位似
(满分100分，30分钟完成)
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题(每题5分,共40分)
1. △ABC与△是位似图形，且△ABC与△的位似比是1︰2，已知△ABC的面积是3，则△的面积是（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】D．
【解析】
试题分析：利用位似图形的面积比等于位似比的平方，进而得出答案．
试题解析：∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1：2，△ABC的面积是3，∴△ABC与△A′B′C′的面积比为：1：4，
则△A′B′C′的面积是：12．
故选D．
考点：位似变换．
2. 如图，D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，下面的说法中：
①△ABC与△DEF是位似图形；
②△ABC与△DEF的相似比为1：2；
③△ABC与△DEF的周长之比为2：1；
④△ABC与△DEF的面积之比为4：1．
正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
【答案】B
【解析】
试题分析：根据位似图形的性质，得出①△ABC与△DEF是位似图形，进而根据位似图形一定是相似图形得出 ②△ABC与△DEF是相似图形，再根据周长比等于位似比，以及根据面积比等于相似比的平方，即可得出答案．
根据位似性质得出①△ABC与△DEF是位似图形，
②△ABC与△DEF是相似图形，且相似比是： =2，
③△ABC与△DEF的周长比等于相似比，即2：1，
④根据面积比等于相似比的平方，则△ABC与△DEF的面积比为4：1．
综上所述，正确的结论是：①③④．
故选：B．
考点：位似变换．
8
3.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（―3，6）、B（―9，一3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是( )
A．（―1，2）
B．（―9，18）
C．（―9，18）或（9，―18）
D．（―1，2）或（1，―2）
【答案】D
【解析】
试题分析：根据位似图形的性质可得：点A′的坐标为(-3×，6×)或[-3×(-)，6×(-)]，即
点A′的坐标为(-1,2)或(1，-2).
故选：D
考点：位似图形的性质
4. 图中两个四边形是位似图形，它们的位似中心是（ ）
A．点M B．点N C．点O D．点P
【答案】D
【解析】点P在对应点M和点N所在直线上，
故选：D．
考点：图形的位似．
5如图，小“鱼”与大“鱼”是位似图形，已知小“鱼”上一个“顶点”的坐标为（a，b），那么大“鱼”上对应“顶点”的坐标为（ ）
8
A．（-a，-2b） B．（-2a，-b） C．（-2a，-2b） D．（-b，-2a）
【答案】C
【解析】
试题分析：根据位似图形的性质可得（a，b）的对应顶点为（－2a，－2b）.
故选：C．
6.如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，那么点B′的坐标是（ ）
A．（﹣2，3） B．（2，﹣3）
C．（3，﹣2）或（﹣2，3） D．（﹣2，3）或（2，﹣3）
【答案】D
【解析】
试题分析：由矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得矩形OA′B′C′与矩形OABC的位似比为1：2，又由点B的坐标为（﹣4，6），即可求得答案．
∵矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，
∴矩形OA′B′C′∽矩形OABC，
∵矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，
∴位似比为：1：2，
∵点B的坐标为（﹣4，6），
∴点B′的坐标是：（﹣2，3）或（2，﹣3）．
故选：D．
考点：位似图形的性质
7.在平面直角坐标系中，已知A（6，3），B（6，0）两点，以坐标原点O为位似中心，位似比为 ，把线段AB缩小到线段，则的长度等于（ ）
8
A.1 B.2 C.3 D.6
【答案】A
【解析】
试题分析：∵A（6，3）、B（6，0），
∴AB=3，
又∵相似比为 ，∴A′B′：AB=1：3，∴A′B′=1．
故选A
考点：相似变换
8. 已知，如图，E（-4，2），F（-1，-1）．以O为位似中心，按比例尺1：2把△EFO缩小，点E的对应点）的坐标（ ）
A．（-2，1）
B．（2，-1）
C．（2，-1）或（-2，-1）
D．（-2，1）或（2，-1）
【答案】D．
【解析】
试题分析：由E（-4，2），F（-1，-1）．以O为位似中心，按比例尺1：2把△EFO缩小，根据位似图形的性质，即可求得点E的对应点的坐标．
试题解析：∵E（-4，2），以O为位似中心，按比例尺1：2把△EFO缩小，
∴点E的对应点的坐标为：（-2，1）或（2，-1）．
故选D．
考点：1．位似变换；2．坐标与图形性质．
二、填空题(每题6分,共30分)
9. 如图是三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成的影子．现测得，，则这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长之比是_________．
【答案】
【解析】
8
试题分析：由图知，∽，且∽，
故，根据相似三角形的性质，周长之比等于相似比，故.
考点：相似三角形的性质.
