段CD的长．
（2）过点P作PH⊥AC，垂足为H，通过三角形相似即可用t的代数式表示PH，从而可以求出S与t之间的函数关系式；利用=9：100建立t的方程，解方程即可解决问题．
（3）可分三种情况进行讨论：由CQ=CP可建立关于t的方程，从而求出t；由PQ=PC或QC=QP不能直接得到关于t的方程，可借助于等腰三角形的三线合一及三角形相似，即可建立关于t的方程，从而求出t．
试题解析：（1）如图1，∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，
∴AB=10．
∵CD⊥AB，
∴S△ABC=BC·AC=AB·CD．
∴CD===4.8．
∴线段CD的长为4.8；
（2）①过点P作PH⊥AC，垂足为H，如图2所示．
由题可知DP=t，CQ=t．
则CP=4.8﹣t．
∵∠ACB=∠CDB=90°，
∴∠HCP=90°﹣∠DCB=∠B．
∵PH⊥AC，
∴∠CHP=90°．
∴∠CHP=∠ACB．
∴△CHP∽△BCA．
∴．
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∴．
∴PH=．
∴=CQ·PH=t·（）=；
②存在某一时刻t，使得=9：100．
∵=×6×8=24，且=9：100，
∴（）：24=9：100．
整理得：5t2﹣24t+27=0．
即（5t﹣9）（t﹣3）=0．
解得：t=或t=3．
∵0≤t≤4.8，
∴当t=秒或t=3秒时， =9：100；
（3）存在
①若CQ=CP，如图1，
则t=4.8﹣t．
解得：t=2.4．
②若PQ=PC，如图2所示．
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∵PQ=PC，PH⊥QC，
∴QH=CH=QC=．
∵△CHP∽△BCA．
∴．
∴．
解得；t=．
③若QC=QP，
过点Q作QE⊥CP，垂足为E，如图3所示．
同理可得：t=．
综上所述：当t为2.4秒或秒或秒时，△CPQ为等腰三角形．
考点：1、相似三角形的判定与性质应用，2、等腰三角形的性质，3、一元二次方程的应用，4、勾股定理
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