10. 如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别是边AB、CD的中点，点O是AF、DE的交点，点P是BF、CE的交点，则除△FOD外，与△AOE位似的是________（写出一个即可）．
【答案】△AFB（或△CPF）
【解析】如图，以点O为位似中心的位似三角形是△FOD，以点A为位似中心的位似三角形是△AFB，以平行四边形ABCD的中心为位似中心的位似三角形是△CPF，所以，除△FOD外，与△AOE位似的是△AFB和△CPF．
11. （3分）如图，以O为位似中心，将边长为256的正方形OABC依次作位似变化，经第一次变化后得正方形OA1B1C1，其边长OA1缩小为OA的，经第二次变化后得正方形OA2B2C2，其边长OA2缩小为OA1的，经第三次变化后得正方形OA3B3C3，其边长OA3缩小为OA2的，．．．．．．，按此规律，经第n次变化后，所得正方形OAnBnCn的边长为正方形OABC边长的倒数，则n= ．
【答案】16．
【解析】
8
试题分析：由已知有：OA1=OA；OA2=OA1=OA，OA3=OA2=OA，．．．．．．，∴OAn=OA， OAn=OA=，∴=，∴n=16．故答案为：16．
考点：1．位似变换；2．坐标与图形性质．
12. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为（4，0）（8，2），（6，4）。已知△A1B1C1的两个顶点的坐标为（1，3），（2，5）。若△ABC与△A1B1C1位似，则△A1B1C1的第三个顶点的坐标为 .
【答案】（3，4）或（0，4）
【解析】
试题分析：
试题解析：首先由题意可求得直线AC、AB、BC的解析式与过点（1，3），（2，5）的直线的解析式，即可知过这两点的直线与直线AC平行，则可分别从①若A的对应点为A1（1，3），C的对应点为C1（2，5）与②若C的对应点为A1（1，3），A的对应点为C1（2，5）去分析求解，即可求得答案．
考点：位似的性质
13. 如图，在直角坐标系中，△ABC的各顶点坐标为A（﹣1，1），B（2，3），C（0，3）．现以坐标原点为位似中心，作△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC的位似比为．则点A的对应点A′的坐标为 ．
【答案】（﹣，）或（，﹣）．
【解析】
试题分析：位似是特殊的相似，若两个图形△ABC和△A′B′C′以原点为位似中心，相似比是k，△ABC上一点的坐标是（x，y），则在△A′B′C′中，它的对应点的坐标是（kx，ky）或（﹣kx，﹣ky）．
∵在△A′B′C′中，它的对应点的坐标是（kx，ky）或（﹣kx，﹣ky）
∴A'的坐标为：（﹣，）或（，﹣）．
8
故答案为：（﹣，）或（，﹣）．
考点：位似变换；坐标与图形性质．
三、解答题(每题15分,共30分)
14. 如图，F在BD上，BC、AD相交于点E，且AB∥CD∥EF，
A
B
C
D
E
F
（1）图中有哪几对位似三角形，选其中一对加以证明；
（2）若AB＝2，CD＝3，求EF的长．
【答案】（1）一共有3对；
（2）EF= ．
【解析】
试题分析：（1）利用相似三角形的判定方法以及位似图形的性质进而得出答案；
（2）利用比例的性质以及相似三角形的性质进而求出 = = ，求出EF即可
试题解析：（1）∵AB∥CD∥EF，
∴△DFE∽△DBA，△BFE∽△BDC，△AEB∽△DEC，
且对应边都交于一点，
∴△DFE与△DBA，△BFE与△BDC，△AEB与△DEC都是位似图形，
一共有3对；
（2）∵△BFE∽△BDC，△AEB∽△DEC，AB=2，CD=3，
∴
∴
∴解得：EF= ．
考点：位似变换
15. 如图，点A，B的坐标分别为(3，2)，(6，4)，AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，分别以AC，BD为边作正方形ACEF和正方形BDGH．
(1)试分别写出直线AB和直线FH所对应的函数表达式．
(2)正方形ACEF和正方形BDGH是位似图形吗？请用位似图形的定义加以说明．
(3)在坐标系中作出正方形ACEF关于点O的对称正方形A′C′E′F′，正方形A′C′E′F′与正方形BDGH是位似图形吗？为什么？
8
【答案】见解析
【解析】
试题分析：(1)由条件可知F，H点的坐标分别为(5，2)，(10，4)．设直线AB，FH所对应的函数表达式分别为y＝k1x＋b1(k1≠0)和y＝k2x＋b2(k2≠0)，
试题解析:则
解得
所以直线AB，FH所对应的函数表达式分别为和．
(2)正方形ACEF和正方形BDGH是位似图形．由(1)知直线AB，FH都经过原点O，又因为直线CD，EG也都经过原点O，且正方形ACEF∽正方形BDGH，观察对应边互相平行或在同一直线上，所以正方形ACEF和正方形BDGH是位似图形．
(3)正方形ACEF关于点O的对称图形为正方形A′C′E′F′，如图所示正方形A′C′E′F′与正方形BDGH也是位似图形．
因为正方形ACEF≌正方形A′C′E′F′，正方形ACEF∽正方形BDGH，所以正方形A′C′E′F′∽正方形BDGH．又点A′，O，B在直线上，点F′，O，H在直线上，点C′，E′，D，G都在x轴上，即各对应点的连线相交于点O，且观察对应边互相平行或在同一直线上，所以正方形A′C′E′F′与正方形BDGH是位似图形．
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